2019年四川省遂宁市中考数学试卷

第Ⅰ卷（选择题，满分40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

1.（2019年遂宁）的值为 （ ）

A. B.- C.± D.2

2. （2019年遂宁）下列等式成立的是 （ ）

A. B. C. (2a2+a)÷a=2a D.5x2y-2x2y=3

3. （2019年遂宁）如图为正方形的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为-2的面与其对面上的数字之积为 （ ）

A.-12 B.0 C.-8 D.-10

4. （2019年遂宁）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中的样本是 （ ）

A.100 B.被抽取的100名学生家长

C.被抽取的100名学生家长的意见 D.全校学生家长的意见

5. （2019年遂宁）已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0，则a的值为

A.0 B.±1 C.1 D.-1

6. （2019年遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为

A.4-8 B.2 C.4 D.8-8

7．（2019年遂宁）如图，□ABCD中，对角线AD、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若□ABCD的周长为28，则△ABE的周长为 （ ）

A.28 B.24 C.21 D.14

8.（2019年遂宁）若关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）

A.k＞4 B.k＜4 C.k＞-4且k≠4 D.k＜4且k≠-4

9.（2019年遂宁）二次函数y=x2-ax+b的图像如图所示，对称轴为直线x=2.下列结论不正确的是

A.a=4 B.当b=-4时，顶点坐标为（2，-8）

C.当x=-1时，b＞-5 D.当x＞3时，y随x的增大而增大

10.（2019年遂宁）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线与点H，连接BD交PC于点Q.下列结论：

①∠BPD=135°；②△BDP∽△HDB；③DQ:BQ=1:2；④，其中正确的有（）

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

二、填空题（本答题共5个小题，每小题4分，共20分）

11.（2019年遂宁）2018年10月24日，我国又一项世界级工程----港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为___________米.

12．（2019年遂宁）若关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________.

13.（2019年遂宁）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为________分.

14.（2019年遂宁）阅读材料：定义：如果一个数字的平方等于-1，记为i2=-1，找个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做找个复数的实部，b叫做找个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.

例如计算：（4+i）+（6-2i）=（4+6）+（1-2）i=10-i；

（2-i）（3+i）=6-3i+2i-i2=6-i-（-1）=7-i；

（4+i）（4-i）=16-i2=16-（-1）=17；

（2+i）2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i

根据以上信息，完成下面计算：

（1+2i）（2-i）+（2-i）2=__________________。

15．（2019年遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数经过点B，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为___ （填一般式）.

三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）

16．（2019年遂宁）（本小题满分7分）计算：

17．（2019年遂宁）（本小题满分7分）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解.

18．（2019年遂宁）（本小题满分7分）先化简，再求值：，其中a，b满足

19.（2019年遂宁）（本小题满分9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE=BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点.求证：（1）△ADF≌△ECF；（2）四边形ABCD是平行四边形,

20.（2019年遂宁）（本小题满分9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固。如图，加固前大坝背水坡坡面A至B共有30级阶梯，平均没级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度为1:1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i=1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）

21．（2019年遂宁）（本小题满分9分）仙桃市遂宁市某地的特色时令水果，仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元.

（1）第一批仙桃每件进价是多少元？

（2）老板以每件225元的价格促销第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销，要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润=售价-进价）

22.（2019年遂宁）（本小题满分10分）我市某校为了让学生可与生活丰富多彩，开展了以下课外活动：

为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问答调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的答题过程）.

（1）本次共调查了________名学生；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为________；

（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人；

（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4为同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵比赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率.

23.（2019年遂宁）（本小题满分10分）如图，一次函数y=x-3的图像于反比例函数的图象交于点A与点B（a，-4）.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合）。连接OP，过点P作y轴的平行线交直线AB于点C。连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标.

24.（2019年遂宁）（本小题满分10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E,延长AD至点F,使DF=2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AF∥BC，连接OC。若cos∠BAC=，BC=6.（1）求证：∠COD=∠BAC；（2）求⊙O的半径OC；（3）求证：CF是⊙O的切线.

