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四川省成都市2018年高中阶段教育学校统一招生考试

数 学

(本试卷满分150分,考试时间120分钟)

A卷(共100分)

第Ⅰ卷(选择题 共30分)

一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.实数a,b,c,d在数轴上对应的点的位置如图所示,这四个数中最大的是 (　　)

A.a B.b C.c D.d

2.2018年5月21日,西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星,卫星进入近地点高度为200公里、远地点高度为40万公里的预定轨道.将数据40万用科学记数法表示为 (　　)

A. B. C. D.

3.如图所示的正六棱柱的主视图是 (　　)

4.在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是 (　　)

A. B. C. D.

5.下列计算正确的是 (　　)

A. B.

C. D.

6.如图,已知,添加以下条件,不能判定的是 (　　)

A.

B.

C.

D.

7.如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图,关于这7天的日最高气温的说法正确的是 (　　)

A.极差是8

B.众数是28

C.中位数是24

D.平均数是26

8.分式方程的解是 (　　)

A. B. C. D.

9.如图,在□中, , 的半径为3,则图中阴影部分的面积是 (　　)

A. B.

C. D.

10.关于二次函数,下列说法正确的是 (　　)

A.图象与轴的交点坐标为

B.图象的对称轴在轴的右侧

C.当时, 的值随值的增大而减小

D. 的最小值为

第Ⅱ卷(非选择题 共70分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在题中的横线上)

11.等腰三角形的一个底角为,则它的顶角的度数为　　　　.

12.在一个不透明的盒子中,装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个,从中随机摸出一个乒乓球,若摸到黄色乒乓球的概率为,则该盒子中装有黄色兵乓球的个数是　　　　.

13.已知,且,则的值为　　　　.

14.如图,在矩形中,按以下步骤作图：①分别以点和为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点和；②作直线交于点.若, ,则矩形的对角线的长为　　　　.

三、解答题(本大题共6小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分12分,每题6分)

(1)计算：；

(2)化简：.

16.(本小题满分6分)

若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,求的取值范围.

17.(本小题满分8分)

为了给游客提供更好的服务,某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查,并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表.

根据图表信息,解答下列问题：

(1)本次调查的总人数为　　　　,表中的值　　　　；

(2)请补全条形统计图；

(3)据统计,该景区平均每天接待游客约3 600人,若将“非常满意”和“满意”作为游客对景区服务工作的肯定,请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定.

18.(本小题满分8分)

由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达处时,测得小岛位于它的北偏东方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达处,测得小岛位于它的北偏东方向.如果航母继续航行至小岛的正南方向的处,求还需航行的距离的长.

(参考数据：, , , , ,)

19.(本小题满分10分)

如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象经过点,与反比例函数的图象交于.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)设是直线上一点,过作轴,交反比例函数的图象于点.若以A,O,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点的坐标.

20.(本小题满分10分)

如图,在中, , 平分交于点,为上一点,经过点,的分别交,于点, ,连接交于点.

(1)求证：是的切线；

(2)设, ,试用含,的代数式表示线段的长；

(3)若, ,求的长.

B卷(共50分)

一、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.请把答案填在题中的横线上)

21.已知, ,则代数式的值为　　　　.

22.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中,四个直角三角形都是全等的,它们的两直角边之比均为.现随机向该图形内掷一枚小针,则针尖落在阴影区域的概率为　　　　.

23.已知, , , , , ,…(即当为大于1的奇数时, ；当为大于1的偶数时, ),按此规律, 　　　　.(用含a的代数式表示)

24.如图,在菱形中, , , 分别在边,上,将四边形沿翻折,使的对应线段经过顶点.当时, 的值为　　　　.

25.该双曲线与直线交于,两点(点在第三象限),将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移,使其经过点,将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移,使其经过点,平移后的两条曲线相交于点,两点,此时我们称平移后的两条曲线所围部分(如图中阴影部分)为双曲线的“眸”, 为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时, 的值为　　　　.

