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2018年上海市中考数学试卷及答案解析

时间：2019-01-22 09:35:19 下载该word文档

2018年上海市中考数学试卷

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）

1．（4.00分）下列计算﹣的结果是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．

2．（4.00分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（　　）

A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根

C．有且只有一个实数根 D．没有实数根

3．（4.00分）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　）

A．开口向下 B．对称轴是y轴

C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的

4．（4.00分）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）

A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29

5．（4.00分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）

A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC

6．（4.00分）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（　　）

A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4.00分）﹣8的立方根是　　．

8．（4.00分）计算：（a+1）2﹣a2=　　．

9．（4.00分）方程组的解是　　．

10．（4.00分）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是　　元．（用含字母a的代数式表示）．

11．（4.00分）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是　　．

12．（4.00分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是　　．

13．（4.00分）从，π，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　　．

14．（4.00分）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　　．（填“增大”或“减小”）

15．（4.00分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为　　．

16．（4.00分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是　　度．

17．（4.00分）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　　．

18．（4.00分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是　　．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10.00分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

20．（10.00分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．

21．（10.00分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．

（1）求边AC的长；

（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．

22．（10.00分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．

（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）

（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？

23．（12.00分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．

（1）求证：EF=AE﹣BE；

（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．

24．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段CD的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

25．（14.00分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．

（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；

（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；

（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．

2018年上海市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的）

1．（4.00分）下列计算﹣的结果是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．

【分析】先化简，再合并同类项即可求解．

【解答】解：﹣

=3﹣

=2．

故选：C．

2．（4.00分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（　　）

A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根

C．有且只有一个实数根 D．没有实数根

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．

【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，

∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，

∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．

故选：A．

3．（4.00分）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（　　）

A．开口向下 B．对称轴是y轴

C．经过原点 D．在对称轴右侧部分是下降的

【分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；

B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；

C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；

D、由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．

综上即可得出结论．

【解答】解：A、∵a=1＞0，

∴抛物线开口向上，选项A不正确；

B、∵﹣=，

∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；

C、当x=0时，y=x2﹣x=0，

∴抛物线经过原点，选项C正确；

D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，

∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．

故选：C．

A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29

【分析】根据中位数和众数的概念解答．

【解答】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，

处于最中间是数是28，

∴这组数据的中位数是28，

在这组数据中，29出现的次数最多，

∴这组数据的众数是29，

故选：D．

5．（4.00分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）

A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC

【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．

【解答】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；

B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；

C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；

D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；

故选：B．

A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7

【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．

【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，

∴AD⊥OP，

∵∠O=30°，AD=2，

∴OA=4，

当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，

∵BC=3，

∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；

当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，

∴OB=OA+AB=4+2+3=9，

∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，

故选：A．

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）

7．（4.00分）﹣8的立方根是　﹣2　．

【分析】利用立方根的定义即可求解．

【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，

∴﹣8的立方根是﹣2．

故答案为：﹣2．

8．（4.00分）计算：（a+1）2﹣a2=　2a+1　．

【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果．

【解答】解：原式=a2+2a+1﹣a2=2a+1，

故答案为：2a+1

9．（4.00分）方程组的解是　，　．

【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．

【解答】解：

②+①得：x2+x=2，

解得：x=﹣2或1，

把x=﹣2代入①得：y=﹣2，

把x=1代入①得：y=1，

所以原方程组的解为，，

故答案为：，．

10．（4.00分）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是　0.8a　元．（用含字母a的代数式表示）．

【分析】根据实际售价=原价×即可得．

【解答】解：根据题意知售价为0.8a元，

故答案为：0.8a．

11．（4.00分）已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是　k＜1　．

【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．

【解答】解：∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限，

∴k﹣1＜0，

解得k＜1．

故答案为：k＜1．

12．（4.00分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是　0.25　．

【分析】根据“频率=频数÷总数”即可得．

【解答】解：20﹣30元这个小组的组频率是50÷200=0.25，

故答案为：0.25．

13．（4.00分）从，π，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为　　．

【分析】由题意可得共有3种等可能的结果，其中无理数有π、共2种情况，则可利用概率公式求解．

【解答】解：∵在，π，这三个数中，无理数有π，这2个，

∴选出的这个数是无理数的概率为，

故答案为：．

14．（4.00分）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）

【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．

【解答】解：∵一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），

∴0=k+3，

∴k=﹣3，

∴y的值随x的增大而减小．

故答案为：减小．

15．（4.00分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设=，=那么向量用向量、表示为　+2　．

【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答．

【解答】解：如图，连接BD，FC，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，DC=AB．

∴△DCE∽△FBE．

又E是边BC的中点，

∴==，

∴EC=BE，即点E是DF的中点，

∴四边形DBFC是平行四边形，

∴DC=BF，故AF=2AB=2DC，

∴=+=+2=+2．

故答案是：+2．

16．（4.00分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是　540　度．

【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．

【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．

所以该多边形的内角和是3×180°=540°．

故答案为540．

17．（4.00分）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是　　．

【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=，然后解关于x的方程即可．

【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，

∵△ABC的面积是6，

∴BC•AH=6，

∴AH==3，

设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，

∵GF∥BC，

∴△AGF∽△ABC，

∴=，即=，解得x=，

即正方形DEFG的边长为．

故答案为．

【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则CF=x，根据勾股定理列方程可得结论．

【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，

设AF=x，则CF=x，

在Rt△CBF中，CB=1，BF=x﹣1，

由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，

，

解得：x=或0（舍），

即它的宽的值是，

故答案为：．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19．（10.00分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．

【解答】解：

解不等式①得：x＞﹣1，

解不等式②得：x≤3，

则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，

不等式组的解集在数轴上表示为：

20．（10.00分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．

【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．

【解答】解：原式=[﹣]÷

=•

=，

当a=时，

原式===5﹣2．

21．（10.00分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．

（1）求边AC的长；

（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．

【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；

（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．

【解答】解：（1）作A作AE⊥BC，

在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，

∴AE=3，BE=4，

∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，

在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；

（2）∵DF垂直平分BC，

∴BD=CD，BF=CF=，

∵tan∠DBF==，

∴DF=，

在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，

∴AD=5﹣=，

则=．

22．（10.00分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．

（1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）

【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程，此题得解．

【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y=kx+b，

将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，

，解得：，

∴该一次函数解析式为y=﹣x+60．

（2）当y=﹣x+60=8时，

解得x=520．

即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．

530﹣520=10千米，

油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．

∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．

23．（12.00分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．

（1）求证：EF=AE﹣BE；

（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．

【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；

（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵BE⊥AP，DF⊥AP，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3，

在△ABE和△DAF中

，

∴△ABE≌△DAF，

∴BE=AF，

∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；

（2）如图，∵=，

而AF=BE，

∴=，

∴Rt△BEF∽Rt△DFA，

∴∠4=∠3，

而∠1=∠3，

∴∠4=∠1，

∵∠5=∠1，

∴∠4=∠5，

即BE平分∠FBP，

而BE⊥EP，

∴EF=EP．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段CD的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）利用配方法得到y=﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；