2017-2018学年海南省海南中学、文昌中学、海口一中、农垦中学等八校联盟高三（上）起点数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合M={（x，y）y=3x2}，N={（x，y）|y=5x}，则M∩N中的元素个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．（5分）已知a，b∈R，i为虚数单位，（2a+i）（1+3i）=﹣7+bi，则a﹣b=（　　）

A．9 B．﹣9 C．24 D．﹣34

3．（5分）某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是（　　）

A．380 B．360 C．340 D．320

4．（5分）设D为线段BC的中点，且，则（　　）

A． B． C． D．

5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=﹣5，则输出的y=（　　）

A．2 B．4 C．10 D．28

6．（5分）已知，，c=log0.53，则（　　）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

7．（5分）Sn为等差数列{an}的前n项和，S3=S7，a2=7，则a5=（　　）

A．5 B．3 C．1 D．﹣1

8．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（　　）

A．[﹣4，8] B．[﹣4，9] C．[8，9] D．[8，10]

9．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．46 B．48 C．50 D．52

10．（5分）直线l过点P（3，1）且与双曲线交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为（　　）

A． B． C． D．

11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=BC=1，AC=PB=，PC=，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）设等比数列{an}的公比为q，若a1=1，a4=﹣8，则q=　 　．

14．（5分）若（ax+y）7的展开式中xy6的系数为1，则a=　 　．

15．（5分）函数f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx的最小值是　 　．

16．（5分）已知F是抛物线C：y2=16x的焦点，过F的直线l与直线垂直，且直线l与抛物线C交于A，B两点，则|AB|=　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4，，bsinC=2sinB．

（1）求b的值；

（2）求△ABC的面积．

18．（12分）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人相互独立到停车场停车（各停车一次），且两人停车的时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如下表所示：

（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）．

19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，平面ABC⊥平面AA1B1B，∠AA1B1=60°，P为CC1的中点．

（1）证明：AB1⊥A1P；

（2）若M是棱AC的中点，求二面角M﹣BB1﹣A的余弦值．

20．（12分）如图，点在椭圆上，且点M到两焦点的距离之和为6．

（1）求椭圆的方程；

（2）设与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A，B（A，B不重合），求的取值范围．

21．（12分）设函数，其中a＞0．

（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；

（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

22．（10分）以坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．

23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．

（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；

（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．

2017-2018学年海南省海南中学、文昌中学、海口一中、农垦中学等八校联盟高三（上）起点数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合M={（x，y）y=3x2}，N={（x，y）|y=5x}，则M∩N中的元素个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】联立曲线和直线方程，求得交点坐标得答案．

【解答】解：由集合M={（x，y）y=3x2}，N={（x，y）|y=5x}，

联立，得或．

∴M∩N={（0，0），（，）}．

∴M∩N的元素个数是2．

故选：C．

【点评】本题考查了交集及其运算，考查了方程组的解法，是基础题．

2．（5分）已知a，b∈R，i为虚数单位，（2a+i）（1+3i）=﹣7+bi，则a﹣b=（　　）

A．9 B．﹣9 C．24 D．﹣34

【分析】直接利用复数相等的条件列式求得a，b的值．

【解答】解：∵（2a+i）（1+3i）=﹣7+bi，

∴2a﹣3+（6a+1）i=﹣7+bi，

∴，

解得a=﹣2，b=﹣11，

∴a﹣b=﹣2+11=9，

故选：A

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．

3．（5分）某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是（　　）

A．380 B．360 C．340 D．320

【分析】由频率分直方图求出这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的频率，由此能求出这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数．

【解答】解：由频率分直方图得：

这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的频率为：

1﹣0.02×2.5=0.95，

∴这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数为：400×0.95=380．

故选：A．

【点评】本题考查大学生中每周的晚自习时间不小于20小时的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．

4．（5分）设D为线段BC的中点，且，则（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据+=2，以及即可求出

【解答】解：∵D为线段BC的中点，且，

∴+=2，

∴2=﹣6，

∴=3，

故选：D

【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，正确将向量语言翻译成几何语言，是解答的关键．

5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=﹣5，则输出的y=（　　）

A．2 B．4 C．10 D．28

【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：当x=﹣5时，满足进行循环的条件，x=9；

当x=9时，满足进行循环的条件，x=5；

当x=5时，满足进行循环的条件，x=1；

当x=1时，不满足进行循环的条件，

故y=3+1=4，

故选：B

【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

6．（5分）已知，，c=log0.53，则（　　）

A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．

【解答】解：∵1＜＜，c=log0.53＜0，

∴c＜a＜b，

故选：D．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．（5分）Sn为等差数列{an}的前n项和，S3=S7，a2=7，则a5=（　　）