二、解答题(本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

26.(本小题满分8分)

为了美化环境,建设宜居成都,成都市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉.经市场调查,甲种花卉的种植费用 (元)与种植面积之间的函数关系如图所示,乙种花卉的种植费用为每平方米100元.

(1)直接写出当和时, 与的函数关系式；

(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共,若甲种花卉的种植面积不少于,且不超过乙种花卉种植面积的2倍,那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？

27.(本小题满分10分)

在中, , , ,过点作直线,将绕点顺时针得到 (点,的对应点分别为,),射线,分别交直线于点,.

(1)如图1,当与重合时,求的度数；

(2)如图2,设与的交点为,当为的中点时,求线段的长；

(3)在旋转过程时,当点,分别在,的延长线上时,试探究四边形的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形的最小面积；若不存在,请说明理由.

28.(本小题满分12分)

如图,在平面直角坐标系中,以直线为对称轴的抛物线与直线：交于,两点,与轴交于,直线与轴交于点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)设直线与抛物线的对称轴的交点为,是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若,且与面积相等,求点的坐标；

(3)若在轴上有且只有一点,使,求的值.

四川省成都市2018年高中阶段教育学校统一招生考试

数学答案解析

A卷

第Ⅰ卷

一、选择题

1.【答案】D

【解析】解：根据数轴可知,∴这四个数中最大的数是d,故答案为：D.

【考点】数轴上数的表示,比较数的大小

2.【答案】B

【解析】解：故答案为：B.

【考点】科学记数法表示数

3.【答案】A

【解析】解：∵从正面看是左右相邻的3个矩形,中间的矩形面积较大,两边的矩形面积相同,

∴答案A符合题意,故答案为：A.

【考点】几何体的主视图

4.【答案】C

【解析】解：点关于原点对称的点的坐标为,故答案为：C.

【考点】原点对称,点的坐标变化

5.【答案】D

【解析】解：A、,因此A不符合题意；B、,因此B不符合题意；C、,因此C不符合题意；D、,因此D符合题意；故答案为：D.

【考点】整式的运算

6.【答案】C

【解析】解：A、∵, , ,

∴,因此A不符合题意；

B、∵, , ,

∴,因此B不符合题意；

C、∵, , ,不能判断,因此C符合题意；

D、∵, , ,

∴,因此D不符合题意；

故答案为：C.

【考点】全等三角形的判定

7.【答案】B

【解析】A、极差,因此A不符合题意；B、∵20、28、28、24、26、30、22这7个数中,28出现两次,是出现次数最多的数,∴众数是28,因此B符合题意；C、排序：20、22、24、26、28、28、30,最中间的数是24、26,∴中位数为：,因此C不符合题意；D、平均数为：,因此D不符合题意；故答案为：B.

【考点】统计图的应用,平均数及其计算，中位数，极差、标准差，众数

8.【答案】A

【解析】解：方程两边同时乘以得：, ,解之：.经检验：是原方程的根.故答案为：A.

【考点】解分式方程

9.【答案】C

【解析】解：∵平行四边形ABCD,∴,∴,

∴,

∴阴影部分的面积,

故答案为：C.

【考点】平行四边形的性质,扇形的面积

10.【答案】D

【解析】解：A、当时, ,图像与轴的交点坐标为,因此A不符合题意；B、对称轴为直线,对称轴在y轴的左侧,因此B不符合题意；C、当时y的值随x值的增大而减小,当时,y随x的增大而增大,因此C不符合题意；D、,当时,y的最小值,因此D符合题意；故答案为：D.

【考点】二次函数的图象与性质

第Ⅱ卷

二、填空题

11.【答案】

【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为,

∴它的顶角的度数为：,

故答案为：.

【考点】三角形的内角和定理,等腰三角形的性质

12.【答案】6

【解析】解：设该盒子中装有黄色兵乓球的个数为x个,根据题意得：,解之：,故答案为：6.

【考点】概率的概念,解方程

13.【答案】12

【解析】解：设,则, , ,∵,

∴,解之：,∴,故答案为：12.

