2018年辽宁省抚顺市中考数学试卷

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(3分)﹣的绝对值是(　　)

A．﹣ B． C．﹣ D．

2．(3分)下列物体的左视图是圆的是(　　)

A． B． C． D．

足球 鱼缸 水杯 圣诞帽

3．(3分)下列运算正确的是(　　)

A．2x+3y=5xy B．(x+3)2=x2+9 C．(xy2)3=x3y6 D．x10÷x5=x2

4．(3分)二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)

A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1

5．(3分)抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的(　　)

A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差

6．(3分)一次函数y=﹣x﹣2的图象经过(　　)

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

7．(3分)已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(2，1)．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(﹣2，1)．则点B的对应点的坐标为(　　)

A．(5，3) B．(﹣1，﹣2) C．(﹣1，﹣1) D．(0，﹣1)

8．(3分)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是(　　)

A． B． C．π D．2π

9．(3分)如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是(　　)

A．4 B．4 C．2 D．2

10．(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(0＜2a≤b)与x轴最多有一个交点．以下四个结论：

①abc＞0； ②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；

③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根； ④≥2．

其中，正确结论的个数为(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)

11．(3分)第十三届全国人民代表大会政府工作报告中说到，五年来我国国内生产总值已增加到8270000000万元，将数据8270000000用科学记数法表示为　　．

12．(3分)分解因式：xy2﹣4x=　　．

13．(3分)甲、乙两名跳高运动员近期20次的跳高成绩统计分析如下： =1.70m， =1.70m，s甲2=0.007，s乙2=0.003，则两名运动员中，　　的成绩更稳定．

14．(3分)一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从中随机摸出1个球是红球的概率为，则m的值为　　．

15．(3分)将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=　　．

16．(3分)如图，▱ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是　　．

17．(3分)如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(8，0)，O(0，0)，B(8，﹣6)，点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为　　．

18．(3分)如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A(0，2)，O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边，在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为　　．

三、解答题(第19题10分，第20题12分，共22分)

19．(10分)先化简，再求值：(1﹣x+)÷，其中x=tan45°+()﹣1．

20．(12分)抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉”，“旗袍故里”等家乡旅游品牌的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项(每位被调查的学生必选且只选一项)A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

(1)本次调查了多少名学生？

(2)补全条形统计图；

(3)该校共有500名学生，请你估计“十分了解”的学生有多少名？

(4)在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．

四、解答题(第21题12分，第22题12分，共24分)

21．(12分)如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN)．

(1)求灯杆CD的高度；

(2)求AB的长度(结果精确到0.1米)．(参考数据： =1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

22．(12分)为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．

(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

(2)若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

五、解答题(满分12分)

23．(12分)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．

(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若BE=4，DE=8，求AC的长．

六、解答题(满分12分)

24．(12分)俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．

(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

(3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

七、解答题(满分12分)

25．(12分)如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．

(1)若∠ABC=60°，BP=AQ．

①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；

②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

(2)若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．

八、解答题(满分14分)

26．(14分)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．

①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；

②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．

2018年辽宁省抚顺市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(3分)﹣的绝对值是(　　)

A．﹣ B． C．﹣ D．

【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．

【解答】解：﹣的绝对值是：．

故选：D．

2．(3分)下列物体的左视图是圆的是(　　)

A．

足球

B．

水杯

C．

圣诞帽

D．

鱼缸

【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．

【解答】解：A、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；

B、水杯的左视图是等腰梯形，故此选项不合题意；

C、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；

D、长方体的左视图是矩形，故此选项不合题意；

故选：A．

3．(3分)下列运算正确的是(　　)

A．2x+3y=5xy B．(x+3)2=x2+9 C．(xy2)3=x3y6 D．x10÷x5=x2

【分析】根据同底数幂的乘除法，完全平方公式，以及合并同类项的法则解答即可．

【解答】解：A、原式不能合并，错误；

B、(x+3)2=x2+6x+9，错误；

C、(xy2)3=x3y6，正确；

D、x10÷x5=x5，错误；

故选：C．

4．(3分)二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)

