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    广东省广州市2021年数学中考真题(含答案解析)-

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    2021年广州市中考数学考试题
    一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
    1．（2021广东广州中考，1，3分，★☆☆）下列四个选项中，为负整数的是（ ） A．0
    B．﹣0.5
    C．﹣2
    D．﹣2
    2．（2021广东广州中考，2，3分，★☆☆）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，则点A表示的数为（ ）

    A．﹣3
    B．0
    C．3
    D．﹣6
    3．（2021广东广州中考，3，3分，★☆☆）方程A．x＝﹣6
    B．x＝﹣2
    1x32的解为（ ）
    xD．x＝6
    C．x＝2
    4．（2021广东广州中考，4，3分，★☆☆）下列运算正确的是（ ） A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 C．（a2b3）2＝a4b6
    B．3+3＝33

    D．（a﹣2）2＝a2﹣4
    5．（2021广东广州中考，5，3分，★☆☆）下列命题中，为真命题的是（ ） （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形 （2）对角线互相垂直的四边形是菱形 （3）对角线相等的平行四边形是菱形 （4）有一个角是直角的平行四边形是矩形 A．（1）（2）
    B．（1）（4）
    C．（2）（4）
    D．（3）（4）
    6．（2021广东广州中考，6，3分，★☆☆）为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举办了党史知识竞赛活动，在获得一等奖的学生中，有3名女学生，1名男学生，则从这4名学生中随机抽取2名学生，恰好抽到2名女学生的概率为（ ） A．2
    3B．1
    2C．1
    3D．1
    67．（2021广东广州中考，7，3分，★☆☆）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24 cm，若∠ACB＝60°，则劣弧AB的长是（ ）


    A．8π cm
    B．16π cm
    C．32π cm
    D．192π cm
    8．（2021广东广州中考，8，3分，★☆☆）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ） A．﹣5
    B．﹣3
    C．﹣1
    D．5
    9．（2021广东广州中考，9，3分，★☆☆）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，使点C′落在AB边上，连结BB′，则sin∠BB′C′的值为（ ）

    A．    3
    5B．4
    5C．5
    5D．25
    510．（2021广东广州中考，10，3分，★☆☆）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点C在函数y＝﹣（ ） A．（1x47（x＜0）的图象上，若点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为x21，2）
    2B．（2，2）
    2C．（2，1）
    2D．（2，2）
    2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（2021广东广州中考，11，3分，★☆☆）代数式是 ．
    12．（2021广东广州中考，12，3分，★☆☆）方程x2﹣4x＝0的实数解是 ．
    13．（2021广东广州中考，13，3分，★☆☆）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连接BD．若CD＝1，则AD的长为 ．
    x6在实数范围内有意义时，x应满足的条件

    14．（2021广东广州中考，14，3分，★☆☆）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝m上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1 y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
    x15．（2021广东广州中考，15，3分，★☆☆）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 ．

    16．（2021广东广州中考，16，3分，★☆☆）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边BC上一点，且BE＝3，以点A为圆心，3为半径的圆分别交AB、AD于点F、G，DF与AE交于点H．并与⊙A交于点K，连结HG、CH．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． （1）H是FK的中点； （2）△HGD≌△HEC； （3）S△AHG：S△DHC＝9：16； （4）DK＝7．
    5
    三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（2021广东广州中考，17，4分，★☆☆）解方程组yx4．
    xy6


    18．（2021广东广州中考，18，4分，★☆☆）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．



    19．（2021广东广州中考，19，6分，★☆☆）已知A＝（（1）化简A；
    （2）若m+n﹣23＝0，求A的值．

    20．（2021广东广州中考，20，6分，★☆☆）某中学为了解初三学生参加志愿者活动的次数，随机调查了该年级20名学生，统计得到该20名学生参加志愿者活动的次数如下： 3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4 根据以上数据，得到如下不完整的频数分布表：
    次数 人数
    1 1
    2 2
    3 a
    4 6
    5 b
    6 2
    3mnmn﹣）•．
    mnnm（1）表格中的a＝ ，b＝ ；
    （2）在这次调查中，参加志愿者活动的次数的众数为 ，中位数为 ；
    （3）若该校初三年级共有300名学生，根据调查统计结果，估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次
    数为4次的人数．