25．（2019年遂宁）（本小题满分12分）如图，定点为P（3，3）的二次函数图像欲x轴交于点A（6，0）.点B在该图像上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称.连接BN、ON.（1）求该二次函数的关系式；（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图像上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP=MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时B的坐标.②求证：∠BNM=∠ONM.

2019年四川省遂宁市中考数学试卷

第Ⅰ卷（选择题，满分40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

1.（2019年遂宁）的值为 （ ）

A. B.- C.± D.2

{答案}B

{解析}本题考查了绝对值符号的识别和绝对值意义的理解，表示-的绝对值的相反数.因为负数的绝对值等于它的相反数，所以-的绝对值为，的相反数是-，因此本题选B．

2. （2019年遂宁）下列等式成立的是 （ ）

A. B.

C. (2a2+a)÷a=2a D.5x2y-2x2y=3

{答案}B

{解析}本题考查了整式运算法则的掌握，选项A．2与不是同类项，不能进行合并；选项B．根据积的乘方法则，将各因式分别乘方，再根据幂的乘方，底数不变指数相乘，结果正确；选项C．根据多项式除以单项式的法则，将多项式中的各项分别除以这个单项式，再它们的和相加，即(2a2+a)÷a=2a+1，所以该项不正确；选项D．根据合并同类项的法则，系数相加减，字母及其指数不变，即5x2y-2x2y=3x2y，所以该项不正确；因此本题选B．

3. （2019年遂宁）如图为正方形的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为-2的面与其对面上的数字之积为 （ ）

A.-12 B.0 C.-8 D.-10

{答案}A

{解析}本题考查了正方体的侧面展开图和空间观念.根据正方体的平面展开图的特征知，其相对面的两个正方形之间一定相隔一个正方形，所以数字为-2的面的对面上的数字是6，其积为-12，因此本题选A．

4. （2019年遂宁）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中的样本是 （ ）

A.100 B.被抽取的100名学生家长

C.被抽取的100名学生家长的意见 D.全校学生家长的意见

{答案}C

{解析}本题考查了总体、个体、样本与样本容量的理解，因为要了解家长对“禁止学生带手机进校园”这一规定的意见，并且随机对全校100名学生家长进行调查，故此样本是指被抽取的100名学生家长的意见，因此本题选C．

5. （2019年遂宁）已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x=0，则a的值为 （ ）

A.0 B.±1 C.1 D.-1

{答案}D

{解析}本题考查了一元二次方程的概念和方程解的意义.根据方程解的意义，将这个根x=0代入方程可得a2-1=0，解得a=1或a=-1，再根据一元二次方程的概念可知a-1≠0，即a≠1，则a=-1，因此本题选D．

6. （2019年遂宁）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A=45°，⊙O的半径r=4，则阴影部分的面积为 （ ）

A.4-8 B.2 C.4 D.8-8

{答案}A

{解析}本题考查了圆周角定理和扇形面积公式以及应用转化思想求不规则图形面积. ∵在⊙O中，圆周角∠A=45°，∴∠BOC=90°，∴S扇形BOC==4π.∵S△BOC=×4×4=8，∴阴影部分的面积为S扇形BOC-S△BOC=4π-8，因此本题选A．

7．（2019年遂宁）如图，□ABCD中，对角线AD、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若□ABCD的周长为28，则△ABE的周长为 （ ）

A.28 B.24 C.21 D.14

{答案}D

{解析}本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质. □ABCD的周长为28，则AB+AD=14.根据平行四边形的性质“平行四边形的对角线互相平分”可知：点O是BD的中点，又有条件“OE⊥BD交AD于点E”可知OE垂直平分BD，∴BE=DE，则△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+AE+DE=AB+AD=14，因此本题选D．

