概率论与数理统计练习题(理工类)

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第一章 随机事件及其概率

§1.1 随机事件及其运算

一、选择题

1．对掷一颗骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]

(A) 不可能事件 (B) 必然事件 (C) 随机事件 (D) 样本事件

2．甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则表示 [ C ]

(A) 二人都没射中 (B) 二人都射中

(C) 二人没有都射中 (D) 至少一个射中

3. 在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度，电炉就断电。以表示事件“电炉断电”，设为4个温控器显示的按递增排列的温度值，则事件等于 (考研题 2000) [ C ]

(A) (B) (C) (D)

二、填空题：

1．以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“ 甲种产品滞销或乙种产品畅销 ”。

2. 假设是两个随机事件，且，则， 。

3. 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2 个次品就停止检查，或检查4 个产品就停止检查，记录检查的结果，样本空间为

{（正，正，正，正），（正，正，正，次），（正，正，次，正），（正，正，次，次），

（正，次，正，正），（正，次，正，次），（正，次，次），（次，正，正，正），

（次，正，正，次），（次，正，次，正），（次，正，次，次），（次，次）} 。 

三、计算题：

1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：

（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果；

（2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果；

（3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。

解：

2．设为三个事件，试将下列事件用的运算关系表示出来：

（1）三个事件都发生；

（2）三个事件都不发生；

（3）三个事件至少有一个发生；

（4）发生，不发生；

（5）都发生，不发生；

（6）三个事件中至少有两个发生；

（7）不多于一个事件发生；

（8）不多于两个事件发生。

解：（1） （2） （3） （4）

(5) (6)

(7) 不多于一个事件发生=至多一个事件发生=至少两个事件不发生=

(8) 不多于两个事件发生=至多两个事件发生=至少一个事件不发生=

3. 甲、乙、丙三人各向靶子射击一次，设表示“第人击中靶子” 。 试说明下列各式表示的事件：

（1）; （2）;（3）;（4）。

解：（1）只有乙未击中靶

（2）甲，乙至少有一个人击中，而丙未击中靶

（3）至少有两人击中靶

（4）只有一个击中靶

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第一章 随机事件及其概率

§1.2事件的频率与概率、§1.3古典概型和几何概型

一、 选择题：

1．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是 [ B ]

(A) (B) (C) (D)

2．有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 [ D ]

(A) (B) (C) (D)

3．A、B为两事件，若，则 [ B ]

(A) (B)

(C) (D)

二、填空题：

1．某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为。

2．设A和B是两事件，，，则

3．在区间(0，1)内随机取两个数，则两个数之差的绝对值小于的概率为(考研题 2007)

三、计算题：

1．设，，求A、B、C都不发生的概率。

解：

2．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求：

（1）取到的都是白子的概率； （2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率；

（3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率； （4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。

解：

3. 甲、乙两人约定在上午7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时即离去。 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，求二人能会面的概率。

解：设甲是在第 分钟到达，乙是在第 分钟到达，则

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第一章 随机事件及其概率

§1.4条件概率、§1.5事件的独立性

一、 选择题：

1．设A、B为两个事件，，且，则下列必成立是 [ A ]

(A) (B) (C) (D)

2．设A，B是两个相互独立的事件，已知，则 [ C ]

(A) (B) (C) (D)

3．对于任意两个事件A和B (考研题 2003) [ B ]

(A) 若，则一定独立 (B) 若，则有可能独立

(C) 若，则一定独立 (D) 若，则一定不独立

*4．设是两两独立，则事件相互独立的充要条件是(考研题 2000) [ A ]

(A) 和独立 (B) 和独立

(C) 和独立 (D) 和独立

二、填空题：

1．设，则。

2．已知为一完备事件组，且

，则。

3．设两两独立的事件A，B，C满足条件，，且已知，则 (考研题 1999)。

三、计算题：

1．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求：

（1）任取一件产品是正品的概率；

（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。

解：

2．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：

（1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率；

（2）B失灵的条件下，A有效的概率。

解：（1）， 。

。

（2）

四、证明题

设A，B为两个事件，，证明与独立。

证：

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第2章 随机变量及其分布

§2.1随机变量概念及分布函数、 §2.2离散型随机变量及其分布

一、选择题：

1．设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是 [ B ]

