2017年陕西省中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．计算：=（　　）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　　　D．0

【答案】C．

【解析】

试题分析：原式=﹣1=，故选C．

考点：有理数的混合运算．

2．如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆柱体组成的，则它的主视图是（　　）

A．　　　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．

【答案】B．

【解析】

试题分析：从正面看下边是一个较大的矩形，上便是一个角的矩形，故选B．

考点：简单组合体的三视图．

3．若一个正比例函数的图象经过A（3，﹣6），B（m，﹣4）两点，则m的值为（　　）

A．2　　　　　　B．8　　　　　　C．﹣2　　　　　　D．﹣8

【答案】A．

【解析】

考点：一次函数图象上点的坐标特征．

4．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点B落在直线a上，若∠1=25°，则∠2的大小为（　　）

A．55°　　　　　　B．75°　　　　　　C．65°　　　　　　D．85°

【答案】C．

【解析】

试题分析：∵∠1=25°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣25°=65°．∵a∥b，∴∠2=∠3=65°．故选C．

考点：平行线的性质．

5．化简：，结果正确的是（　　）

A．1　　　　　　　　　　B．　　　　C． 　　　　D．

【答案】B．

【解析】

试题分析：原式= =．故选B．

考点：分式的加减法．

6．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（　　）

A．　　　　B．6　　　　C． 　　　　D．

【答案】A．

【解析】

试题分析：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB==，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=，∴∠CAB′=90°，∴B′C==，故选A．

考点：勾股定理．

7．如图，已知直线l1：y=﹣2x+4与直线l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于点M．若直线l2与x轴的交点为A（﹣2，0），则k的取值范围是（　　）

A．﹣2＜k＜2　　　　　　B．﹣2＜k＜0　　　　　　C．0＜k＜4　　　　　　D．0＜k＜2

【答案】D．

【解析】

考点：两条直线相交或平行问题；一次函数图象上点的坐标特征．

8．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3．若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为（　　）

A．　　　　B．　　　　C． 　　　　D．

【答案】B．

【解析】

考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为（　　）

A．5　　　　B．　　　　C． 　　　　D．

【答案】D．

【解析】

试题分析：连接OA、OB、OP，∵∠C=30°，∴∠APB=∠C=30°，∵PB=AB，∴∠PAB=∠APB=30°

∴∠ABP=120°，∵PB=AB，∴OB⊥AP，AD=PD，∴∠OBP=∠OBA=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=5，则Rt△PBD中，PD=cos30°•PB=×5=，∴AP=2PD=，故选D．

考点：三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．

10．已知抛物线（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（　　）

A．（1，﹣5）　　　　　　B．（3，﹣13）　　　　　　C．（2，﹣8）　　　　　　D．（4，﹣20）

【答案】C．

【解析】

试题分析：=，∴点M（m，﹣m2﹣4），∴点M′（﹣m，m2+4），∴m2+2m2﹣4=m2+4．解得m=±2．∵m＞0，∴m=2，∴M（2，﹣8）．故选C．

考点：二次函数的性质．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

11．在实数﹣5，﹣，0，π，中，最大的一个数是 ．

【答案】π．

【解析】

考点：实数大小比较．

12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．

A．如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为 ．

B．tan38°15′≈ ．（结果精确到0.01）

【答案】A．64°；B．2.03．

【解析】

考点：计算器—三角函数；计算器—数的开方；三角形内角和定理．

13．已知A，B两点分别在反比例函数（m≠0）和（m≠）的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为 ．

【答案】1．

【解析】

试题分析：设A（a，b），则B（a，﹣b），依题意得：，所以 =0，即5m﹣5=0，解得m=1．故答案为：1．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．

14．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为 ．

【答案】18．

【解析】

∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；

由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而AC=6；

∴2λ2=36，λ2=18，故答案为：18．

考点：全等三角形的判定与性质．

三、解答题（本大题共11小题，共78分）

15．计算：．

【答案】．

【解析】

试题分析：根据二次根式的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．

试题解析：原式===.

考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．

16．解方程：．

【答案】x=﹣6．

【解析】

试题分析：利用解分式方程的步骤和完全平方公式，平方差公式即可得出结论．

试题解析：去分母得，（x+3）2﹣2（x﹣3）=（x﹣3）（x+3），去括号得，x2+6x+9﹣2x+6=x2﹣9，移项，系数化为1，得x=﹣6，经检验，x=﹣6是原方程的解．

考点：解分式方程．

17．如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D．请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】作图见解析．

【解析】

考点：作图—基本作图．

18．养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x（分钟）进行了调查．现把调查结果分成A、B、C、D四组，如下表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图．

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；

（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在 区间内；

（3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨7：00～7：40之间的锻炼）

【答案】（1）作图见解析；（2）C；（3）1020．

【解析】

百分比为1﹣（5%+10%+65%）=20%，补全图形如下：

（2）由于共有200个数据，其中位数是第100、101个数据的平均数，则其中位数位于C区间内，故答案为：C；

（3）1200×（65%+20%）=1020（人）．

答：估计这个年级学生中约有1020人一天早锻炼的时间不少于20分钟．

考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数．

19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G．求证：AG=CG．

【答案】证明见解析．

【解析】

试题分析：根据正方向的性质，可得∠ADF=CDE=90°，AD=CD，根据全等三角形的判定与性质，可得答案．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

20．某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这个距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB为1.7米，然后，小军在A处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长（结果精确到1米）．（参考数据：sin23°≈0.3907，cos23°≈0.9205，tan23°≈0.4245，sin24°≈0.4067，cos24°≈0.9135，tan24°≈0.4452．）

