{来源}2019年益阳中考数学试卷

{适用范围:3． 九年级}

{标题}2019年益阳市中考数学试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，合计40分．

{题目}1．（2019年益阳市T1）－6的倒数是（ ）

A．－ B． C．－6 D．6

{答案}A

{解析}本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，由于－×(－6)＝1，因此本题选A．

{分值}4

{章节:[1-1-4-2]有理数的除法}

{考点:倒数}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年益阳市T2）下列运算正确的是（ ）

A． B．

C． D．

{答案}D

{解析}本题考查了根据二次根式的加减运算法则求解，

A．，所以A不正确；

B．，所以B不正确；

C．不是同类二次根式，不能合并；

D．，此选项计算正确；

因此本题选D．

{分值}4

{章节:[1-16-3]二次根式的加减}

{考点:同类二次根式}

{考点:二次根式的加减法}

{考点:平方的算术平方根}

{考点:算术平方根的平方}

{考点:二次根式的乘法法则}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}3．（2019年益阳市T3）下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（ ）

A． B． C． D．

{答案}C

{解析}本题考查了各种体的展开图，

A侧面展开图是矩形，B的侧面展开图是矩形，C的侧面展开图是扇形，D的侧面展开图是 三个三角形，因此本题选C．

{分值}4

{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形}

{考点:几何体的展开图}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}4．（2019年益阳市T4）解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确 的是（ ）

A． B．

C． D．

{答案}C

{解析}本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，

解：分式方程两边同乘（2x－1），

去分母得，

因此本题选C．

{分值}4

{章节:[1-15-3]分式方程}

{考点:解含两个分式的分式方程}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}5．（2019年益阳市T5）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（ ）

A．y＝4x B．y＝－4x C．y＝x－4 D．y＝x2

{答案}B

{解析}本题考查了一次函数与二次函数的性质，

解：A．k＞0，所以y随x的增大而增大；

B．k＜0，所以y随x的增大而减小

C．；k＞0，所以y随x的增大而增大；

D．为二次函数，抛物线y＝x2中a＞0，b＝0 c＝0，所以抛物线关于y轴对称，开口向上，所 以x＞0时，y随x的增大而增大，

因此本题选B．

{分值}4

{章节:[1-22-1-2]二次函数y=ax2的图象和性质}

{考点:二次函数y=ax2的性质}

{考点:一次函数的性质}

{考点:正比例函数的性质}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}6．（2019年益阳市T6）已知一-组数据5, 8, 8, 9, 10,以下说法错误的是（ ）

A．平均数是8 B．众数是8 C．中位数是8 D．方差是8

{答案}D

{解析}本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式，

解：这组数的众数为8，中位数为8，平均数为（5＋8＋8＋9＋10）÷5＝8，

方差为，因此本题选D．

{分值}4

{章节:[1-20-2-1]方差}

{考点:中位数}

{考点:众数}

{考点:算术平均数}

{考点:方差}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}7．（2019年益阳市T7）已知M, N是线段AB上的两点，AM=MN=2, NB=1, 以点A为圆心， AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC、BC，则△ ABC一定是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

{答案}B

{解析}本题考查了几何语言的描述和三角形的勾股定理，△ABC的三边正好是3,4,5，

因此本题选B．

{分值}4

{章节:[1-17-2]勾股定理的逆定理}

{考点:与圆有关的作图问题}

{考点:勾股定理逆定理}

{考点:线段尺规作图}

{类别:思想方法}

{类别:高度原创}

{难度:4-较高难度}

{题目}8．（2019年益阳市T8）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活 动中对此开展测量活动.如图1,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，

大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a,则此时大桥主架顶 端离水面的高CD为（ ）

A．asinα ＋asinβ B．acosα ＋acosβ C．atanα ＋atanβ D．

{答案}C

{解析}本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，难度适中，通过直角三角 形，利用三角函数求解是解题的关键，

解：在Rt△ADB中，∵tanβ＝，AB＝a，∴BD＝atanβ，

在Rt△ACB中，∵tanα＝，AB＝a，∴BC＝atanα，

∴CD＝BD＋BC＝atanα ＋atanβ，

因此本题选C．

{分值}4

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}

{考点:解直角三角形的应用－仰角}

{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}

{考点:解直角三角形}

{考点:正切}

{类别:高度原创}

{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题目}9．（2019年益阳市T9）如图2，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B, PO交AB于点C, PO的延长线交圆O于点D,下列结论不一定成立的是（ ）