(A) (B)

(C) (D)

2．设随机变量的分布列为，为其分布函数，则= [ B ]

(A) 0.2 (B) 0.4 (C) 0.8 (D) 1

3. 设随机变量，已知，则 [ D ]

(A) (B) (C) (D)

二、填空题：

1．设随机变量X的概率分布为 ，则a =。

2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X的概率分布为

3．设射手每次击中目标的概率为0.7，连续射击10次，则击中目标次数X的概率分布为

三、计算题：

1．同时掷两颗骰子，设随机变量为“两颗骰子点数之和”，求：

（1）X的概率分布； （2）； （3）。

解：

2．一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。

解：

3．某商店出售某种物品，根据以往经验，每月销售量服从参数为的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？

解： ,

查表有

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第2章 随机变量及其分布

§2.3 连续型随机变量及其概率密度

一、选择题:

1．设连续型随机变量的密度函数为，则常数　　　　 [ A ]

(A) (B) (C) (D)

2. 设随机变量的分布函数为，则常数 [ A ]

(A) (B) (C) (D)

*3．设是随机变量的分布函数，是相应的概率密度函数，则以下必为概率密度的是(考研题 2011) [ D ]

(A) (B) (C) (D)

二、填空题：

1．设连续型随机变量的概率密度为，则常数= 3 。

2. 设随机变量，求方程有实根的概率为 。

3．设随机变量，已知，则 。

三、计算题：

1．设，求和。

解：

2．设随机变量的密度函数为，且，求：

（1）常数； （2）； （3）的分布函数。

解：

3．设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从参数的指数分布，现某顾客

在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。求：

（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；

（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次当中至多有一次未等到服务的概率。

解： ，

（1）

（2） ：某顾客未等到服务就离开的次数，

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第2章 随机变量及其分布

§2.4随机变量函数的分布

一、选择题:

1．已知的概率分布律为 ，则 [ C ]

(A) (B) (C) (D)

2．设随机变量在区间[-1，2]上服从均匀分布，随机变量，则随机变量的 分布律为 [ B ]

(A) (B)

(C) (D)

3. 设的密度函数为，则随机变量的概率密度为 [ A ]

(A) (B)

(C) (D )

二、填空题：

1．设随机变量服从参数为1的指数分布，则的概率密度为 。

2. 对圆片直径进行测量，测量值服从(5，6)上的均匀分布，则圆面积的概率密度为

3. 设随机变量的服从参数为的泊松分布，记随机变量，则随机变量 的分布律为

三、计算题：

1．设，求：

（1）的概率密度； （2）的概率密度。

解：

*2．设随机变量的概率密度为是的分布函数，求随机变量 的分布函数(考研题 2003)。

解：

设是的分布函数，当时，；当时，。

当时有

或

所以

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第二章 随机变量及其分布

综合练习

1. 从一批含10件正品及3件次品的产品中一件一件地抽取。设每次抽取时，各件产品抽取到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数的分布律。

（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；

（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；

（3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解：（1） ：第 次取得是正品（ ）

X 1 2 3 4 ……….

P ………….

（2） ：第 次取得是正品（ ）

X 1 2 3 4

P

（3） ：第 次取得是正品（ ）

X 1 2 3 4

P

2. 设随机变量具有概率密度

（1）确定常数；（2）求的分布函数；（3）求。

解：（1）

（2）

（3）

3. 某种电子元件在电源电压不超过200伏，200240伏，及超过240伏3种情况下，损坏率依次 为 0.1，0.001及0.2 。设电源电压，试求：

（1）此种电子元件的损坏率； （2）此种电子元件损坏时，电源电压在200240伏的概率。

解： : 电源电压不超过200伏, :电源电压不超过200240伏,

: 电源电压不超过240伏, :电子元件损坏

（1）

（2）

4. 某城市成年男子的身高（单位：厘米）。（1）问应如何设计公共汽车车门的高 度，才能使该城市成年男子与车门碰头的概率小于0.01？（2）若车门设计高度为182厘米，求该城市10个男子与车门顶碰头人数不多于1人的概率？