【考点】比例的基本性质

14.【答案】

【解析】连接AE,

根据题意可知MN垂直平分AC,

∴,在中, , ,

∵, ,

∴.

【考点】尺规作图,线段的垂直平分线的性质,矩形的性质,勾股定理

三、解答题

15.【答案】(1)解：原式

(2)解：原式

【解析】(1)解：原式

(2)解：原式

【考点】实数的综合运算,分式的化简

16.【答案】解：由题知：.

∵原方程有两个不相等的实数根,∴,∴.

【解析】解：由题知：.

∵原方程有两个不相等的实数根,∴,∴.

【考点】一元二次方程的判别式

17.【答案】解：(1)120

45%

(2)比较满意； (人)；补全条形统计图如下：

(3) (人).

答：该景区服务工作平均每天得到1 980人的肯定.

【解析】解：(1)120,45%；

(2)比较满意； (人)图略；

(3) (人).

答：该景区服务工作平均每天得到1 980人的肯定.

【考点】统计知识的运用

18.【答案】

【解析】解：由题知：, ,.

在中, ,∴,∴ (海里).

在中, ,∴,∴ (海里).

答：还需要航行的距离BD的长为20.4海里.

【考点】解直角三角形的应用

19.【答案】解：(1)∵一次函数的图象经过点,

∴得.

∴一次函数的解析式为,

∵一次函数的解析式为与反比例函数的图象交于.

∴得,

∴,得,

即反比例函数的解析式为：；

(2)∵点, ,

设点,点.

当且时,四边形是平行四边形,

,

解得, 或,

∴点的坐标为或.

【解析】解：(1)∵一次函数的图象经过点,

∴得.

∴一次函数的解析式为,

∵一次函数的解析式为与反比例函数的图象交于.

∴得,

∴,得,

即反比例函数的解析式为：；

(2)∵点, ,

设点,点.

当且时,四边形是平行四边形,

,

解得, 或,

∴点的坐标为或.

【考点】一次函数和反比例函数的图象与性质

20.【答案】(1)如图,连接OD,

∵AD为的角平分线,

∴.

∵,

∴,

∴.

∴.

又∵,

∴,

∴,

∴BC是的切线；

(2)连接DF,,

由(1)可知,BC为切线,

∴.

∴.

∴.

又∵,

∴,

∴,

∴.

∴,

∴；

(3)连接EF,

在中, ,

设圆的半径为r,∴,

∴.

∴,.

∵AE是直径, ,而,

∴,

∴,

∴.

∴.

∵,

∴,

∴.

∴,

∴.

【解析】(1)如图,连接OD,

∵AD为的角平分线,

∴.

∵,

∴,

∴.

∴.

又∵,

∴,

∴,

∴BC是的切线；

(2)连接DF,,

由(1)可知,BC为切线,

∴.

∴.

∴.

又∵,

∴,

∴,

∴.

∴,

∴；

(3)连接EF,

在中, ,

设圆的半径为r,∴,

∴.

∴,.

∵AE是直径, ,而,

∴,

∴,

∴.

∴.

∵,

∴,

∴.

∴,

∴.

【考点】圆的基本性质,切线的判定,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的运用,勾股定理

B卷

一、填空题

21.【答案】0.36

【解析】∵,由得：,即,

∵.

【考点】求代数式的值

22.【答案】

【解析】∵四个直角三角形都是全等的,它们的两直角边之比均为,设两直角边的长分别为2x、3x,

∴大正方形的面积为,小正方形的边长为,则小正方形的面积为x2,

∴阴影部分的面积为：,

∴针尖落在阴影区域的概率为：,故答案为：.

【考点】正方形的面积关系,求概率

23.【答案】

【解析】解：∵, , ,∴,

∵, ,∴,

∵,∴,

∴、、、…

∴,

∴,故答案为：.

【考点】探索规律

24.【答案】

【解析】解：∵菱形AMNB沿MN翻折,使AB的对应线段EF经过顶点D,

∴, , , ,

∵,

∴,

∴,

设, ,则,

∴, ,

延长EF交BC于点H,

∴, ,

∴,

∵,

∴,

∴,即,

解之：,

在中, ,

,

解之：,

∴,

∵, ,

∴, ,

∴,

∴,即,

解之：,

∴,

∴,

故答案为：.