【答案】34米．

【解析】

试题分析：作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x米，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

试题解析：如图，作BD⊥MN，CE⊥MN，垂足分别为点D、E，设AN=x米，则BD=CE=x米，在Rt△MBD中，MD=x•tan23°，在Rt△MCE中，ME=x•tan24°，∵ME﹣MD=DE=BC，∴x•tan24°﹣x•tan23°=1.7﹣1，∴x=，解得x≈34（米）．

答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN的长约为34米．

考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

21．在精准扶贫中，某村的李师傅在县政府的扶持下，去年下半年，他对家里的3个温室大棚进行修整改造，然后，1个大棚种植香瓜，另外2个大棚种植甜瓜，今年上半年喜获丰收，现在他家的甜瓜和香瓜已全部售完，他高兴地说：“我的日子终于好了”．

最近，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划在农业合作社承包5个大棚，以后就用8个大棚继续种植香瓜和甜瓜，他根据种植经验及今年上半年的市场情况，打算下半年种植时，两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜，并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下：

现假设李师傅今年下半年香瓜种植的大棚数为x个，明年上半年8个大棚中所产的瓜全部售完后，获得的利润为y元．

根据以上提供的信息，请你解答下列问题：

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）求出李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植几个大棚？才能使获得的利润不低于10万元．

【答案】（1）y=7500x+68000；（2）5．

【解析】

试题分析：（1）利用总利润=种植香瓜的利润+种植甜瓜的利润即可得出结论；

（2）利用（1）得出的结论大于等于100000建立不等式，即可确定出结论．

试题解析：（1）由题意得，y=（2000×12﹣8000）x+（4500×3﹣5000）（8﹣x）=7500x+68000；

（2）由题意得，7500x+6800≥100000，∴x≥，∵x为整数，∴李师傅种植的8个大棚中，香瓜至少种植5个大棚．

考点：一次函数的应用；最值问题．

22．端午节“赛龙舟，吃粽子”是中华民族的传统习俗．节日期间，小邱家包了三种不同馅的粽子，分别是：红枣粽子（记为A），豆沙粽子（记为B），肉粽子（记为C），这些粽子除了馅不同，其余均相同．粽子煮好后，小邱的妈妈给一个白盘中放入了两个红枣粽子，一个豆沙粽子和一个肉粽子；给一个花盘中放入了两个肉粽子，一个红枣粽子和一个豆沙粽子．

根据以上情况，请你回答下列问题：

（1）假设小邱从白盘中随机取一个粽子，恰好取到红枣粽子的概率是多少？

（2）若小邱先从白盘里的四个粽子中随机取一个粽子，再从花盘里的四个粽子中随机取一个粽子，请用列表法或画树状图的方法，求小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、

（A，A）、（A，B）、（A，C）、（A，C）、

（B，A）、（B，B）、（B，C）、（B，C）、

（C，A）、（C，B）、（C，C）、（C，C），∴小邱取到的两个粽子中一个是红枣粽子、一个是豆沙粽子的概率是：．

考点：列表法与树状图法；概率公式．

23．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时．

（1）求弦AC的长；

（2）求证：BC∥PA．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

在Rt△ODA中，AD=OA•sin60°=，∴AC=2AD=；

（2）∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°，∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA，∴BC∥PA．

考点：切线的性质．

24．在同一直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2x﹣3与抛物线y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．

（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3；（2）A（﹣3，0），B（1，0）；（3）存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3）．

【解析】

试题分析：（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；

（2）由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；

（3）由题意可知AB只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出P点坐标，表示出Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得P、Q的坐标．

试题解析：

（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t=﹣2，∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，∴P（﹣2，5），Q（2，5）；

②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t=2，∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，∴P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3），综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（﹣2，﹣3），Q（2，﹣3）．

考点：二次函数综合题；存在型；分类讨论；轴对称的性质．

25．问题提出

（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为 ；

问题探究

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DE⊥AB交于点E，又测得DE=8m．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

【答案】（1）；（2）PQ=；（3）喷灌龙头的射程至少为19.71米．

【解析】

试题分析：（1）构建Rt△AOD中，利用cos∠OAD=cos30°=，可得OA的长；

（2）经过矩形对角线交点的直线将矩形面积平分，根据此结论作出PQ，利用勾股定理进行计算即可；

（3）如图3，作辅助线，先确定圆心和半径，根据勾股定理计算半径：

在Rt△AOD中，由勾股定理解得：r=13根据三角形面积计算高MN的长，证明△ADC∽△ANM，列比例式求DC的长，确定点O在△AMB内部，利用勾股定理计算OM，则最大距离FM的长可利用相加得出结论．

试题解析：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=AC=×12=6，∵O是内心，△ABC是等边三角形，∴∠OAD=∠BAC=×60°=30°，在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=，∴OA=6÷=，故答案为：；

（r﹣8）2，解得：r=13，∴OD=5，过点M作MN⊥AB，垂足为N，∵S△ABM=96，AB=24，∴AB•MN=96，×24×MN=96，∴MN=8，NB=6，AN=18，∵CD∥MN，∴△ADC∽△ANM，∴，∴，∴DC=，∴OD＜CD，∴点O在△AMB内部，∴连接MO并延长交于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，∵在上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，即MF＞MG，过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，∴OM===，∴MF=OM+r=+13≈19.71（米）．

答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．

考点：圆的综合题；最值问题；存在型；阅读型；压轴题．