A．5 B．3 C．1 D．﹣1

【分析】根据S3=S7，a2=7，列出方程组，求出等差数列{an}的首项和公差，然后求出a5即可

【解答】解：设公差为d，由S3=S7，a2=7，可得，

解得a1=9，d=﹣2，

∴a5=a1+4d=8﹣8=1，

故选：C

【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．

8．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z=3x+y的取值范围为（　　）

A．[﹣4，8] B．[﹣4，9] C．[8，9] D．[8，10]

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合，即可得到结论．

【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：

由z=3x+y得y=﹣3x+z，

平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点C时，

直线的截距最大，此时z最大．

由，解得即C（3，0），

此时zmax=3×3+0=9，

当直线y=﹣3x+z，经过点B时，

直线的截距最小，此时z最小．

由，解得即B（﹣1，1），此时zmin=3×（﹣1）﹣1=﹣4，

故﹣4≤z≤9，

故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

9．（5分）如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　）

A．46 B．48 C．50 D．52

【分析】几何体是一个四棱锥，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为3，底面是边长为4的正方形，即可求出该几何体的表面积

【解答】解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，高为3，

四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面是边长为4的正方形，

∴该几何体的表面积为2××3×4+2××4×5+4×4=12+20+16=48．

故选：B

【点评】本题考查由三视图求该几何体的表面积，考查由三视图还原几何体的直观图．

10．（5分）直线l过点P（3，1）且与双曲线交于M，N两点，若线段MN的中点恰好为点P，则直线l的斜率为（　　）

A． B． C． D．

【分析】由题意可知设M（x1，y1），N（x2，y2），利用平方差法求得：（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2×3=6，y1+y2=2×1=2，代入求得直线MN的斜率．

【解答】解：由双曲线，焦点在x轴上，

过点P（3，1）作直线l与该双曲线交于M，N两点，M（x1，y1），N（x2，y2），

∴，两式相减可得：（x1﹣x2）（x1+x2）﹣2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，

A为MN的中点，

∴x1+x2=2×3=6，y1+y2=2×1=2，

∴6（x1﹣x2）﹣4（y1﹣y2）=0，

则=，

∴直线MN的斜率为k=．

故选：D．

【点评】本题考查双曲线的中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算能力，属于中档题．

11．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=BC=1，AC=PB=，PC=，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】由勾股定理推导出AB⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC，从而PA⊥平面ABC；

以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

利用向量法求出异面直线PC与AB所成角的余弦值．

【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=BC=1，AC=PB=，PC=，

∴AB2+BC2=AC2，PA2+AB2=PB2，

PA2+AC2=PC2，

∴AB⊥BC，PA⊥AB，PA⊥AC，

∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC，

以A为原点，在平面ABC中，

过A作AC的垂线为x轴，

AC为y轴，AP为z轴，

建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（，，0），

C（0，，0），P（0，0，1），=（，，0），=（0，，﹣1），

设异面直线PC与AB所成角为θ，

则cosθ=||=||=，

∴异面直线PC与AB所成角的余弦值为．

故选：A．

【点评】本题考查了异面直线所成角的余弦值求法问题，也考查了推理论证能力和运算求解能力，是中档题．

12．（5分）已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【分析】f′（x）=﹣2x+a﹣=．令g（x）=﹣2x2+（a﹣）x+3，可知：g（0）=3．由函数在区间（1，3）上有最大值，则必需，解出即可得出．

【解答】解：f′（x）=﹣2x+a﹣=．

令g（x）=﹣2x2+（a﹣）x+3，可知：g（0）=3．

由函数在区间（1，3）上有最大值，

则必需，解得．

∴实数a的取值范围是．

故选：B．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）设等比数列{an}的公比为q，若a1=1，a4=﹣8，则q=　﹣2　．

【分析】运用等比数列的通项公式，计算即可得到所求公比q．

【解答】解：等比数列{an}的公比为q，若a1=1，a4=﹣8，

可得q3==﹣8，

解得q=﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查等比数列的公比的求法，注意运用等比数列的通项公式，考查运算能力，属于基础题．