8.（2019年遂宁）若关于x的方程的解为正数，则k的取值范围是（ ）

A.k＞4 B.k＜4 C.k＞-4且k≠4 D.k＜4且k≠-4

{答案}C

{解析}本题考查了分式方程的解法和不等式的应用．解得x=，∵方程的解是正数，∴＞0，∴k＞-4，∵当2(x-2)=0即x=2时方程有增根，∴≠2，即k≠4，∴k＞-4且k≠4．因此本题选C．

9.（2019年遂宁）二次函数y=x2-ax+b的图像如图所示，对称轴为直线x=2.下列结论不正确的是 （ ）

A.a=4 B.当b=-4时，顶点坐标为（2，-8）

C.当x=-1时，b＞-5 D.当x＞3时，y随x的增大而增大

{答案}D

{解析}本题考查了二次函数的图像与性质以及从图像中获取有用信息的能力. ∵二次函数y=x2-ax+b的图像对称轴为直线x=2，∴-=2，解得a=4，则选项A是正确的；当b=-4时，二次函数表达式为y=x2-4x-4=(x-2)2-8，此时顶点坐标为（2，-8），则选项B是正确的；当x=-1时，由图象知此时y＜0，即1+4+b＜0，∴b＜-5，则选项C不正确；∵对称轴为直线x=2且图象开口向上，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，则选项D正确.因此本题选D．

10.（2019年遂宁）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线与点H，连接BD交PC于点Q.下列结论：

①∠BPD=135°；②△BDP∽△HDB；③DQ:BQ=1:2；④，其中正确的有（）

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

{答案}D

{解析}本题考查了等边三角形和正方形的性质以及相似三角形的判定方法. ∵四边形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BCD=90°，∠DBC=45°.∵△BPC是等边三角形，∴BC=CP，∠BCP=∠BPC=60°，∴CP=CD，∠DCP=30°，∴∠DPC=75°，∠DPP=135°，则①正确；∵∠DBC=45°，∴∠DBH=135°=∠DPB，∵∠PDB=∠BDH，∴△BDP∽△HDB，则②正确；延长CP∠AD于点E，则DE=CD=.∵AD∥BC，∴DQ:BQ=DE:BC=，则③正确；过点P作PF⊥CD，垂足为点F，∴PF=，∴，则④正确．因此本题选D．

二、填空题（本答题共5个小题，每小题4分，共20分）

11.（2019年遂宁）2018年10月24日，我国又一项世界级工程----港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为___________米.

{答案}5.5×104

{解析}本题考查了较大数的科学计数法，解题的关键是掌握科学记数法的概念.科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．所以55000=5.5×10000=5.5×104，因此本题填5.5×104．

12．（2019年遂宁）若关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________.

{答案}k＜1

{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的正负判断根的情况是解决问题的关键. ∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，∴4-4k＞0，解得k＜1，因此本题填：k＜1．

13.（2019年遂宁）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为________分.

{答案}88.8

{解析}本题考查了加权平均数．掌握加权平均数的算法是解决本题的关键．由题意，则该名教师的综合成绩为：92×40%+85×40%+90×20%=36.8+34+18=88.8，因此本题填88.8．

14.（2019年遂宁）阅读材料：定义：如果一个数字的平方等于-1，记为i2=-1，找个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫做找个复数的实部，b叫做找个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.

例如计算：（4+i）+（6-2i）=（4+6）+（1-2）i=10-i；

（2-i）（3+i）=6-3i+2i-i2=6-i-（-1）=7-i；

（4+i）（4-i）=16-i2=16-（-1）=17；

（2+i）2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i

根据以上信息，完成下面计算：

（1+2i）（2-i）+（2-i）2=__________________。

{答案}7-i

{解析}此题主要考查了实数运算，正确运用相关计算法则是解题关键．（1+2i）（2-i）+（2-i）2=2-i+4i-2i2+4+i2-4i=6-i-i2=6-i+1=7-i．因此本题填7-i．

15．（2019年遂宁）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数经过点B，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为___ （填一般式）.