    21．（2021广东广州中考，21，8分，★☆☆）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次． （1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
    （2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？


    22．（2021广东广州中考，22，10分，★☆☆）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．
    （1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．





    23．（2021广东广州中考，23，10分，★☆☆）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝与x轴，y轴相交于A、B两点，点P（x，y）为直线l在第二象限的点． （1）求A、B两点的坐标；
    （2）设△PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
    （3）作△PAO的外接圆⊙C，延长PC交⊙C于点Q，当△POQ的面积最小时，求⊙C的半径．
    1x+4分别2


    24．（2021广东广州中考，24，12分，★☆☆）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3． （1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
    （2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标； （3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．


    25．（2021广东广州中考，25，12分，★☆☆）如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．


    （1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形； （2）当CG＝2时，求AE的长；
    （3）当点E从点A开始向右运动到点B时，求点G运动路径的长度．



    2021年广州市中考数学考试题
    答案全解全析
    1．答案：D．
    解析：根据整数的概念进行逐项判断．0是整数，但0既不是负数也不是正数，选项A不符合题意；﹣0.5是负分数，不是整数，选项B不符合题意；﹣2是负无理数，不是整数，故此选项C不符合题意；﹣2是负整数，故此选项D符合题意． 考查内容：识别负整数．
    命题意图：本题主要考查了实数的分类．难度较小．
    关键点解读：明确大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数是解题的关键． 2．答案：A．
    解析：根据相反数的性质，由a+b＝0，∴a与b互为相反数．由AB＝6得b﹣a＝6．∴2b＝6．∴b＝3．即点A表示的数为﹣3．

    考查内容：数轴上的点所表示的数．
    命题意图：本题主要考查相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解决本题的关键．难度较 小．
    【核心素养】本题是借助数轴寻找A、B两点的位置关系，从而得出这两点所表示的数之间的关系式，考查了几何直观核心素养． 3．答案：D．
    解析：求解分式方程去分母，得x＝2x﹣6，∴x＝6．经检验，x＝6是原方程的解． 考查内容：解分式方程．
    命题意图：本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．难度较小． 4．答案：C．
    解析：根据绝对值的定义、二次根式的运算法则、幂的乘方和积的乘方的运算法则，完全平方公式等知识进行计算．即|﹣（﹣2）|＝2，原计算错误，故选项A不符合题意；3与3不是同类二次根式，不能合并，22原计算错误，故选项B不符合题意；（a2b3）＝a4b6，原计算正确，故选项C符合题意；（a﹣2）＝a2﹣4a+4，原计算错误，故选项D不符合题意．
    考查内容：实数的运算；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式
    命题意图：本题考查绝对值、二次根式、幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．难度较小． 5．答案：B．
    解析：利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别进行判断．后（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；（3）对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；（4）有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，真命题为（1）（4）． 考查内容：真假命题．
    命题意图：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度较小． 6．答案：B． 解析：画树状图如下：


    共有12种等可能的结果，恰好抽到2名女学生的结果有6种，∴恰好抽到2名女学生的概率为考查内容：利用列表法与画树状图法求随机事件发生的概率．
    6121．
    2命题意图：本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．难度适中． 7．答案：B．
    解析：首先利用相切的定义得到∠OAC＝∠OBC＝90°，然后根据∠ACB＝60°求得∠AOB＝120°，从而利用弧长公式求得答案，即12024＝16π（cm）．
    180考查内容：切线的性质；弧长的计算．
    命题意图：本题考查了弧长公式和切线的性质的运用，解题时，熟记弧长公式和切线的性质 即可解答，难度中等． 8．答案：A．
    解析：如图：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），∴可得抛物线对称轴x＝-13＝1，∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），∴当x＝2时，y的值为﹣5．
    2
    考查内容：二次函数图象上点的坐标特征．
    命题意图：本题考查了抛物线的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，画出图象利用对称性是解题的关键．难度较小．