14．（5分）若（ax+y）7的展开式中xy6的系数为1，则a=　　．

【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出．

【解答】解：（ax+y）7的展开式中通项公式：Tr+1=yr，

令r=6，则Tr+1=•ax•y6．

∵xy6的系数为1，则7a=1，解得a=．

故答案为：．

【点评】本题考查了二项式定理的通项公式应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15．（5分）函数f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx的最小值是　﹣1　．

【分析】化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1，设sinx+cosx=t，函数化为g（t）=t2+t﹣1；根据x的取值范围求出t的取值范围，再求函数g（t）的最小值．

【解答】解：f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈[﹣，]，

化简f（x）=（sinx+cosx）2+sinx+cosx﹣1；

设sinx+cosx=t，

则t=sin（x+），

那么函数化简为：g（t）=t2+t﹣1．

∵x∈[﹣，]，

∴x+∈[0，]，

所以：0≤t≤；

∵函数g（t）=t2+t﹣1．

开口向上，对称轴t=﹣，

∴g（t）在t∈[0，]时单调递增，

∴当t=0时，g（t）取得最小值为﹣1．

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了三角函数的化简能力以及三角函数性质的运用问题，是中档题．

16．（5分）已知F是抛物线C：y2=16x的焦点，过F的直线l与直线垂直，且直线l与抛物线C交于A，B两点，则|AB|=　　．

【分析】求出直线l的方程，然后通过直线与抛物线联立，利用韦达定理以及抛物线的性质求解即可．

【解答】解：F（4，0）是抛物线C：y2=16x的焦点，过F的直线l与直线垂直，

可得：直线l的方程为：y=（x﹣4）．

由，可得3x2﹣28x+48=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．

x1+x2=．

则|AB|=x1+x2+p==．

故答案为：．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的性质的应用，考查计算能力．

三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=4，，bsinC=2sinB．

（1）求b的值；

（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）由正弦定理及余弦定理即可求b的值；

（2）由三角形面积公式即可求出答案．

【解答】解：（1）∵bsinC=2sinB，

∴由正弦定理得：bc=2b，即c=2，

由余弦定理得．

∴；

（2）∵a=4，c=2，．

∴．

【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是基础题．

18．（12分）某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲乙两人相互独立到停车场停车（各停车一次），且两人停车的时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间（小时）与取车概率如下表所示：

（1）求甲、乙两人所付车费相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量X，求X的分布列及数学期望E（X）．

【分析】（1）由题意列方程组求得x、y的值，再计算甲、乙两人所付停车费相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的费用之和为X，由随机变量X的可能取值计算对应的概率值，

写出X的分布列，计算数学期望值．

【解答】解：（1）由题意得，

∴，

又，

∴；

记甲、乙两人所付停车费相同为事件A，

则，

∴甲、乙两人所付停车费相同的概率为；

（2）设甲、乙两人所付的费用之和为X，

则随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，5；

计算，，

，

，

，

；

∴X的分布列为：

∴数学期望为．

【点评】本题考查了古典概型的概率和离散型随机变量的分布列与数学期望计算问题，是综合题．

19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，平面ABC⊥平面AA1B1B，∠AA1B1=60°，P为CC1的中点．