A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD

{答案}D

{解析}本题考查了切线长定理和等腰三角形的性质，

解：∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，所以A正确；∠APD＝∠BPD，所以B正确；∴ PD⊥AB，所以C正确，因此本题选D．

{分值}4

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}

{考点:切线长定理}

{考点:三线合一}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题目}10．（2019年益阳市T10）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图3所示，下列结论：①ac＜ 0,②b－2a＜0,③b2－4ac＜0,④a－b＋c＜0,正确的是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④

{答案}A

{解析}本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决 定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口； 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在 y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点， 抛 物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由b2－4ac决定，b2－4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交 点，

解：∵x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，所以④错误；

∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以① 正确；

∵抛物线的对称轴为直线x＝－＜－1，a＜0，∴b＜2a，∴b－2a＜0，所以②正确；

∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0，所以③错误，因此本题选A．

{分值}4

{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质}

{考点:二次函数的系数与图象的关系}

{考点:抛物线与一元二次方程的关系}

{类别:思想方法}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:5-高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，合计32分．

{题目}11．（2019年益阳市T11）国家发改委发布信息，到2019年12底，高速公路电子不停车快捷 收费（ETC）用户数量将突破1.8亿，将180 000 000用科学计数法表示为 ．

{答案} 1.8×108

{解析}本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜ 10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，确定n的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数，因此本题180 000 000用科学记数法表示为1.8×108．

{分值}4

{章节:[1-1-5-2]科学计数法}

{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}12．（2019年益阳市T12）若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数 是 ．

{答案}5

{解析}本题考查了多边形的内角和和外角和，关键是掌握多边形的内角和公式与外角和定理，也可 以理解成外角定义的应用，也就是外角和相邻内角是邻补角，所以直接900°÷180°＝5， 因此本题答案是5．

{分值}4

{章节:[1-11-3]多边形及其内角和}

{考点:多边形的内角和}

{考点:多边形的外角和}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}13．（2019年益阳市T13）不等式组的解集为 ．

{答案}x＜－3

{解析}本题考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大 中间找；大大小小找不到，解：，由①得：x＜1，由②得：x＜－3，不等式组 的解集为x＜－3，故答案为x＜－3．

{分值}4

{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}

{考点:解一元一次不等式组}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}14．（2019年益阳市T14）如图4,直线AB//CD, OA⊥OB,若∠1=142°， 则∠2＝

度．

{答案}52°

{解析}本题考查了两直线平行，同位角相等和三角形外角性质，∵AB//CD∴∠1＝∠OBA的邻补 ji角，∴∠2＝142°－∠O＝142°－90°＝52°，因此本题答案52°．

{分值}4

{章节:[1-11-2]与三角形有关的角}

{考点:两直线平行同位角相等}

{考点:三角形的外角}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}15．（2019年益阳市T15）在如图5所示的方格纸(1格长为1个单位长度)中，△ABC 的顶点 都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C',使各顶点仍在格点上,则其 旋转角的度数是 ．

{答案}90°

{解析}本题考查了旋转的性质．解此题的关键是理解△A'B'C'是由△ABC绕点O按顺时针方向旋转 而得的含义，找到旋转角，解：∵△A'B'C'是由△ABC绕点O按顺时针方向旋转而得，∴ OB'＝OB，∴旋转的角度是∠BOB'的大小，∵∠BOB'＝90°，∴旋转的角度为90°，因 此本题答案90°．

{分值}4

{章节:[1-23-1]图形的旋转}

{考点:坐标系内的旋转}

{考点:与旋转有关的角度计算}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}16．（2019年益阳市T16）小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起， 从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是 ．

{答案}

{解析}本题考查了用列举法或树状图法求概率．概率＝所求情况数与总情况数之比，一部书共有 上、中、下三册，将它们的顺序随机排放，共6种排放方法：上、中、下；上、下、中； 中、上、下；中、下、上；下、中、上；下、上、中．则从上到下的顺序恰好为上、中、 下的概率是，因此本题答案为：．

{分值}4

{章节:[1-25-2]用列举法求概率}

{考点:两步事件不放回}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}17．（2019年益阳市T17）反比例函数y＝的图象上有一点P(2, n),将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q,若点Q也在该函数的图象上,则k＝ ．

{答案}6

{解析}本题考查了平移的性质、反比例函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求反比例函数的解 析式等知识点，能用P，Q点的坐标是列方程组解此题是关键，解：，解得 ；因此本题答案为：6．

{分值}4

{章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质}

{考点:反比例函数的解析式}

{考点:坐标系内图形的平移}

{考点:选择合适的方法解二元一次方程组}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:3-中等难度}

{题目}18．（2019年益阳市T18）观察下列等式：

①3－＝，

②5－＝，

③7－＝，

...