    9．答案：C．
    解析：在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB＝10，再由旋转的性质可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的长＝45，即可求出sin∠BB′C′＝考查内容：勾股定理，旋转的性质，解直角三角形．
    命题意图：本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，难度中等． 关键点解读：利用勾股定理求出BB'长是解题的关键． 10．答案：A．
    解析：如图，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E.
    ∵四边形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＋∠COE＝90°. ∵∠AOD＋∠OAD＝90°，∴∠COE＝∠OAD． ∵∠CEO＝∠ODA，∴△COE∽△OAD． S∴SCOEAODBC'5． BB'5OECEOCOC，==．
    ADODOAOA11OECEOC2×|－4|＝2，S△AOD＝，∴===． 22ADODOA12∵S△COE＝∴OE＝2AD，CE＝2OD，设A（m，∴OE＝0－（－22）＝． mm12）（m＞0），∴C（－，2m）， mm∵点B的横坐标为－∴m1＝772，∴m－（－）＝，整理得2m2＋7m－4＝0， 22m11，m2＝－4（舍去）．∴A（，2）.故选A． 22
    考查内容：反比例函数的性质；相似三角形的性质；矩形的性质．
    命题意图：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，

    反比例函数系数k的几何意义，其中，表示出点的坐标是解题的关键，难度中等． 11．答案：x≥6．
    解析：二次根式中被开方数的取值范围为被开方数是非负数．可得x﹣6≥0，解得x≥6． 考查内容：二次根式有意义的条件．
    命题意图：本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那 么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．难度较小． 12．答案：x1＝0，x2＝4．
    解析：原方程可变形为x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4． 考查内容：解一元二次方程．
    命题意图：本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．难度较小． 13．答案：2．
    解析：由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性质可求解BD的长＝2CD＝2，∴AD＝2．
    考查内容：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
    命题意图：本题考查了线段的垂直平分线，含30° 角的直角三角形的性质，求得AD＝BD是解题的关键．难度中等． 14．答案：＞．
    解析：由一元二次方程根的情况，求得m＝4，确定反比例函数y＝m图象位于第一、三象限，然后根据反x比例函数的性质在每个象限y随x的增大而减少，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2． 考查内容：根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征．
    命题意图：本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．难度中等． 15．答案：33°．
    解析：先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝38°，再利用B′D∥AC，得∠ADB′＝∠A＝38°，接着根据点B关于直线CD的对称点为B′得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB＝∠CDB′＝1（38°+180°）＝109°，然2后利用三角形内角和计算出∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°． 考查内容：平行线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质．
    命题意图：本题考查了轴对称的性质，轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性
    质．难度中等．
    16．答案：（1）（3）（4）．
    ADAB,解析：（1）在△ABE与△DAF中，DAFABE,
    AFBE,∴△ABE≌△DAF（SAS）.∴∠AFD＝∠AEB. ∴∠AFD＋∠BAE＝∠AEB＋∠BAE＝90°， ∴AH⊥FK.由垂径定理，得：FH＝HK， 即H是FK的中点，故（1）正确.
    （2）如图，过H分别作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，

    ∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝AB2BE2＝5，
    ∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM， ∴AMAHAB41248===，∴AH＝，HM＝， AHAFAE5525∴HN＝4－4852＝，即HM≠HN，∵MN∥CD， 2525∴MD＝CN，∵HD＝HM2MD2， HC＝HN2CN2，∴HC≠HD，
    ∴△HGD≌△HEC是错误的，故（2）不正确. （3）由（2）知，AM＝AH2HM2=∵MN∥CD，∴MD＝HT＝64， 25363664，∴DM＝4－＝. 252525∴SSAHGHCD1AGHM92==，故（3）正确.
    1CDHT162
    918（4）由（2）知，HF＝AF2AH2=，∴FK＝2HF＝
    55∴DK＝DF－FK＝7，故（4）正确．故填（1）（3）（4）.
    5
    考查内容：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；垂径定理；解直角三角．
    命题意图：本题考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．难度中等以上． yx4,①17．解析：
    xy6.②将①代入②得，x＋（x－4）＝6，∴x＝5. 将x＝5代入①得，y＝1. x5,∴方程组的解为
    y1.考查内容：解二元一次方程组．
    命题意图：本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．难度较小．
    18．证明：AB∥CD，∴∠B＝∠C． AD,在△ABE和△DCF中，BC,
    BECF.∴△ABE≌DCF（AAS）．∴AE＝DF． 考查内容：全等三角形的判定与性质．
    命题意图：主要考查了平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．难度不大．

