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    2018年德州市中考试题及答案-

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    德州市二○一八年初中学业水平考试
    数学试题
    一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3的相反数是（ ） A. 3 B. C. -3 D.
    2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
    A. B. C. D.
    3. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿．用科学记数法表示1.496亿是（ ） A. B. C. D.
    4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D.
    5. 已知一组数据：6，2，8，，7，它们的平均数是6．则这组数据的中位数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
    6. 如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）

    A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 7. 如图,函数和(是常数,且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
    A. B. C. D.


    8. 分式方程A. B.     C. 的解为（ ）
    D. 无解
    9. 如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）

    A. B. C. D.
    10. 给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（ ）
    A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③
    11. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式
    的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

    根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
    A. 84 B. 56 C. 35 D. 28 12. 如图，等边三角形于两点，连接;④△的边长为4,点是△的中心，;②.绕点旋转;③四边形,分别交线段的面积始终等于,给出下列四个结论:①周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是(
    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
    二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
    13. 计算:14. 若15. 如图,=__________． 是一元二次方程为的平分线.的两个实数根，则,..则点到射线=__________． 的距离为__________．

    16. 如图。在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．

    17. 对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=x，y满足方程组18. 如图,反比例函数若以，则x◆y=_____________.
    与一次函数，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若在第三象限交于点.点的坐标为(一3,0,点是轴左侧的一点.为顶点的四边形为平行四边形.则点的坐标为_____________.
    三、解答题 （本大题共7小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

    19. 先化简,再求值:

    20. 某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲,从全校学生中随机抽取,其中是不等式组的整数解.

    部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.

    请根据以上信息,解答下列问题: (1这次被调查的学生共有多少人? (2请将条形统计图补充完整; (3若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人? (4该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答

    21. 如图,两座建筑物的水平距离座建筑物的高度(参考数据:为.从点测得点的仰角为53° ,从点测得点的俯角为37° ,求两



    22. 如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中
    点．

    （1）求证：AD⊥CD；
    （2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数．

    23. 为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台和销售单价(单位:万元成一次函数关系. (1求年销售量与销售单价的函数关系式; (2根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元?

    24. 再读教材:
    宽与长的比是(约为0.618的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示;
    第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平. 第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.

    第三步,折出内侧矩形的对角线,并把折到图③中所示的,使处，
    第四步,展平纸片,按照所得的点折出问题解决: (1图③中=__________(保留根号; ,则图④中就会出现黄金矩形，
    (2如图③,判断四边形的形状,并说明理由; (3请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由. 实际操作:

    (4结合图④.请在矩形

    25. 如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线交于两点，其中,.该抛物中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.

    线与轴交于点,与轴交于另一点.
    (1求的值及该抛物线的解析式; 上的一动点(不与,连接,在线段,试确定△重合.分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△(2如图2.若点为线段和等腰直角△(3如图3.连接、面积最大时点的坐标. 为顶点的三角形与△相似,若存在,请直上是否存在点,使得以接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.




    德州市二○一八年初中学业水平考试
    数学试题解析
    一、选择题：本大题共10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 3的相反数是（ ） A. 3 B. C. -3 D. 【答案】C 【解析】分析：根据相反数的定义，即可解答．
    详解：3的相反数是﹣3． 故选C．

    2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）

    A. B. C. D.
    【答案】B 【解析】分析：观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
    详解：A是中心对称图形；B既是轴对称图形又是中心对称图形；C是轴对称图形；D既不是轴对称图形又不是中心对称图形． 故选B．
    点睛：本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，牢记轴对称及中心对称图形的特点是解题的关键． 3. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿．用科学记数法表示1.496亿是（ ） A. 【答案】D n【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要 B. C. D.
    看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

    详解：数据1.496亿用科学记数法表示为1.496×10． 故选D．
    点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 下列运算正确的是（ ） A. 【答案】C 【解析】分析：根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则、合并同类项的法则分别进行计算即可．
    325详解：A．a•a=a，故原题计算错误；
    n    8 B. C. D.
    B．（﹣a2）3=﹣a6，故原题计算错误； C．a7÷a5=a2，故原题计算正确；
    D．﹣2mn﹣mn=﹣3mn，故原题计算错误． 故选C．
    点睛：本题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、积的乘方，关键是掌握各计算法则． 5. 已知一组数据：6，2，8，，7，它们的平均数是6．则这组数据的中位数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：首先根据平均数为6求出x的值，然后根据中位数的概念求解．
    详解：由题意得：5+2+8+x+7=6×5，解得：x=8，这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，5，7，8，8，则中位数为7． 故选A．
    点睛：本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
    6. 如图,将一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互余的是（ ）