A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x＜1

【分析】根据二次根式有意义的条件可得1﹣x≥0，再解不等式即可．

【解答】解：由题意得：1﹣x≥0，

解得：x≤1，

故选：B．

5．(3分)抚顺市中小学机器人科技大赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名参赛选手想知道自己能否进入前4名，他除了知道自己成绩外还要知道这7名学生成绩的(　　)

A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差

【分析】7人成绩的中位数是第4名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

【解答】解：由于总共有7个人，且他们的分数互不相同，第4的成绩是中位数，要判断是否进入前4名，故应知道中位数的多少．

故选：A．

6．(3分)一次函数y=﹣x﹣2的图象经过(　　)

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

【分析】根据一次函数y=kx+b(k≠0)中的k、b判定该函数图象所经过的象限．

【解答】解：∵﹣1＜0，

∴一次函数y=﹣x﹣2的图象一定经过第二、四象限；

又∵﹣2＜0，

∴一次函数y=﹣x﹣2的图象与y轴交于负半轴，

∴一次函数y=﹣x﹣2的图象经过第二、三、四象限；

故选：D．

7．(3分)已知点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(2，1)．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为(﹣2，1)．则点B的对应点的坐标为(　　)

A．(5，3) B．(﹣1，﹣2) C．(﹣1，﹣1) D．(0，﹣1)

【分析】根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可．

【解答】解：∵A(1，3)的对应点的坐标为(﹣2，1)，

∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2，

∵点B(2，1)的对应点的坐标为(﹣1，﹣1)．

故选：C．

8．(3分)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30°，OA=2，则阴影部分的面积是(　　)

A． B． C．π D．2π

【分析】根据圆周角定理可以求得∠BOD的度数，然后根据扇形面积公式即可解答本题．

【解答】解：∵∠BCD=30°，

∴∠BOD=60°，

∵AB是⊙O的直径，CD是弦，OA=2，

∴阴影部分的面积是： =，

故选：B．

9．(3分)如图，菱形ABCD的边AD与x轴平行，A、B两点的横坐标分别为1和3，反比例函数y=的图象经过A、B两点，则菱形ABCD的面积是(　　)

A．4 B．4 C．2 D．2

【分析】作AH⊥BC交CB的延长线于H，根据反比例函数解析式求出A的坐标、点B的坐标，求出AH、BH，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式计算即可．

【解答】解：作AH⊥BC交CB的延长线于H，

∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，A、B两点的横坐标分别为1和3，

∴A、B两点的纵坐标分别为3和1，即点A的坐标为(1，3)，点B的坐标为(3，1)，

∴AH=3﹣1=2，BH=3﹣1=2，

由勾股定理得，AB==2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=AB=2，

∴菱形ABCD的面积=BC×AH=4，

故选：A．

10．(3分)已知抛物线y=ax2+bx+c(0＜2a≤b)与x轴最多有一个交点．以下四个结论：

①abc＞0；

②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；

③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；

④≥2．

其中，正确结论的个数为(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据抛物线的系数与图象的关系即可求出答案．

【解答】解：①∵抛物线y=ax2+bx+c(0＜2a≤b)与x轴最多有一个交点，

∴抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴abc＞0．

故正确；

②∵0＜2a≤b，

∴≥1，

∴﹣≤﹣1，

∴该抛物线的对称轴不在x=﹣1的右侧．

故错误；

③由题意可知：对于任意的x，都有y=ax2+bx+c≥0，

∴ax2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，

故正确；

④∵抛物线y=ax2+bx+c(0＜2a≤b)与x轴最多有一个交点，

∴当x=﹣1时，y≥0，

∴a﹣b+c≥0，

∴a+b+c≥2b，

∵b＞0，

∴≥2．

故正确．

综上所述，正确的结论有3个．

故选：C．

二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)

