初中毕业生学业考试

数 学

说明:

1.全卷共4页，考试用时100分钟，满分为120分.

2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、试室号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．

3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．

4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1．的算术平方根是（ ）

A． B． C． D．

2．计算结果是（ ）

A． B． C． D．

3．如图所示几何体的主（正）视图是（ ）

A． B． 　　　　 C． D．

4．《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（ ）

A． 元 B．元 C．元 D．元

5．方程组的解是（ ）

A． 　 　B．

C． 　　　　　 Ｄ．

二、填空题：（本大题5小题，每小题4分，共20分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．

6．分解因式 ．

7．已知的直径为上的一点，，则= ．

8．一种商品原价120元，按八折（即原价的80%）出售，则现售价应为 元．

9．在一个不透明的布袋中装有2个白球和个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，则_____________．

10．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 块，第个图形中需要黑色瓷砖________块（用含的代数式表示）．

……

（1） （2） （3）

三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）

11．（本题满分6分）计算：．

12．（本题满分6分）解方程

13．（本题满分6分）如图所示，是等边三角形， 点是的中点，延长到，使，

（1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求证：．

14．（本题满分6分）已知：关于的方程

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是，求另一个根及值．

15．（本题满分6分）如图所示，、两城市相距，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段），经测量，森林保护中心在城市的北偏东和城市的北偏西的方向上，已知森林保护区的范围在以点为圆心，为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：）

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）

16．（本题满分7分）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

17．（本题满分7分）某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况，采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类；图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）在这次研究中，一共调查了多少名学生？

（2）喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？

（3）补全频数分布折线统计图．

18．（本题满分7分）在中，，以为直径作，

（1）求圆心到的距离（用含的代数式来表示）；

（2）当取何值时，与相切．

19．（本题满分7分）如图所示，在矩形中，，两条对角线相交于点．以、为邻边作第1个平行四边形，对角线相交于点，再以、为邻边作第2个平行四边形，对角线相交于点；再以、为邻边作第3个平行四边形……依次类推．

（1）求矩形的面积；

（2）求第1个平行四边形、第2个平行四边形和第6个平行四边形的面积．

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

20、（本题满分9分）

（1）如图1，圆心接中，，、为的半径，于点，于点

求证：阴影部分四边形的面积是的面积的．

（2）如图2，若保持角度不变，

求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的．

21．（本题满分9分）小明用下面的方法求出方程的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把你的解答过程填写在下面的表格中．

22．（本题满分9分）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，

（1）证明：；

（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；

（3）当点运动到什么位置时，求的值．

广东省中山市2009年初中毕业生学业考试

数学试题参考答案及评分建议

一、选择题（本大题5小题，每小题3分，共15分）

1．B 2．A 3．B 4．A 5．D

二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）

6． 7．4 8．96 9．8 10．10，

三、解答题（一）（本大题5小题，每题6分，共30分）

11．解：原式= 4分

=4． 6分

12．解：方程两边同时乘以， 2分

， 4分

， 5分

经检验：是方程的解． 6分

13．解：（1）作图见答案13题图，

2分

（2）是等边三角形，是的中点，

平分（三线合一），

． 4分

，

．

又，

． 5分

又，

，

，

．

又，

． 6分

14．解：（1），

， 2分

无论取何值，，所以，即，

方程有两个不相等的实数根． 3分

（2）设的另一个根为，

则，， 4分

解得：，，

的另一个根为，的值为1． 6分

15．解：过点作，是垂足，

则，， 2分

，，

， 4分

，

， 5分

，

答：森林保护区的中心与直线的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区． 6分

四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）

16．解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染台电脑， 1分

依题意得：， 3分

，

或，

（舍去）， 5分

． 6分

答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 7分

17．解：（1）（人）． 1分

（2）， 2分

，

． 3分

（3）喜欢篮球的人数：（人）， 4分

喜欢排球的人数：（人）． 5分

7分

18．解：（1）分别过两点作，垂足分别为点，点，

就是圆心到的距离．

四边形是平行四边形，

． 2分

在中，，

， 4分

圆心到的距离为． 5分

（2），

为的直径，且，

当时，与相切于点，

即， 6分

当时，与相切． 7分

19．解：（1）在中，

，

． 2分

（2）矩形，对角线相交于点，

． 3分

四边形是平行四边形，

，

．

又，

，

， 5分

同理，， 6分

第6个平行四边形的面积为． 7分

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

20．证明：（1）如图1，连结，

因为点是等边三角形的外心，

所以． 2分

，

因为，

所以． 4分

（2）解法一：

连结和，则，， 5分

不妨设交于点，交于点，

，

． 7分

在和中，

， 8分

． 9分

解法二：

不妨设交于点，交于点，

作，垂足分别为， 5分

在四边形中，，

， 6分

即．

又，

． 7分

，

，

， 8分

． 9分

21．解：

22．解：（1）在正方形中，，

，

，

．

在中，，

，

． 2分

（2），

，

， 4分

，

当时，取最大值，最大值为10． 6分

（3），

要使，必须有， 7分

由（1）知，

，

当点运动到的中点时，，此时． 9分

（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）