{答案}y=x2-x+3

{解析}本题考查了反比例函数图像的性质、矩形的性质和图形折叠性质以及用待定系数法求二次函数表达式. ∵反比例函数经过点B，C（0，3），∴B（4，3），∴AC=5.∵将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，∴CP=CO=3，∴AP=2.设OG=PG=m，∵△PGA是直角三角形，∴AP2+PG2=AG2，解得m=，∴G(，0)、A(4，0)，设该二次函数的解析式为y=a(x-)(x-4)，∵C（0，3），∴a=，∴y=(x-)(x-4)= y=x2-x+3．因此本题填y=x2-x+3．

三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）

16．（2019年遂宁）（本小题满分7分）计算：

{解析}本题考查了乘方运算法则、零次幂、负指数幂、二次根式的加减法以及特殊角的三角函数值和简单的实数运算．

{答案}原式=-1++1-4×+(2-2)=-2+2-2=-．

17．（2019年遂宁）（本小题满分7分）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解.

{解析}本题考查了不等式的解集，正确理解数轴上不等式解集的意义是解题的关键．一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

{答案}

解不等式①，x＞-3，

解不等式②，x≤2，

∴-3＜x≤2，

解集在数轴上表示如下：

∴x的整数解为-2，-1，0，1，2．

18．（2019年遂宁）（本小题满分7分）

先化简，再求值：，其中a，b满足

{解析}本题考查了分式的化简与求值以及非负数的性质，掌握运算顺序，化简的方法把分式化到最简，然后代值计算．

{答案}原式===-，

∵，∴a=2，b=-1，∴原式=-=-=-1

19.（2019年遂宁）（本小题满分9分）

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE=BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点.

求证：（1）△ADF≌△ECF；（2）四边形ABCD是平行四边形,

{解析}本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行双绞线的判定定理是解题的关键．

{答案}（1）∵ AD∥BC，∴∠DAF=∠E，

∵ 点F是CD的中点，∴DF=CF，

在△ADF与△ECF中，∴△ADF≌△ECF（AAS）；

（2）∵△ADF≌△ECF，∴AD=EC，∵CE=BC，∴AD=BC，

∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．

20.（2019年遂宁）（本小题满分9分）

汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固。如图，加固前大坝背水坡坡面A至B共有30级阶梯，平均没级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度为1:1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i=1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）

{解析}此题考查了坡度坡角问题．构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．

{答案}过A 作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，

∴ EG=AH，GH=AE=2，∵AB=30×30=900cm=9米，∵斜坡AB的坡度i=1：1，

∴AH=BH=，∴BG=BH-HG=，

∵斜坡EF的坡度i=1：，∴FG=，

∴BF=FG-BG=-，

∴S梯形ABFE=（2+-）×=，

∴共需土石为×200=50（81-81+36）立方米．

21．（2019年遂宁）（本小题满分9分）

仙桃市遂宁市某地的特色时令水果，仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元.

（3）第一批仙桃每件进价是多少元？

（4）老板以每件225元的价格促销第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销，要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润=售价-进价）

{解析}本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．

{答案}（1）设第一批仙桃每件进价x元，则：

×=，解得 x=180．

经检验，x=180是所列方程的根．

答：第一批仙桃每件进价为180元；

（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．则：

×225×80%+×225×（1-80%）×0.1y-3700≥440，解得 y≥6．

答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．

22.（2019年遂宁）（本小题满分10分）

我市某校为了让学生可与生活丰富多彩，开展了以下课外活动：

为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问答调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的答题过程）.

（1）本次共调查了________名学生；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为________；

（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人；

（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4为同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵比赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率.

{解析}此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图．

{答案} （1）此次调查的总人数为40÷20%=200（人），故答案为：200；

（2）D类型人数为200×25%=50（人），B类型人数为200-（40+30+50+20）=60（人），

补全图形如下：

（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为360°×=108°，故答案为：108°；

（4）估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有2000×=1300（人）；

（5）画树状图如下：

，

由树状图知，共有12种等可能结果，其中一男一女的有8种结果，

∴ 刚好一男一女参加决赛的概率=．

23.（2019年遂宁）（本小题满分10分）

如图，一次函数y=x-3的图像于反比例函数的图象交于点A与点B（a，-4）.