    A. 图① B. 图② C. 图③ D. 图④ 【答案】A 【解析】分析：根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
    详解：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余； 图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β； 图③，根据等角的补角相等∠α=∠β； 图④，∠α+∠β=180°，互补． 故选A．
    点睛：本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键． 7. 如图,函数和(是常数,且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
    A. B. C. D.
    【答案】B 【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
    2a＜0，详解：A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：此时二次函数y=ax﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；
    B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确；
    C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；
    D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故
    选项错误． 故选B．
    点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 8. 分式方程A. B. C. 的解为（ ）
    D. 无解
    【答案】D 【解析】分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
    22详解：去分母得：x+2x﹣x﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，分式方程无解．
    故选D．
    点睛：本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件． 9. 如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为（ ）

    A. B. C. D.
    【答案】A 【解析】分析：连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．
    详解：连接AC．
    ∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个同心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC．
    ∵AB2+BC2=22，∴AB=BC=m，∴阴影部分的面积是 故选A．
    =（m2）．


    点睛：本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 10. 给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（ ）
    A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
    详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误； ②y=，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误； ③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确； ④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确． 故选B．
    点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．
    11. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式
    的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．

    根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第四项的系数为（ ）
    A. 84 B. 56 C. 35 D. 28 【答案】B
    8【解析】分析：根据图形中的规律即可求出（a+b）的展开式中从左起第四项的系数．
    4详解：找规律发现（a+b）的第四项系数为4=3+1；
    （a+b）5的第四项系数为10=6+4； （a+b）6的第四项系数为20=10+10； （a+b）7的第四项系数为35=15+20； ∴（a+b）8第四项系数为21+35=56． 故选B．
    点睛：本题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力． 12. 如图，等边三角形于两点，连接;④△的边长为4,点是△的中心，;②.绕点旋转;③四边形,分别交线段的面积始终等于,给出下列四个结论:①周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是(

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】分析：连接BO，CO，可以证明△OBD≌△OCE，得到BD=CE，OD=OE，从而判断①正确；
    通过特殊位置，当D与B重合时，E与C重合，可判断△BDE的面积与△ODE的面积的大小，从而判断②错误；
    由△OBD≌△OCE，得到四边形ODBE的面积=△OBC的面积，从而判断③正确； 过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI=，DI=．由BD=EC，BC=4，得到BE=4－x，IE= ．在Rt△DIE中，DE== =，△BDE的周长=BD+BE+DE= 4+DE，当DE最小时，△BDE的周长最小，从而判断出④正确． 详解：连接BO，CO，过O作OH⊥BC于H．
    ∵O为△ABC的中心，∴BO=CO，∠DBO=∠OBC=∠OCB=30°，∠BOC=120°．
    ∵∠DOE=120°∴∠DOB=∠COE．OB=OC，∠DBO=∠ECO，，在△OBD和△OCE中，∵∠DOB=∠COE，
    ∴△OBD≌△OCE，∴BD=CE，OD=OE，故①正确；
    当D与B重合时，E与C重合，此时△BDE的面积=0，△ODE的面积＞0，两者不相等，故②错误；∵O为中心，OH⊥BC，∴BH=HC=2． ∵∠OBH=30°，∴OH=BH=，∴△OBC的面积==．
    ∵△OBD≌△OCE，∴四边形ODBE的面积=△OBC的面积=过D作DI⊥BC于I．设BD=x，则BI=，DI=．
    ，故③正确；
    ∵BD=EC，BC=4，∴BE=4－x，IE=BE-BI=．在Rt△DIE中，DE== = =，当x=2时，DE的值最小为2，△BDE的周长=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE，当DE最小时，△BDE的周长最小，∴△BDE的周长的最小值=4+2=6．故④正确． 故选C．