11．(3分)第十三届全国人民代表大会政府工作报告中说到，五年来我国国内生产总值已增加到8270000000万元，将数据8270000000用科学记数法表示为　8.27×109　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：8270000000=8.27×109，

故答案为：8.27×109．

12．(3分)分解因式：xy2﹣4x=　x(y+2)(y﹣2)　．

【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式=x(y2﹣4)=x(y+2)(y﹣2)，

故答案为：x(y+2)(y﹣2)

13．(3分)甲、乙两名跳高运动员近期20次的跳高成绩统计分析如下： =1.70m， =1.70m，s甲2=0.007，s乙2=0.003，则两名运动员中，　乙　的成绩更稳定．

【分析】根据方差的性质，可得答案．

【解答】解： =1.70m， =1.70m，s甲2=0.007，s乙2=0.003，

∵=，s甲2＞s乙2，

则两名运动员中，乙的成绩更稳定，

故答案为：乙．

14．(3分)一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从中随机摸出1个球是红球的概率为，则m的值为　2　．

【分析】根据题目中的数据可以计算出总的球的个数，从而可以求得m的值．

【解答】解：由题意可得，

m=3÷﹣3﹣4=9﹣3﹣4=2，

故答案为：2．

15．(3分)将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5=　40°　．

【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7的度数，进而得出答案．

【解答】解：如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，

∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，

∴∠6+∠7=140°，

∴∠5=180°﹣(∠6+∠7)=40°．

故答案为：40°．

16．(3分)如图，▱ABCD中，AB=7，BC=3，连接AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交CD于点E，连接AE，则△AED的周长是　10　．

【分析】根据平行四边形的性质可知AD=BC=3，CD=AB=7，再由垂直平分线的性质得出AE=CE，据此可得出结论

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=7，BC=3，

∴AD=BC=3，CD=AB=7．

∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

∴△ADE的周长=AD+(DE+AE)=AD+CD=3+7=10．

故答案为：10．

17．(3分)如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(8，0)，O(0，0)，B(8，﹣6)，点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为　或　．

【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题；

【解答】解：如图，在Rt△AOB中，OB==10，

①当△A′OB′在第四象限时，MM′=．

②当△A″OB″在第二象限时，MM′=，

故答案为或．

18．(3分)如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A(0，2)，O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边，在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：…；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为　(21010﹣2，21009)　．

【分析】由题意Q1(1，1)，O2(2，2)，O3(，4，2)，O4(，6，4)，O5(10，4)，O6(14，8)…观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2，下标为偶数的点在直线y=x+1上，点O2018的纵坐标为21009，可得21009=x+1，同侧x=21010﹣2，可得点O2018的坐标为(21010﹣2，21009)．

【解答】解：由题意Q1(1，1)，O2(2，2)，O3(，4，2)，O4(，6，4)，O5(10，4)，O6(14，8)…

观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为2，

下标为偶数的点在直线y=x+1上，

∵点O2018的纵坐标为21009，

∴21009=x+1，

∴x=21010﹣2，

∴点O2018的坐标为(21010﹣2，21009)．

故答案为(21010﹣2，21009)．

三、解答题(第19题10分，第20题12分，共22分)

19．(10分)先化简，再求值：(1﹣x+)÷，其中x=tan45°+()﹣1．

【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据三角函数值、负整数指数幂得出x的值，最后代入计算可得．

【解答】解：原式=(+)÷

=•

=，

当x=tan45°+()﹣1=1+2=3时，

原式==﹣．

20．(12分)抚顺市某校想知道学生对“遥远的赫图阿拉”，“旗袍故里”等家乡旅游品牌的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项(每位被调查的学生必选且只选一项)A．十分了解，B．了解较多，C．了解较少，D．不知道．将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