（3）求反比例函数的表达式；

（4）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合）。连接OP，过点P作y轴的平行线交直线AB于点C。连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标.

{解析}本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．

{答案}（1）将B（a，-4）代入一次函数y=x-3中得：a=-1，∴B（-1，-4），

将B（-1，-4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k=4，

∴ 反比例函数的表达式为y=；

（2）如图，设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m-3），

∴ PC=|-（m-3）|，点O到直线PC的距离为m，

∴ △POC的面积=m×|-（m-3）|=3，解得：m=5或-2或1或2.

∵ 点P不与点A重合，且A（4，1），∴m≠4.

又∵ m＞0，∴m=5或1或2，

∴ 点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．

24.（2019年遂宁）（本小题满分10分）

如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E,延长AD至点F,使DF=2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AF∥BC，连接OC。若cos∠BAC=，BC=6.

（1）求证：∠COD=∠BAC；

（2）求⊙O的半径OC；

（3）求证：CF是⊙O的切线.

{解析}本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．

{答案}（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，∴∠GAF=90°，

∵AG∥BC，∴AE⊥BC，∴CE=BE，∴∠BAC=2∠EAC，

∵∠COE=2∠CAE，∴∠COD=∠BAC；

（2）∵∠COD=∠BAC，∴cos∠BAC=cos∠COE==，

∴设OE=x，OC=3x，∵BC=6，∴CE=3.

∵CE⊥AD，∴OE2+CE2=OC2，∴x2+32=9x2，∴x=（负值舍去），

∴OC=3x=，∴⊙O的半径OC为；

（3）∵DF=2OD，∴OF=3OD=3OC，∴==，

∵∠COE=∠FOC，∴△COE∽△FOE，∴∠OCF=∠DEC=90°，即FC⊥OC，垂足为点C.

∵OC是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线．

25．（2019年遂宁）（本小题满分12分）

如图，定点为P（3，3）的二次函数图像欲x轴交于点A（6，0）.点B在该图像上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称.连接BN、ON.

（1）求该二次函数的关系式；

（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图像上运动，请解答下列问题：

①连接OP，当OP=MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时B的坐标.

②求证：∠BNM=∠ONM.

{解析}本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，对称的性质，勾股定理逆定理，一元一次方程的解法，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质．

{答案}（1）∵二次函数顶点为P（3，3），∴设顶点式y=a（x-3）2+3.

∵二次函数图象过点A（6，0），∴（6-3）2a+3=0，解得：a=-，

∴二次函数的关系式为y=-（x-3）2+3=-x2+2x.

（2）设B（b，-b2+2b）（b＞3），∴直线OB解析式为：y=（-b+2）x，

∵OB交对称轴l于点M，∴当xM=3时，yM=（-b+2）×3=-b+6，

∴M（3，-b+6）.

∵点M、N关于点P对称，∴NP=MP=3-（-b+6）=b-3，

∴yN=3+b-3=b，即N（3，b）.

①∵OP=MN，∴OP=MP，∴=b-3，解得：b=3+3，

∴-b2+2b=-×（3+3）2+2×（3+3）=-3，

∴B（3+3，-3），N（3，3+3），

∴OB2=（3+3）2+（-3）2=36+18，ON2=32+（3+3）2=36+18，BN2=（3+3-3）2+（-3-3-3）2=72+36，

∴OB=ON，OB2+ON2=BN2，

∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，-3）．

②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D.

∵B（b，-b2+2b）、N（3，b），

设直线BN解析式为y=kx+d，

∴，解得：，

∴直线BN：y=-bx+2b.

当y=0时，-bx+2b=0，解得：x=6，∴D（6，0）.

∵C（3，0），NC⊥x轴，∴NC垂直平分OD，

∴ND=NO，∴∠BNM=∠ONM.