    点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了等边三角形的性质以及二次函数的性质．解题的关键是证明△OBD≌△OCE．
    二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）
    13. 计算:【答案】1 【解析】分析：根据有理数的加法解答即可．
    详解：|﹣2+3|=1． 故答案为：1．
    点睛：本题考查了有理数的加法，关键是根据法则计算． 14. 若是一元二次方程的两个实数根，则=__________．
    =__________．

    【答案】-3 【解析】分析：根据根与系数的关系即可求出答案．
    详解：由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2， ∴x1+x2+x1x2=﹣3 故答案为：﹣3．
    点睛：本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 15. 如图,为的平分线.,..则点到射线的距离为__________．

    【答案】3 【解析】分析：过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
    详解：过C作CF⊥AO．
    ∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，∴CM=CF． ∵OC=5，OM=4，∴CM=3，∴CF=3． 故答案为：3．


    点睛：本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 16. 如图。在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．


    【答案】
    【解析】分析：先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
    222222222222详解：∵AB=3+4=25，AC=2+4=20，BC=1+2=5，∴AC+BC=AB，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，则sin∠BAC= 故答案为：．
    =．
    点睛：本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 17. 对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=x，y满足方程组【答案】60 【解析】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
    详解：由题意可知：解得：．
    ，
    ，则x◆y=_____________.
    ，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若 ∵x＜y，∴原式=5×12=60． 故答案为：60．

    18. 如图,反比例函数若以与一次函数在第三象限交于点.点的坐标为(一3,0,点是轴左侧的一点.为顶点的四边形为平行四边形.则点的坐标为_____________.
    【答案】(-4,-3,(-2,3 【解析】分析：联立直线和反比例函数解析式可求出A点的坐标，再分以AB为对角线、以OA为对角线和以OB为对角线三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的P点的坐标．

    详解：由题意得：，解得：或．
    ∵反比例函数y=与一次函数y=x﹣2在第三象限交于点A，∴A（﹣1，﹣3）． 当以AB为对角线时，AB的中点坐标M为（﹣2，﹣1.5）．
    ∵平行四边形的对角线互相平分，∴M为OP中点，设P点坐标为（x，y），则﹣1.5，解得：x=﹣4，y=﹣3，∴P（﹣4，﹣3）．
    当OB为对角线时，由O、B坐标可求得OB的中点坐标M（﹣，0），设P点坐标为（x，y），由平行四边形的性质可知M为AP的中点，结合中点坐标公式可得：y=3，∴P（﹣2，3）；
    当以OA为对角线时，A坐标可求得OA的中点坐标My）由O、（﹣，﹣），设P点坐标为（x，，由平行四边形的性质可知M为BP中点，结合中点坐标公式可得y=﹣3，∴P（2，﹣3）（舍去）．
    综上所述：P点的坐标为（﹣4，﹣3），（﹣2，3）． 故答案为：（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．
    点睛：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、平行四边形的判定与性质及中点坐标公式是解答此题的关键．
    =﹣=﹣，解得：x=2，=﹣=0，x=﹣2，解得：=﹣2，=三、解答题 （本大题共7小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

    19. 先化简,再求值:,其中是不等式组的整数解.
    【答案】. 【解析】分析：原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．
    详解：原式===﹣，

    •    ﹣
    不等式组解得：3＜x＜5，整数解为x=4，

    当x=4时，原式=．
    点睛：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
    20. 某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况(新闻、体育、动画、娱乐、戏曲,从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.

    请根据以上信息,解答下列问题: (1这次被调查的学生共有多少人? (2请将条形统计图补充完整; (3若该校约有1500名学生,估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人? (4该校广播站需要广播员,现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名,求恰好选中甲、乙两位同学的概率(用树状图或列表法解答
    【答案】（1）50人；（2）补图见解析；（3）540人；（4） 【解析】分析：（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
    （2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可； （2）用样本估计总体的思想解决问题；
    （3）根据题意先画出树状图，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案． 详解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%=50人；
    （2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）=10人，补全图形如下：


    （3）估计全校学生中喜欢娱乐节目的有1500×=540人； （4）列表如下：



    所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为=．
    点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 如图,两座建筑物的水平距离座建筑物的高度(参考数据:为.从点测得点的仰角为53° ,从点测得点的俯角为37° ,求两

