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四川省达州市2018年中考数学试卷及答案解析（word版）

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2018年四川省达州市中考数学试卷

一、单项选择题：（每题3分，共30分）

1．（3分）2018的相反数是（　　）

A．2018 B．﹣2018 C． D．

2．（3分）二次根式中的x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2

3．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°

5．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件

B．天气预报“明天降水概率50%，是指明天有一半的时间会下雨”

C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定

D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7

6．（3分）平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），则向量可以用点P的坐标表示为=（m，n）；已知=（x1，y1），=（x2，y2），若x1x2+y1y2=0，则与互相垂直．

下面四组向量：①=（3，﹣9），=（1，﹣）；

②=（2，π0），=（2﹣1，﹣1）；

③=（cos30°，tan45°），=（sin30°，tan45°）；

④=（+2，），=（﹣2，）．

其中互相垂直的组有（　　）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

7．（3分）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（　　）

A． B． C． D．

8．（3分）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　）

A． B．2 C． D．3

9．（3分）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（　　）

A． B． C． D．1

10．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．

下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．

其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为　　．

12．（3分）已知am=3，an=2，则a2m﹣n的值为　　．

13．（3分）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为　　．

14．（3分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为　　．

15．（3分）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为　　．

16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为　　．

三、解答题

17．（6分）计算：（﹣1）2018+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；

18．（6分）化简代数式：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．

19．（7分）为调查达州市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项．将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题．

（1）本次调查中，一共调查了　　名市民；扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是　　度；补全条形统计图；

（2）若甲、乙两人上班时从A，B，C，D四种交通工具中随机选择一种，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．

20．（6分）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A处测得雕塑顶端点C′的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）

21．（7分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．

（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？

22．（8分）已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．

23．（9分）矩形AOBC中，OB=4，OA=3．分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B，C重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与边AC交于点E．

（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；

（2）连接EF，求∠EFC的正切值；

（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．

24．（11分）阅读下列材料：

已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．

∵△A1A2A3是等边三角形，

∴∠A3A1A2=60°，

∴∠A3A1P=∠A2A1M

又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，

∴△A1A3P≌△A1A2M

∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．

∴，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则=　　（只写出结果）．

25．（12分）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．

（1）求抛物线解析式；

（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；

（3）点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N．问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

2018年四川省达州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：（每题3分，共30分）

1．（3分）2018的相反数是（　　）

A．2018 B．﹣2018 C． D．

【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．

【解答】解：2018的相反数是﹣2018，

故选：B．

【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．

2．（3分）二次根式中的x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．

【解答】解：由题意，得

2x+4≥0，

解得x≥﹣2，

故选：D．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．

3．（3分）下列图形中是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．

4．（3分）如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．35° C．40° D．45°

【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质解答即可．

【解答】解：

∵AB∥CD，∠1=45°，

∴∠4=∠1=45°，

∵∠3=80°，

∴∠2=∠3﹣∠4=80°﹣45°=35°，

故选：B．

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．

5．（3分）下列说法正确的是（　　）

A．“打开电视机，正在播放《达州新闻》”是必然事件

B．天气预报“明天降水概率50%，是指明天有一半的时间会下雨”

C．甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定

D．数据6，6，7，7，8的中位数与众数均为7

【分析】直接利用随机事件以及众数、中位数的定义以及方差的定义分别分析得出答案．

【解答】解：A、打开电视机，正在播放《达州新闻》”是随机事件，故此选项错误；

B、天气预报“明天降水概率50%，是指明天有50%下雨的可能，故此选项错误；

C、甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S2=0.3，S2=0.4，则甲的成绩更稳定，正确；

D、数据6，6，7，7，8的中位数为7，众数为：6和7，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了随机事件以及众数、中位数的定义以及方差的定义，正确把握相关定义是解题关键．