【考点】轴对称性质,全等三角形的判定和性质,锐角三角函数的定义

25.【答案】

【解析】解：∵双曲线是关于原点成中心对称,

点P、Q关于原点对称和直线AB对称,

∴四边形PAQB是菱形,

∵,

∴,

根据题意可得出是等边三角形.

∴在中, ,

设点B的坐标为,

∴,

,

故答案为：.

【考点】图形的平移,双曲线的图象与性质

二、解答题

26.【答案】(1) ；

(2)设甲种花卉种植为,则乙种花卉种植.

,

∴.

当时, .

当时, 元.

当时, .

当时, 元.

∵,∴当时,总费用最低,最低为119 000元.

此时乙种花卉种植面积为.

答：应分配甲种花卉种植面积为,乙种花卉种植面积为,才能使种植总费用最少,最少总费用为119 000元.

【解析】(1) ；

(2)设甲种花卉种植为,则乙种花卉种植.

,

∴.

当时, .

当时, 元.

当时, .

当时, 元.

∵,∴当时,总费用最低,最低为119 000元.

此时乙种花卉种植面积为.

答：应分配甲种花卉种植面积为,乙种花卉种植面积为,才能使种植总费用最少,最少总费用为119 000元.

【考点】一次函数的应用

27.【答案】解：(1)由旋转的性质得：.

∵, ,∴,∴,∴,∴.

(2)∵为的中点,∴.

由旋转的性质得：,∴.

∴,∴.

∵,∴,∴.

(3)∵,∴最小, 即最小,

∴.

法一：(几何法)取中点,则.∴.

当最小时, 最小,∴,即与重合时, 最小.

∴, ,∴,.

法二：(代数法)设,.

由射影定理得：,∴当最小,即最小,

∴.

当时,“”成立,∴.

【解析】解：(1)由旋转的性质得：.

∵, ,∴,∴,∴,∴.

(2)∵为的中点,∴.

由旋转的性质得：,∴.

∴,∴.

∵,∴,∴.

(3)∵,∴最小, 即最小,

∴.

法一：(几何法)取中点,则.∴.

当最小时, 最小,∴,即与重合时, 最小.

∴, ,∴,.

法二：(代数法)设,.

由射影定理得：,∴当最小,即最小,

∴.

当时,“”成立,∴.

【考点】旋转的性质,勾股定理,锐角三角函数,直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,求图形的面积

28.【答案】解：(1)由题可得：解得, ,.

∴二次函数解析式为：；

(2)作轴, 轴,垂足分别为, ,

则.

∵,∴, ,

∴,解得,∴,.

同理, .

∵,∴① (在下方), ,

∴,即,∴,.

∵,∴,∴.

②在上方时,直线与关于对称.

∴,∴,∴.

∵,∴,∴.

综上所述,点坐标为；.

(3)由题意可得：.

∴,∴,∴,即.

∴, ,∴.

设的中点为,

∵点有且只有一个,∴以为直径的圆与轴只有一个交点,且为切点.

∴轴,∴为的中点,∴.

∵,∴,∴,

∴,即,.

∵,∴.

【解析】解：(1)由题可得：解得, ,.

∴二次函数解析式为：；

(2)作轴, 轴,垂足分别为, ,

则.

∵,∴, ,

∴,解得,∴,.

同理, .

∵,∴① (在下方), ,

∴,即,∴,.

∵,∴,∴.

②在上方时,直线与关于对称.

∴,∴,∴.

∵,∴,∴.

综上所述,点坐标为；.

(3)由题意可得：.

∴,∴,∴,即.

∴, ,∴.

设的中点为,

∵点有且只有一个,∴以为直径的圆与轴只有一个交点,且为切点.

∴轴,∴为的中点,∴.

∵,∴,∴,

∴,即,.

∵,∴.

【考点】二次函数的图象及其性质