（1）证明：AB1⊥A1P；

（2）若M是棱AC的中点，求二面角M﹣BB1﹣A的余弦值．

【分析】（1）取AB中点D，设AB1与A1B交于点O，连接OP，CD，依题意得OP∥CD，

由平面ABC⊥平面AA1B1B，可得CD⊥平面AA1B1B，即AB1⊥OP，

又四边形AA1B1B为菱形，得AB1⊥A1B，可得AB1⊥平面A1OP，

可证得AB1⊥A1P．

（2）以O为原点，如图所示建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法求解．

【解答】解：（1）证明：取AB中点D，设AB1与A1B交于点O，连接OP，CD，依题意得OP∥CD，

因为平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC∩平面AA1B1B=AB，CD⊥AB，

所以CD⊥平面AA1B1B，即OP⊥平面AA1B1B，所以AB1⊥OP，

又因为四边形AA1B1B为菱形，所以AB1⊥A1B，又OP∩A1B=O，所以AB1⊥平面A1OP，

而A1P⊆平面A1OP，所以AB1⊥A1P．

（2）解：由（1）结合已知得：OP⊥OA1，OP⊥OA，OA1⊥OA，

以O为原点，如图所示建立空间直角坐标系O﹣xyz，因为侧面AA1B1B是边长为2的菱形，且∠AA1B1=60°，

所以O（0，0，0），A（0，1，0），B1（0，﹣1，0），，，

所以，，，

设平面B1BM的法向量为，

则由得，令x=1，可取，

而平面AA1B1B的一个法向量，由图可知二面角M﹣BB1﹣A为锐角，

因为．

所以二面角M﹣BB1﹣A的余弦值为．

【点评】本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求面面角，属于中档题．

20．（12分）如图，点在椭圆上，且点M到两焦点的距离之和为6．

（1）求椭圆的方程；

（2）设与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A，B（A，B不重合），求的取值范围．

【分析】（1）由已知条件设椭圆方程为，把点M（，）代入，能求出椭圆的方程．

（2）设AB的方程为y=﹣x+m，联立椭圆方程，得11x2﹣6mx+6m2﹣18=0，由△＞0求出0≤m2＜，由此能求出的取值范围．

【解答】解：（1）∵2a=6，∴a=3．

又点在椭圆上，∴，

解得：b2=3，∴所求椭圆方程为．

（2）∵，∴，设直线AB的方程：．

联立方程组，消去y得：.，∴．

设A（x1，y1），B（x2，y2），，．

则，

∵，∴的取值范围为．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．属于中档题．

21．（12分）设函数，其中a＞0．

（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；

（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

【分析】（1）利用导函数f（x）在（0，2]的单调性和极值，图象与直线y=m只有一个交点，求解m的取值范围；

（2）利用导函数单调性讨论f（x）极值小值求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）当x＞0时，f'（x）=6x2﹣6x，

令f'（x）=0时得x=1；

令f'（x）＞0得x＞1，f（x）递增；

令f'（x）＜0得0＜x＜1，f（x）递减，

∴f（x）在x=1处取得极小值，且极小值为f（1）=﹣2，

∵f（0）=﹣1，f（2）=3，

∴由数形结合，

可得：﹣1≤m≤3或m=﹣2．

即m的取值范围是{m|﹣1≤m≤3或m=﹣2}

（2）当x≤0时，f（x）=2axex﹣1，

f'（x）=2a（x+1）ex，a＞0，

令f'（x）=0得x=﹣1；

令f'（x）＞0得：﹣1＜x≤0，f（x）递增；

令f'（x）＜0得：x＜﹣1，f（x）递减，

∴f（x）在x=﹣1处取得极小值，且极小值为，

∵a＞0，

∴，

∵当

即时，

f（x）min=f（1）=﹣2，

∴﹣a≤﹣2，即a≥2，∴无解，

当

即时，，

∴，

即，又，

∴，

综上，．

【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，导函数探究单调性的应用．属于中档题．

22．（10分）以坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，且两个坐标系取相等长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0≤φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=8sinθ．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．

【分析】（1）参数方程消去参数化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程即可．

（2）参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可．

【解答】解：（1）由消去t得xsinφ﹣ycosφ+2cosφ=0，

所以直线l的普通方程为xsinφ﹣ycosφ+2cosφ=0．

由ρcos2φ=8sinθ，得（ρcosθ）2=8ρsinθ，

把x=ρcosφ，y=ρsinφ代入上式，得x2=8y，

所以曲线C的直角坐标方程为x2=8y．

（2）将直线l的参数方程代入x2=8y，得t2cos2φ﹣8tsinφ﹣16=0，

设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，

则，，

所以．

当φ=0时，|AB|的最小值为8．

【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，参数方程以及极坐标方程的互化，考查计算能力．

23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．

（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；

（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．

【分析】（1）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1；去掉绝对值符号，转化求解即可．

（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4恒成立，即|x﹣a|≤x+7，即﹣7≤a≤2x+7恒成立，通过x的范围求解a的范围．

【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1；

当x≤﹣3时，不等式转化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式解集为空集；

当﹣3＜x＜﹣1时，不等式转化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解之得；

当x≥﹣1时，不等式转化为（x+1）﹣（x+3）≤1，恒成立；

综上所求不等式的解集为．

（2）若x∈[0，3]时，f（x）≤4恒成立，即|x﹣a|≤x+7，亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立，

又因为x∈[0，3]，所以﹣7≤a≤7，

所以a的取值范围为[﹣7，7]．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．