下面四组向量：①=（3，﹣9），=（1，﹣）；

②=（2，π0），=（2﹣1，﹣1）；

③=（cos30°，tan45°），=（sin30°，tan45°）；

④=（+2，），=（﹣2，）．

其中互相垂直的组有（　　）

A．1组 B．2组 C．3组 D．4组

【分析】根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；

【解答】解：①∵3×1+（﹣9）×（﹣）=6≠0，

∴与不垂直．

②∵2×2﹣1+π0×（﹣1）=0，

∴与垂直．

③∵cos30°×sin30°+tan45°×tan45°≠0，

∴于不垂直．

④∵+×≠0，

∴与不垂直．

故选：A．

【点评】本题考查平面向量、零指数幂、特殊角的三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

A． B． C． D．

【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．

【解答】解：由题意可知，

铁块露出水面以前，F拉+F浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，

当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，

当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，

故选：D．

【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合和分类讨论的数学思想解答．

8．（3分）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（　　）

A． B．2 C． D．3

【分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，

∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，

在△BNA和△BNE中，

∴△BNA≌△BNE，

∴BA=BE，

∴△BAE是等腰三角形，

同理△CAD是等腰三角形，

∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），

∴MN是△ADE的中位线，

∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，

∴DE=BE+CD﹣BC=5，

∴MN=DE=．

故选：C．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．

9．（3分）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（　　）

A． B． C． D．1

【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥BC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=，=，由此即可解决问题．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD=BC，DC=AB，

∵AC=CA，

∴△ADC≌△CBA，

∴S△ADC=S△ABC，

∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，

∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，

∴AG：AB=CH：BC=1：3，

∴GH∥BC，

∴△BGH∽△BAC，

∴==（）2=（）2=，

∵=，

∴=×=，

故选：C．

【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

10．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．

下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．

其中正确结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．

【解答】解：①由开口可知：a＜0，

∴对称轴x=＞0，

∴b＞0，

由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，

∴abc＜0，故①正确；

②∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），

对称轴为x=2，

∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），

∴x=3时，y＞0，

∴9a+3b+c＞0，故②正确；

③由于＜2，

且（，y2）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y2），

∵，

∴y1＜y2，故③正确，

④∵=2，

∴b=﹣4a，

∵x=﹣1，y=0，

∴a﹣b+c=0，

∴c=﹣5a，

∵2＜c＜3，

∴2＜﹣5a＜3，

∴﹣＜a＜﹣，故④正确

故选：D．

【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为　5.5×108　．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：5.5亿=5 5000 0000=5.5×108，

故答案为：5.5×108．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（3分）已知am=3，an=2，则a2m﹣n的值为　4.5　．

【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出a2m的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出a2m﹣n的值为多少即可．

【解答】解：∵am=3，

∴a2m=32=9，

∴a2m﹣n===4.5．

故答案为：4.5．

【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

13．（3分）若关于x的分式方程=2a无解，则a的值为　1或　．

【分析】直接解分式方程，再利用当1﹣2a=0时，当1﹣2a≠0时，分别得出答案．

【解答】解：去分母得：

x﹣3a=2a（x﹣3），

整理得：（1﹣2a）x=﹣3a，

当1﹣2a=0时，方程无解，故a=；

当1﹣2a≠0时，x==3时，分式方程无解，

则a=1，

故关于x的分式方程=2a无解，则a的值为：1或．

故答案为：1或．

【点评】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．

14．（3分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为　（﹣2，6）　．

【分析】连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案．

【解答】解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，

由题意得，OA=6，AB=OC﹣2，

则tan∠BOA==，

∴∠BOA=30°，

∴∠OBA=60°，

由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，

∴∴∠B1OH=60°，

在△AOB和△HB1O，

，

∴△AOB≌△HB1O，

∴B1H=OA=6，OH=AB=2，

∴点B1的坐标为（﹣2，6），

故答案为：（﹣2，6）．

【点评】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．

15．（3分）已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为　3　．

【分析】将n2+2n﹣1=0变形为﹣﹣1=0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，由韦达定理可得m+=2，代入=m+1+可得．

【解答】解：由n2+2n﹣1=0可知n≠0．

∴1+﹣=0．

∴﹣﹣1=0，

又m2﹣2m﹣1=0，且mn≠1，即m≠．

∴m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根．

∴m+=2．

∴=m+1+=2+1=3，

故答案为：3．

【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1=0的两根及韦达定理．

16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为　2　．

【分析】过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明CE=（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．