请你根据以上规律，写出第6个等式 ．

{答案}13－＝

{解析}本题考查了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，能熟记完全平方公式是解 此题的关键，还培养了学生的阅读能力和计算能力，以①为例3－＝2－＋1＝ －＋1＝，∴⑥的时候应该是13－＝；因此本题答案 为：13－＝．

{分值}4

{章节:[1-15-2-1]分式的乘除}

{考点:规律－数字变化类}

{考点:二次根式的乘法法则}

{考点:代数填空压轴}

{类别:思想方法}

{类别:发现探究}

{类别:易错题}

{难度:4-较高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共 8 小题，合计78分．

{题目}19．（2019年益阳市T19）计算：4sin60°＋－－.

{解析}本题考查了零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式计算及绝对值的性质．

{答案}解：4sin60°＋－－＝＝＝－1.

{分值}8

{章节:[1-28-2-1]特殊角}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{考点:特殊角的三角函数值}

{考点:二次根式的混合运算}

{考点:负指数参与的运算}

{考点:两个有理数的减法}

{题目}20．（2019年益阳市T20）化简：.

{解析}本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，原式 括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最 简结果.

{答案}解：原式＝＝.

{分值}8

{章节:[1-15-2-2]分式的加减}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{考点:约分}

{考点:通分}

{考点:最简分式}

{考点:两个分式的乘除}

{考点:两个分式的加减}

{考点:分式的混合运算}

{考点:因式分解－完全平方式}

{考点:因式分解－平方差}

{题目}21．（2019年益阳市T21）已知，如图6, AB＝AE, AB∥DE,∠ECB＝70°， ∠D＝110°, 求证：△ABC≌△EAD.

{解析}本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质等知识点的理解和掌握，解决此题的关键是利用邻补角证出∠D＝∠BCA，从而得到AAS全等．

{答案}证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°.又∵∠D＝110°，∴∠ACB＝∠D.

∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E.又∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAD.

{分值}8

{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{考点:对顶角、邻补角}

{考点:两直线平行内错角相等}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}

{题目}22．（2019年益阳市T22）某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数(含驾驶 员)进行了随机调查, 根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别 记为A、B、C、D、E,由调查所得数据绘制了图7所示的不完整的统计图表.

(1)求本次调查的小型汽车数量及m, n的值；

(2)补全频数分布直方图：

(3)若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽 车数量.

{解析}本题考查了频数分布直方图和频数与频率的关系．

（1）由C种关注情况的频数及其频率可得样本容量，再根据频率＝频数÷总人数可得m、n 的值；

（2）根据（1）中所求结果可补全频数分布直方图；

（3）总人数乘以样本中A种关注情况的频率即可得．

{答案}解：（1）本次调查的小型汽车数量：32÷0.20＝160（辆）；m＝48÷160＝0.3，n＝1－ （0.3＋ 0.35＋0.2＋0.05）＝0.1．

（2）B类小型汽车的辆数：0.35×160＝56，D类小型汽车的辆数：0.1×160＝16.

（3）某时段该路段每车只乘坐1人的小型汽车数量：0.3×5000＝1500（辆）．

{分值}10

{章节:[1-10-2]直方图}

{难度:3-中等难度}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{考点:频数（率）分布直方图}

{考点:用样本估计总体}

{考点:频数与频率}

{题目}23．（2019年益阳市T23）如图8，在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交 AC于点N，延长MN至D，使ND＝MN，连接AD、CD，CD交圆O于点E.

（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；

（2）求证：ND＝NE；

（3）若DE＝2，EC＝3，求BC的长.