    【答案】建筑物的高度为.建筑物的高度为. 【解析】分析：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m．在Rt△ABC中，求出AB．在Rt△ADE中求出AE即可解决问题．
    详解：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m， 在Rt△ABC中，tan53°==在Rt△ADE中，tan37°∴BE=CD=AB﹣AE=35（m）．
    答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．
    ==，∴AB=80（m）． ，∴AE=45（m），


    点睛：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
    22. 如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．

    （1）求证：AD⊥CD；
    （2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数． 【答案】（1）证明见解析；（2）11.3 【解析】分析：（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；
    （2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可． 详解：（1）连接OC．
    ∵直线CD与⊙O相切，∴OC⊥CD． ∵点C是的中点，∴∠DAC=∠EAC．
    ∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，∴AD⊥CD；
    （2）∵∠CAD=30°，∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，∴OE=2OC=6，EC=OC=3==π，∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．



    点睛：本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．
    23. 为积极响应新旧动能转换.提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台和销售单价(单位:万元成一次函数关系. (1求年销售量与销售单价的函数关系式; (2根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润.则该设备的销售单价应是多少万元? 【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元. 【解析】分析：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
    （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．
    详解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：
    解得：， ，
    ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．
    （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据题意得： （x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，
    2整理，得：x﹣130x+4000=0，
    解得：x1=50，x2=80．
    ∵此设备的销售单价不得高于70万元，∴x=50．

    答：该设备的销售单价应是50万元/台．
    点睛：本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24. 再读教材: 宽与长的比是(约为0.618的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示;
    第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平. 第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.

    第三步,折出内侧矩形的对角线,并把折到图③中所示的,使处，
    第四步,展平纸片,按照所得的点折出问题解决: (1图③中=__________(保留根号; ,则图④中就会出现黄金矩形，
    (2如图③,判断四边形的形状,并说明理由; (3请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由. 实际操作:

    (4结合图④.请在矩形中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.
    是菱形.理由见解析；（3）见解析. 【答案】（1）；（2）四边形【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；
    （2）根据菱形的判定方法即可判断； （3）根据黄金矩形的定义即可判断；

    （4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．
    详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB= 故答案为：．
    （2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下： 如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．
    ∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．
    =    =．

    （3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．


    ∵AD=．AN=AC=1，CD=AD﹣AC=﹣1． ∵BC=2，∴ ∵===，∴矩形BCDE是黄金矩形． ，∴矩形MNDE是黄金矩形．
    （4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．


    长GH=﹣1，宽HE=3﹣．
    点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是
    理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 25. 如图1,在平面直角坐标系中,直线线与轴交于点,与轴交于另一点. 与抛物线交于两点，其中,.该抛物
    (1求的值及该抛物线的解析式; 上的一动点(不与,连接,在线段,试确定△重合.分别以、为斜边,在直线的同侧作等腰直角△(2如图2.若点为线段和等腰直角△(3如图3.连接、面积最大时点的坐标. 为顶点的三角形与△相似,若存在,请直上是否存在点,使得以接写出点的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】（1）点坐标为或；（2）当. ，即时，最大，此时,所以；（3）存在【解析】分析：（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；
    （2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；
    （3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．
    详解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，∴A（1，0），B（4，3）． ∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，∴2﹣x+6x﹣5；
    ，解得：，则二次函数解析式为y= （2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM=∠DPN=45°，∴∠MPN=90°，20）∴△MPN为直角三角形，令﹣x+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，∴D（5，，即DP=5﹣1=4，设AP=m，2则有DP=4﹣m，∴PM=m，PN=（4﹣m），∴S△MPN=PM•PN=×m×（4﹣m）=﹣m﹣m=
    2﹣（m﹣2）+1，∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）；
    （3）存在，易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，分两种情况讨论： ①当△ABD∽△DAQ时，2（x﹣5）==，即=，解得：AQ=，由两点间的距离公式得：（x﹣1）+2，解得：x=，此时Q（，﹣）；
    =1，即AQ=22，∴（x﹣1）+（x﹣5）=10，解得：x=2，此时Q ②当△ABD∽△DQA时，（2，﹣3）．
    综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）．
    点睛：本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离公式，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键．


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