【解答】解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，

∵△AOP为等腰直角三角形，

∴OA=OP，∠AOP=90°，

易得四边形OECF为矩形，

∴∠EOF=90°，CE=CF，

∴∠AOE=∠POF，

∴△OAE≌△OPF，

∴AE=PF，OE=OF，

∴CO平分∠ACP，

∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，

∵AE=PF，

即AC﹣CE=CF﹣CP，

而CE=CF，

∴CE=（AC+CP），

∴OC=CE=（AC+CP），

当AC=2，CP=CD=1时，OC=×（2+1）=，

当AC=2，CP=CB=5时，OC=×（2+5）=，

∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=﹣=2．

故答案为2．

【点评】本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．

三、解答题

17．（6分）计算：（﹣1）2018+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；

【分析】本题涉及乘方、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：原式=1+4﹣（2﹣2）+4×，

=1+4﹣2+2+2，

=7．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

18．（6分）化简代数式：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数值代入，求出代数式的值．

【分析】直接将=去括号利用分式混合运算法则化简，再解不等式组，进而得出x的值，即可计算得出答案．

【解答】解：原式=×﹣×

=3（x+1）﹣（x﹣1）

=2x+4，

，

解①得：x≤1，

解②得：x＞﹣3，

故不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，

把x=﹣2代入得：原式=0．

【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组解法，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．

（1）本次调查中，一共调查了　2000　名市民；扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是　54　度；补全条形统计图；

【分析】（1）根据D组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；

（2）根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率．

【解答】解：（1）本次调查的总人数为500÷25%=2000人，扇形统计图中，B项对应的扇形圆心角是360°×=54°，

C选项的人数为2000﹣（100+300+500+300）=800，

补全条形图如下：

故答案为：2000、54；

（2）列表如下：

由表可知共有16种等可能结果，其中甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的结果有4种，

所以甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率为=．

【点评】此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

【分析】过点C作CD⊥AB，设CD=x，由∠CBD=45°知BD=CD=x米，根据tanA=列出关于x的方程，解之可得．

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，

设CD=x米，

∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，

∴BD=CD=x米，

∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x，

∴tanA=，即=，

解得：x=2+2，

答：该雕塑的高度为（2+2）米．

【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．

（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？

【分析】（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5x×0.9×8﹣8x，将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x﹣100）×7﹣7x，根据利润相等可得方程1.5x×0.9×8﹣8x=（1.5x﹣100）×7﹣7x，再解方程即可得到进价，进而得到标价；

（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用销售量×每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方法求最值即可．

【解答】解：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得：

1.5x×0.9×8﹣8x=（1.5x﹣100）×7﹣7x，

解得：x=1000，

1.5×1000=1500（元），

答：进价为1000元，标价为1500元；

（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：

w=（51+×3）（1500﹣1000﹣a），

=﹣（a﹣80）2+26460，

∵﹣＜0，

∴当a=80时，w最大=26460，

答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．

【点评】此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w与a的关系式，进而求出最值．

22．（8分）已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D，E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若等边△ABC的边长为8，求由、DF、EF围成的阴影部分面积．

【分析】（1）连接CD、OD，先利用等腰三角形的性质证AD=BD，再证OD为△ABC的中位线得DO∥AC，根据DF⊥AC可得；

（2）连接OE、作OG⊥AC，求出EF、DF的长及∠DOE的度数，根据阴影部分面积=S梯形EFDO﹣S扇形DOE计算可得．

【解答】解：（1）如图，连接CD、OD，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

又∵△ABC是等边三角形，

∴AD=BD，

∵BO=CO，

∴DO是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切线；

（2）连接OE、作OG⊥AC于点G，

∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，

∴四边形OGFD是矩形，

∴FG=OD=4，

∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，

∴△OBD和△OCE均为等边三角形，

∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，

∴EG=CE=2、DF=OG=OCsin60°=2，∠DOE=60°，

∴EF=FG﹣EG=2，

则阴影部分面积为S梯形EFDO﹣S扇形DOE

=×（2+4）×2﹣

=6﹣．

【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．

（1）当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；

（2）连接EF，求∠EFC的正切值；

（3）如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式．

【分析】（1）先确定出点C坐标，进而得出点F坐标，即可得出结论；

（2）先确定出点F的横坐标，进而表示出点F的坐标，得出CF，同理表示出CF，即可得出结论；

（3）先判断出△EHG∽△GBF，即可求出BG，最后用勾股定理求出k，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵OA=3，OB=4，