解：（1） .若把公共汽车车门高度为170cm，则有

不符合要求

所以应该把公共汽车车门设计为比170cm高一些的高度，使得

即

查表有 =0.9901>0.99 cm

（2） ：10个男子与车门碰头的人数，则 ，其中

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第三章 多维随机变量及其分布

§3.1 二维随机变量及其分布、§3.2边缘分布

一、选择题：

1．下列函数可以作为二维分布函数的是 [ C ]

(A) (B)

(C) (D)

2．设二维随机变量(X，Y)的概率密度为

则的值必为 [ B ]

(A) (B) (C) (D)

二、填空题：

1. 的联合分布率由下表给出，则，应满足的条件是。

2.的分布函数为，则 0 ， 的分布函数为，则。

3.若的联合密度为，则常数= 2 ，

三、计算题：

1. 在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验：

（1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：

，

试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。

解：(1) (2)

Y Y

X X

2．设随机变量的概率密度为，求：

（1）常数k； （2）； （3）

解：(1)

(2)

(3)

3. 设二维随机变量在上服从均匀分布，其中由与围成，求：

（1）边缘密度； *（2）条件概率密度。

解：

(1)

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第三章 多维随机变量及其分布

§3.4随机变量的独立性、§3.5二维随机变量函数的分布

一、选择题：

1. 设随机变量与独立，且，则仍服从正态分布，且有 [ D ]

(A) (B)

(C) (D)

2. 若服从二维均匀分布，则 [ B ]

(A) 随机变量都服从均匀分布 (B) 随机变量不一定服从均匀分布

(C) 随机变量一定不服从均匀分布 (D) 随机变量服从均匀分布

3. 设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则 [ B ]

(A) 　(B)

(C) (D)

二、填空题：

1. 设二维随机变量的密度函数为，

则。

2. 设随机变量同分布，的密度函数为，设与相互独立，且，则。

三、计算题：

1．已知，X与Y独立，确定a，b的值，求出 的联合概率分布以及的概率分布。

解：（1）

（2） Y

X

(3) Y

X

P

2．随机变量与的联合密度函数为，分别求下列概率密度函数：（1）； （2）； （3）。

解：

3．设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为，，求：（1）常数A； （2）随机变量的概率密度函数。

解：

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第四章 随机变量的数字特征

§4.1 数学期望

一、选择题：

1．设X的概率密度为，则 [ B ]

(A) (B) (C) (D)

2．设是随机变量，存在，若，则 [ D ]

(A) (B) (C) (D)

3．设随机变量和独立且服从上的均匀分布，则(考研题2011)[ C ]

(A) (B) (C) (D)

二、填空题：

1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为，则 0.5

2．设随机变量X的概率分布 ，则

3．设X为正态分布的随机变量，概率密度为，则 9

*4．设随机变量独立且同分布，则行列式

的数学期望 0 (考研题 1999)。

三、计算题：

1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以表示取出的3个球中最大编号，求：（1）的分布律；（2）求的数学期望

解：

2．设随机变量X的密度函数为，试求下列随机变量的数学期望：

（1）； （2）； （3）。

解：

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第四章 随机变量的数字特征

§4.2 方差

一、选择题：

1．设随机变量服从区间上的均匀分布，则方差 [ C ]

(A) (B) (C) (D)

2．已知，则 [ B ]

(A) 9 (B) 6 (C) 30 (D) 36

3．设服从参数为的泊松分布，，则 [ D ]

(A) (B)

(C) (D)