    22mn3mnmn3mn19．解析：（1）A＝＝ mnmnnmmn＝(mn(mn3mn＝3（m＋n）．
    mnmn（2）∵m＋n－23＝0， ∴m＋n＝23，
    当m＋n＝23时，A＝3×23＝6． 考查内容：分式的化简与求值．
    命题意图：本题主要考查了分式的化简与求值，熟练运用分式运算法则化简是解题的关键，难度中等． 20．解析：（1）由该20名学生参加志愿者活动的次数得：a＝4，b＝5，故答案为：4，5； （2）该20名学生参加志愿者活动的次数从小到大排列如下： 1，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6， ∵4出现的最多，有6次，∴众数为4，中位数为第10，第11个数的平均数（3）300×6＝90（人）．
    204＋4＝4，故答案为：4，4.
    2答：估计该校初三年级学生参加志愿者活动的次数为4次的人数有90人． 考查内容：用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数；众数．
    命题意图：本题考查了频数分布表，众数、中位数，样本估计总体，掌握众数、中位数的定义是本题的关键．难度中等．
    21．解析：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，依题意得：31+2x+x＝100，解得：x＝23． 答：“南粤家政”今年计划新增加培训23万人次．
    （2）设李某的年工资收入增长率为m，依题意得：9.6（1+m）≥12.48，解得：m≥0.3＝30%． 答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
    考查内容：一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
    命题意图：本题考查一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用．难度中等．
    关键点解读：本题考查了，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
    方法点拨：（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训x万人次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训2x万人次，根据今年计划新增加培训共100万人次，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设李
    某的年工资收入增长率为m，利用李某今年的年工资收入＝李某去年的年工资收入×（1+增长率），结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小值即可得出结论．
    【核心素养】根据“南粤家政”今年计划新增加培训总人次，建立关于x的一元一次方程模型，以及利用李某今年的年工资收入＝李某去年的年工资收入×（1+增长率），结合预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，建立关于m的一元一次不等式模型，体现了对数学模型思想核心素养的考查． 22．解析：如图，图形如图所示．

    （2）证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD． ∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAC＝45°，∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°． ∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，∵BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC， ∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°． ∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°， ∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等边三角形．
    考查内容：基本作图；等边三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．
    命题意图：本题主要考查基本作图以及等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是证明EB＝EF，∠BEF＝60°．难度不大．
    【核心素养】根据角平分线、垂线等性质得出有关边、角相等，从而证得等边三角形，培养了学生数学推理能力等核心素养． 23．解析：（1）∵直线y＝∴当x＝0时，y＝4； 当y＝0时，x＝－8， ∴A（－8，0），B（0，4）；
    （2）∵点P（x，y）为直线l在第二象限的点，
    1x＋4分别与x轴，y轴相交于A，B两点，
    2
    ∴P（x，1x＋4），
    211OA×(x＋4）＝2x＋16（－8＜x＜0）； 22∴S△APO＝∴S＝2x＋16（－8＜x＜0）； （3）∵A（－8，0），B（0，4）， ∴OA＝8，OB＝4，
    在Rt△AOB中，由勾股定理得： AB＝OA2OB2=8242＝45， 在⊙C中，∵PQ是直径， ∴∠PQO＝90°， ∵∠BAO＝∠Q， ∴tanQ＝tan∠BAO＝∴PO1=， OQ21， 2∴OQ＝2OP， ∴S△POQ＝11OP×OQ＝OP×2OP=OP2， 22∴当S△POQ最小，则OP最小时， ∵点P在线段AB上运动， ∴当OP⊥AB时，OP最小， ∴S△AOB＝11OA×OB＝×AB＋OP； 22∴OP＝OAOB8485==.
    5AB45∵sinQ＝sin∠BAO， ∴OPOB=. PQAB854∴5=. PQ45∴PQ＝8. ∴⊙C半径为4．
    考查内容：一次函数图象上点的坐标的特征、圆的性质、三角函数等．