{解析}本题考查了菱形判定，直角三角形斜边中线等于斜边一半，四点共圆，相似和直径所对圆周 角90°等定理．

（1）先用圆的定理证出∠CNM＝90°，再用等腰三角形性质得出AN＝CN，就能判断四边 形AMCD的形状是菱形；

（2）用四点共圆等定理证出∠DEN＝∠CDM就行；

（3）根据上两问的结论易证出△MDC∽△EDN，又∵2ND＝MD，∴MN＝，就能知道 BC是.

{答案}解：（1）四边形AMCD是菱形，理由如下：∵M是Rt△ABC中AB的中点，∴CM＝AM，∵ CM为⊙O的直径，∴∠CNM＝90°，∴MD⊥AC，∴AN＝CN，又∵ND＝MN，∴四边形 AMCD是菱形；

（2）∵四边形CENM为⊙O的圆内接四边形，∴∠CEN＋∠CMN＝180°，又∵∠CEN＋∠ DEN＝180°，∴∠CMN＝∠DEN，∵四边形AMCD是菱形，∴CD＝CM，∠CDM＝∠ CMN，∴∠DEN＝∠CDM，∴ND＝NE；

（3）∵∠CMN＝∠DEN，∠MDC＝∠EDN，∴△MDC∽△EDN，∴，设ND＝ x，则MD＝2x，由此得，解得x＝或x＝－（不合题意，舍去），∴MN＝ ，∵MN为△ABC的中位线，∴BC＝2MN，∴BC＝.

{分值}10

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}

{难度:4-较高难度}

{类别:高度原创}

{类别:常考题}

{考点:几何综合}

{考点:圆与相似的综合}

{考点:圆内接四边形的性质}

{考点:直径所对的圆周角}

{考点:菱形的判定}

{题目}24．（2019年益阳市T24）为了提高农田利用效益，菜地由每年种植双季稻改为先养殖小龙 虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式，某农户有农田20亩，去年开始实施“虾·稻” 轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润＝售价－成本).由于开发成本下降和 市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每 千克获得利润为30元.

(1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；

(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售 价为2.5元/千克，该农户估计今年可获得“虾·稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产 量至少会达到多少千克?

{解析}本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意找到题目蕴含的相等 关系或不等关系是解应用题的关键．（1）设去年每千克小龙虾养殖成本x元，去年每千克 小龙虾售价x元．根据“去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元：今年每千克小龙虾的养 殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元”列出方程组求解即 可；

（2）设今年稻谷的亩产量为a千克，根据“总利润＝龙虾的总利润＋稻谷的总收入－成本 以及总利润不少于8万元”列出不等式．

{答案}解：（1）设去年每千克小龙虾养殖成本x元，去年每千克小龙虾售价x元，由题意得：

，解得 ：.

答：去年每千克小龙虾养殖成本8元，去年每千克小龙虾售价40元.

（2）设今年稻谷的亩产量为a千克，由题意得：

20×100×30＋20×2.5a－20×600≥80000，解得a≥640.

答：今年稻谷的亩产量至少为640千克.

{分值}10

{章节:[1-9-2]一元一次不等式}

{难度:4-较高难度}

{类别:常考题}

{考点:代数综合}

{考点:一元一次不等式的应用}

{考点:二元一次方程组的应用}

{题目}25．（2019年益阳市T25）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两 点，与y轴交于点D,已知A(1, 4)，B(3, 0).

(1)求抛物线对应的二次函数表达式；

(2)探究：如图9-1, 连接OA,作DE∥OA交BA的延长线于点E,连接OE交AD于点F, M是BE 的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分?请说明理由；

(3)应用：如图9-2, P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m＋n＝－1,连接PA、 PC，在线段PC上确定一点N, 使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标.

提示：若点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则线段AB的中点坐标为.

{解析}本题考查了一次函数图像上，二次函数图像上点的特征，三角形面积和一次函数待定系数 法，二次函数顶点式等解决问题．

（1）利用二次函数顶点式的特殊性只需求系数a即可．

（2）平行线之间距离相同构造的同底等高的两个三角形面积相等来进行面积转移，利用面 积相等为条件将四边形转换成三角形来进行讨论，又因为三角形的中线平分三角形面积， 所以OM分成的面积是相等的．

（3）用P的坐标构造方程组，先定出P点的准确坐标，再用（2）中的面积转移方式证明出 N为PQ的中点最重要，这样就能用提示中的定义内容解决问题．

{答案}解：（1）抛物线的顶点为A（1,4），设函数表达式为．抛物线经过点B （3,0），所以，解得a＝－1．所以抛物线对应的二次函数表达式为 ，即．

（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分．

理由：∵DE∥OA，∴S△ODA＝S△OME（同底等高的两个三角形面积相等），∴＋ ＝＋,即＝.∵M是BE中点，∴＝.∴ ＝,即OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分.