二、填空题：

1． 设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6，0.3，0.1，则 0.45 。

2．设随机变量X的密度函数为，则 2 。

3．设正态分布Y的密度函数是，则

*4．设随机变量服从参数为的泊松分布，则 (考研题 2008)。

三、计算题：

1．设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3，0.5，0.2，求的期望与方差。

解：

2．设随机变量，试求；；。

解：

3．设随机变量的密度为，已知，求：

（1）常数a，b的值；（2）方差； *（3）随机变量的期望与方差。

解：

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第四章 随机变量的数字特征

§4.3 协方差、相关系数

一、选择题：

1．对任意两个随机变量，若，则 [ B ]

(A) (B)

(C) 相互独立 (D) 不相互独立

2．将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数等于 (考研题 2001) [ A ]

(A) (B) 0 (C) (D)

二、填空题：

1．设随机变量服从正态分布，则= 13 。

2．设与独立，且，，则 27 。

3．设，则 37 。

三、计算题：

1． 已知二维随机变量的分布律如表：

试验证与不相关，但与Y不独立。

解：

2．设，且X，Y相互独立，求：。

解：

3．设和为随机变量，且，，。令

。

（1）求二维随机变量的概率分布；（2）求和的相关系数(考研题 2004)。

（1）

三、证明题：

设随机变量服从区间上的均匀分布，设随机变量，证明：不相关。

证:

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第四章 随机变量的数字特征

综合练习

一、填空题：

1．随机变量X服从区间[0，2]上的均匀分布，则。

2．设随机变量，的相关系数，若，则和的相关系数= 0.9 。

*3．设随机变量服从标准正态分布，则 （考研题2013）。

二、计算题：

1. 设随机变量等概率取5个值：，，，和，求的数学期望与方差。

解：

2. 设，，为互相独立的随机变量，且，，，求。

解：

3. 在长为的线段上独立地任选两点，求两点间距离的数学期望和方差。

解： ， 分别表示线段上的任选两点，则 ，

与 独立，

三、证明题：

设随机变量的密度为，（柯西分布），证明：不存在。

证：

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第五章 大数定律与中心极限定理

一、选择题：

1．设是n次重复试验中事件A出现的次数，p是事件A在每次试验中出现的概率，则对任意的均有 [ A ]

(A) (B) (C) (D) 不存在

2. 设为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为的指数分布，记

为正态分布函数，则 (考研题 2005) [ C ]

(A) (B)

(C) (D)

二、填空题：

1．对于随机变量X，仅知其，则可知 。

*2．设总体服从参数为2的指数分布，是来自总体的简单随机样本，则当时，依概率收敛于(考研题 2003)。

三、计算题：

1．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在上服从均匀分布。 问：（1）若将1500个数相加，误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 ？

解： ：第 个加数舍入误差，

则 且 ，

2. 一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、1.2元、1.5元各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。某天售出300只蛋糕。

（1）求收入至少400元的概率； （2）求售出价格为1.2元的蛋糕多于60只的概率。

解：

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第6章 数理统计的基本知识

§6.1总体、样本与统计量、§6.2抽样分布

一、选择题：

1．设是取自总体的样本，是一个未知参数，下述哪个样本函数是统计量[ B ]

(A) (B)

(C) (D)

2. 设是来自正态总体的样本，则服从 [ D ]

(A) (B) (C) (D)

3．设随机变量，则 (考研题 2002) [ C ]

(A) 服从正态分布 (B) 服从分布

(C) 服从分布 (D) 服从分布

二、填空题：

1．设是来自指数总体的样本，则的联合密度

2. 设总体服从参数为2的指数分布，是来自总体的简单随机样本，则当时，依概率收敛于 (考研题 2003)。

3．设总体，为其样本，记，，则服从的分布是。

3、计算题：

1. 设为来自总体的简单随机样本，为它们的样本二阶原点矩，求。

解：

2. 设总体的概率密度为，为总体的简单随机样本，求样本方差的 均值。

解：

3. 总体，在该总体中抽取一个容量为16的样本，求：

（1）；（2）。

解：