∴B（4，0），C（4，3），

∵F是BC的中点，

∴F（4，），

∵F在反比例y=函数图象上，

∴k=4×=6，

∴反比例函数的解析式为y=，

∵E点的坐标为3，

∴E（2，3）；

（2）∵F点的横坐标为4，

∴F（4，），

∴CF=BC﹣BF=3﹣=

∵E的纵坐标为3，

∴E（，3），

∴CE=AC﹣AE=4﹣=，

在Rt△CEF中，tan∠EFC==，

（3）如图，由（2）知，CF=，CE=，，

过点E作EH⊥OB于H，

∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，

∴∠EGH+∠HEG=90°，

由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，

∴∠EGH+∠BGF=90°，

∴∠HEG=∠BGF，

∵∠EHG=∠GBF=90°，

∴△EHG∽△GBF，

∴=，

∴，

∴BG=，

在Rt△FBG中，FG2﹣BF2=BG2，

∴（）2﹣（）2=，

∴k=，

∴反比例函数解析式为y=．

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，中点坐标公式，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出CE：CF是解本题的关键．

24．（11分）阅读下列材料：

已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：是定值．

（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；

证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．

∵△A1A2A3是等边三角形，

∴∠A3A1A2=60°，

∴∠A3A1P=∠A2A1M

又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，

∴△A1A3P≌△A1A2M

∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．

∴，是定值．

（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：还是定值吗？为什么？

（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则=　　（只写出结果）．

【分析】（2）结论：是定值．在A4P上截取AH=A2P，连接HA1．想办法证明PA4=A4+PH=PA2+PA1，同法可证：PA3=PA1+PA2，推出（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，可得PA1+PA2=（﹣1）（PA3+PA4），延长即可解决问题；

（3）结论：则=．如图3﹣1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，如图3﹣2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，延长即可解决问题；

【解答】解：（1）如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．

∵△A1A2A3是等边三角形，

∴∠A3A1A2=60°，

∴∠A3A1P=∠A2A1M

又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，

∴△A1A3P≌△A1A2M

∴PA3=MA2，

∵PM=PA1，

∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．

∴，是定值．

（2）结论：是定值．

理由：在A4P上截取AH=A2P，连接HA1．

∵四边形A1A2A3A4是正方形，

∴A4A1=A2A1，

∵∠A1A4H=∠A1A2P，A4H=A2P，

∴△A1A4H=△A1A2P，

∴A1H=PA1，∠A4A1H=∠A2A1P，

∴∠HA1P=∠A4A1A2=90°

∴△HA1P的等腰直角三角形，

∴PA4=A4+PH=PA2+PA1，

同法可证：PA3=PA1+PA2，

∴（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，

∴PA1+PA2=（﹣1）（PA3+PA4），

∴=．

（3）结论：则=．

理由：如图3﹣1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．

由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，

∴PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，

如图3﹣2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．

同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，

∴PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，

∴=．

故答案为．

【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、正五边形的性质、全等三角形的判定和性质等正整数，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

25．（12分）如图，抛物线经过原点O（0，0），点A（1，1），点．

（1）求抛物线解析式；

（2）连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；

【分析】（1）设交点式y=ax（x﹣），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；

（2）延长CA交y轴于D，如图1，易得OA=，∠DOA=45°，则可判断△AOD为等腰直角三角形，所以OD=OA=2，则D（0，2），利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=﹣x+2，再解方程组得C（5，﹣3），然后利用三角形面积公式，利用S△AOC=S△COD﹣S△AOD进行计算；

（3）如图2，作MH⊥x轴于H，AC=4，OA=，设M（x，﹣x2+x）（x＞0），根据三角形相似的判定，由于∠OHM=∠OAC，则当=时，△OHM∽△OAC，即=；当=时，△OHM∽△CAO，即=，则分别解关于x的绝对值方程可得到对应M点的坐标，由于△OMH∽△ONM，所以求得的M点能以点O，M，N为顶点的三角形与（2）中的△AOC相似．