(1)本次调查了多少名学生？

(2)补全条形统计图；

(3)该校共有500名学生，请你估计“十分了解”的学生有多少名？

(4)在被调查“十分了解”的学生中有四名学生会干部，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．

【分析】(1)根据B组人数以及百分比计算即可解决问题；

(2)求出C组人数，画出条形图即可解决问题；

(3)用500ד十分了解”所占的比例即可；

(4)先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．

【解答】解：(1)15÷30%=50(人)，

答：本次调查了50名学生．

(2)50﹣10﹣15﹣5=20(人)，

条形图如图所示：

(3)500×=100(人)，

答：该校共有500名学生，估计“十分了解”的学生有100名．

(4)树状图如下：

共有12种等可能情况，其中所选两位参赛选手恰好是一男一女有6种．

所以，所选两位参赛选手恰好是一男一女的概率P==．

四、解答题(第21题12分，第22题12分，共24分)

21．(12分)如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN)．

(1)求灯杆CD的高度；

(2)求AB的长度(结果精确到0.1米)．(参考数据： =1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

【分析】(1)延长DC交AN于H．只要证明BC=CD即可；

(2)在Rt△BCH中，求出BH、CH，在Rt△ADH中求出AH即可解决问题；

【解答】解：(1)延长DC交AN于H．

∵∠DBH=60°，∠DHB=90°，

∴∠BDH=30°，

∵∠CBH=30°，

∴∠CBD=∠BDC=30°，

∴BC=CD=10(米)．

(2)在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65，

∴DH=15，

在Rt△ADH中，AH===20，

∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4(米)．

22．(12分)为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．

(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

(2)若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

【分析】(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【解答】解：(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，

根据题意得：﹣=3，

解得：x=40，

经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，

∴x=×40=60．

答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．

(2)设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，

根据题意得：7m+5×≤145，

解得：m≥10．

答：至少安排甲队工作10天．

五、解答题(满分12分)

23．(12分)如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．

(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若BE=4，DE=8，求AC的长．

【分析】(1)欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；

(2)设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得(8﹣r)2=r2+42，推出r=3，由tan∠E==，推出=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；

【解答】(1)证明：连接OC．

∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，

∴△OCB≌△OCD，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴OD⊥DC，

∴DC是⊙O的切线．

(2)解：设⊙O的半径为r．

在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，

∴(8﹣r)2=r2+42，

∴r=3，

∵tan∠E==，

∴=，

∴CD=BC=6，

在Rt△ABC中，AC===6．

六、解答题(满分12分)

24．(12分)俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．

(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？

(3)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

【分析】(1)售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨(x﹣44)元，每天销售量减少10(x﹣44)本，所以y=300﹣10(x﹣44)，然后利用销售单价不低于44元，且获利不高于30%确定x的范围；

(2)利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到(x﹣40)(﹣10x+740)=2400，然后解方程后利用x的范围确定销售单价；

(3)利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到w=(x﹣40)(﹣10x+740)，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到x=52时w最大，从而计算出x=52时对应的w的值即可．

【解答】解：(1)y=300﹣10(x﹣44)，

即y=﹣10x+740(44≤x≤52)；

(2)根据题意得(x﹣40)(﹣10x+740)=2400，

解得x1=50，x2=64(舍去)，

答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元；

(3)w=(x﹣40)(﹣10x+740)

=﹣10x2+1140x﹣29600

=﹣10(x﹣57)2+2890，

当x＜57时，w随x的增大而增大，

而44≤x≤52，

所以当x=52时，w有最大值，最大值为﹣10(52﹣57)2+2890=2640，

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润是2640元．

七、解答题(满分12分)

25．(12分)如图，△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于点D，∠FAC=∠ABC，且∠FAC在AC下方．点P，Q分别是射线BD，射线AF上的动点，且点P不与点B重合，点Q不与点A重合，连接CQ，过点P作PE⊥CQ于点E，连接DE．