    命题意图：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征、圆的性质、以及三角函数的知识，将S△POQ表示为OP2是解决问题的关键．难度中等以上． 方法点拨：（1）根据直线y＝1x+4分别与x轴，y轴相交于A、B两点，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x21x+4），根据三角形面积公式，表示出S关于x的函数解析式，2＝﹣8，即得A，B的坐标；（2）设P（x，根据P在线段AB上得出x的取值范围；（3）将S△POQ表示为OP2，从而当△POQ的面积最小时，此时OP最小，而OP⊥AB时，OP最小，借助三角函数求出此时的直径即可解决问题． 24．解析：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2－x＋3， 将x＝2代入得y＝4－2＋3＝5， ∴点（2，4）不在抛物线上；
    m14(2m3[(m1]2（2）抛物线y＝x－（m＋1）x＋2m＋3的顶点为（，），
    42    2m1m26m11化简得（，），
    42顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
    m26m111而＝－（m－3）2＋5，
    44∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处， 此时顶点坐标为：（2，5）.
    （3）设直线EF解析式为y＝kx＋b，将E（－1，－1），F（3，7）代入得： 1kb,k2,，解得
    b1,73kb,∴直线EF的解析式为y＝2x＋1，
    y2x1,x2,xm1,由得：或 2y5,y2m3,yx(m1x2m3∴直线y＝2x＋1与抛物线y＝x2－（m＋1）x＋2m＋3的交点为：（2，5）和（m＋1，2m＋3）， 而（2，5）在线段EF上，
    ∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m＋1，2m＋3）不在线段EF上，或（2，5）与（m＋1，2m＋3）重合，
    ∴m＋1＜－1或m＋1＞3或m＋1＝2（此时2m＋3＝5）， ∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝m11m13＜－或x顶点＝＞或x顶点＝1． 2222考查内容：抛物线上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等．

    命题意图：本题考查二次函数的综合应用，涉及图象上点坐标特征，顶点坐标，抛物线与线段交点等知识，解题的关键是用m的代数式表示抛物线与直线交点的坐标．难度较大． 25．解析：（1）连接DF，CE，如图所示：
    ，
    ∵E为AB中点， ∴AE＝AF＝1AB，
    2∴EF＝AB，
    ∵四边形ABCD是菱形， ∴EF∥AB，
    ∴四边形DFEC是平行四边形．
    （2）作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示，
    ，
    ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD∥EF， ∴△CDG∽△FEG， ∴CDEF=， CGFG∴FG＝2m，
    在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2， sin60°＝CH，CH＝3，
    BC
    cos60°＝    CH，BC＝1，
    BC在Rt△CFH中，CF＝2＋2m，CH＝3，FH＝3＋m， CF²＝CH²＋FH²，
    即（2＋2m）²＝（3）²＋（3＋m）²， 整理得3m²＋2m－8＝0， 解得m1＝∴AE＝4，m2＝－2（舍去），
    34．
    3（3）因H点沿线段AB直线运动，F点沿线段BA的延长线直线运动，并且CD∥AB，线段ED与线段CF的交点G点运动轨迹为线段AG，运动刚开始时，A，F，H，G四点重合，当H点与B点重合时，G点运动到极限位置，所以G点轨迹为线段AG， 如图所示，作GH⊥AB，

    ∵四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB＝2， ∴CD∥BF，BD＝2， ∴△CDG∽△FBG， ∴CDDG=，即BG＝2DG， BFBG∵BG＋DG＝BD＝2， ∴BG＝4，
    3    4，∠DBA＝60°，
    3在Rt△GHB中，BG＝sin60°＝23GH，GH＝，
    3BGBH2cos60°＝，BH＝，
    3BG
    在Rt△AHG中，AH＝2－AG²＝（2324＝，GH＝，
    3332327428）²＋（）²＝，∴AG＝．
    333927．
    3∴G点路径长度为考查内容：平行四边形的判定，菱形的性质．
    命题意图：本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解．本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的性质，同时考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，难度较大．


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