（3）∵点P（m，n）是抛物线图像上的点，∴.∵m＋n＝ －1,∴n＝－m－1,代入上式，得：,解得m＝－1（不合题意，舍 去），m＝4，点P的坐标为（4，－5）.如图，过点D作DQ∥CA交PC的延长线与点Q，由 （2）知点N为PQ的中点.设经过点C（－1，0），P（4，－5）的直线对应的函数表达式为y ＝kx＋b,由此得,解得.直线CP对应的函数表达式为y＝－x－1.同理， 直线AC对应的函数表达式为y＝2x＋2.直线DQ∥CA,故设直线DQ对应的函数表达式为y＝2x ＋b,其经过点D（0，3），所以直线DQ对应的函数表达式为y＝2x＋3.解方程组, 得即点Q的坐标为.因为点N为PQ中点，所以,点N的横坐标为： ，点N的纵坐标为：所以点N的坐标为.

{分值}12

{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}

{难度:5-高难度}

{类别:思想方法}

{类别:高度原创}

{考点:其他二次函数综合题}

{考点:含参系数的二次函数问题}

{考点:抛物线与一元二次方程的关系}

{考点:待定系数法求一次函数的解析式}

{考点:函数图象上的点}

{考点:灵活选用合适的方法解一元二次方程}

{考点:选择合适的方法解二元一次方程组}

{考点:平行线之间的距离}

{考点:三角形的面积}

{考点:三角形综合题}

{题目}26．（2019年益阳市T26）

{解析}（1）利用矩形性质得到直角和边长，通过特殊三角函数值求出垂线段长，从而得到坐标. （2）利用面积公式和等底等高等，求出△OAD的面积，然后通过面积法求出斜边的高，相 似求出直角边的长，最后用勾股定理求出OA.

（3）本问最值可以根据三角形的三边关系来解决，因为有OC≤OM＋CM，所以OC＝OM ＋CM时就是最大时，也就是O,M,C三点在同一直线时.

{答案}解：（1）如图1，过点C作CE⊥y轴，垂足为E.

∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE＋∠ADO＝90°，又∠OAD＋∠ADO＝90° ∴∠ CDE＝∠OAD＝30°.

∴在Rt∆CED中，CE＝CD＝2,DE＝＝2

在Rt∆OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝AD＝3.点c的坐标为（2，3＋2）.

（2）∵M为AD的中点，∴DM＝3, S△DCM＝6.又S四边形OMCD＝，∴ S△ODM＝， S△OAD＝9

过点O作ON⊥AD，垂足为N，∴∠NOD＋∠ADO＝90°S△OAD＝9＝＝ ，∴ON＝3，又∵∠OAD＋∠ADO＝90° ∴∠NOD＝∠OAD，∴∆AND∽∆OND, ∴＝,即＝， 解得AN＝3.

∴在Rt∆ANO中，OA＝＝3.

（3）OC的最大值为8.

如图2，M为AD中点所以OM＝3，CM＝＝5，所以OC≤OM＋CM＝8，当 O,M,C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过 点O作ON⊥AD，垂足为N，

∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴∆CMD∽∆OMN,

∴＝＝,即＝＝，解得MN＝，ON＝.

∴AN＝AM-MN＝，在Rt∆OAN中，OA＝＝，cos∠OAD＝＝.

{分值}12

{章节:[1-27-1-2]相似三角形的性质}

{难度:5-高难度}

{类别:思想方法}

{类别:高度原创}

{考点:几何综合}

{考点:与矩形菱形有关的综合题}

{考点:矩形的性质}

{考点:余弦}

{考点:相似三角形的判定（两角相等）}

{考点:相似三角形的性质}

{考点:勾股定理}

{考点:含30度角的直角三角形}

{考点:直角三角形两锐角互余}

{考点:对顶角、邻补角}

{考点:三角形的面积}

{考点:三角形三边关系}

{考点:三角形的中线}

{考点:垂线的性质}