(1)若∠ABC=60°，BP=AQ．

①如图1，当点P在线段BD上运动时，请直接写出线段DE和线段AQ的数量关系和位置关系；

②如图2，当点P运动到线段BD的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；

(2)若∠ABC=2α≠60°，请直接写出当线段BP和线段AQ满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．

【分析】(1)①先判断出△ABC是等边三角形，进而判断出∠CBP=∠CAQ，即可判断出△BPC≌△AQC，再判断出△PCQ是等边三角形，进而得出CE=QE，即可得出结论；

②同①的方法即可得出结论；

(2)先判断出，∠PAQ=90°﹣∠ACQ，∠BAP=90°﹣∠ACQ，进而得出∠BCP=∠ACQ，即可判断出△BPC∽△AQC，最后用锐角三角函数即可得出结论．

【解答】解：(1)①DE=AQ，DE∥AQ，

理由：连接PC，PQ，

在△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∵AB=BC，BD⊥AC，

∴AD=CD，∠ABD=∠CBD=∠BAC，

∵∠CAF=∠ABC，

∴∠CBP=∠CAQ，

在△BPC和△AQC中，，

∴△BPC≌△AQC(SAS)，

∴PC=QC，∠BPC=∠ACQ，

∴∠PCQ=∠PCA+∠AQC=∠PCA+∠BCP=∠ACB=60°，

∴△PCQ是等边三角形，

∵PE⊥CQ，

∴CE=QE，

∵AD=CD，

∴DE=AQ，DE∥AQ；

②DE∥AQ，DE=AQ，

理由：如图2，连接PQ，PC，

同①的方法得出DE∥AQ，DE=AQ；

(2)AQ=2BP•sinα

理由：连接PQ，PC，

要使DE=AQ，DE∥AQ，

∵AD=CD，

∴CE=QE，

∵PE⊥CQ，

∴PQ=PC，

易知，PA=PC，

∴PA=PE=PC

∴以点P为圆心，PA为半径的圆必过A，Q，C，

∴∠APQ=2∠ACQ，

∵PA=PQ，

∴∠PAQ=∠PQA= (180°﹣∠APQ)=90°﹣∠ACQ，

∵∠CAF=∠ABD，∠ABD+∠BAD=90°，

∴∠BAQ=90°，

∴∠BAP=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠ACQ，

易知，∠BCP=∠BAP，

∴∠BCP=∠ACQ，

∵∠CBP=∠CAQ，

∴△BPC∽△AQC，

∴=，

在Rt△BCD中，sinα=，

∴=2sinα，

∴AQ=2BP•sinα．

八、解答题(满分14分)

26．(14分)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t＞0)．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．

①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；

②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．

【分析】(1)利用待定系数法即可；

(2)①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；

②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．

【解答】解：(1)由已知，B点横坐标为3

∵A、B在y=x+1上

∴A(﹣1，0)，B(3，4)

把A(﹣1，0)，B(3，4)代入y=﹣x2+bx+c得

解得

∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4

(2)①过点P作PE⊥x轴于点E

∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度

∴t秒时点E坐标为(﹣1+t，0)，Q点坐标为(3﹣2t，0)

∴EQ=4﹣3t，PE=t

∵∠PQE+∠NQC=90°

∠PQE+∠EPQ=90°

∴∠EPQ=∠NQC

∴△PQE∽△QNC

∴

∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2

∵PQ2=PE2+EQ2

∴S=2()2=20t2﹣36t+18

当t=时，

S最小=20×()2﹣36×+18=

②由①点Q坐标为(3﹣2t，0)，P坐标为(﹣1+t，t)

∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t

∴N点坐标为(3，8﹣6t)

由矩形对角线互相平分

∴点M坐标为(3t﹣1，8﹣5t)

当M在抛物线上时

8﹣5t=﹣(3t﹣1)2+3(3t﹣1)+4

解得t=

当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2

当N在抛物线上时，8﹣6t=4

∴t=

综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．