2018年四川省成都市中考数学试卷

（考试时间：120分钟 满分150分）

A卷（共100分）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（　　）

A．a B．b C．c D．d

2．2018年5月21日，西昌卫星发射中心成功发射探月工程嫦娥四号任务“鹊桥号”中继星，卫星进入近地点高度为200公里、远地点高度为40万公里的预定轨道．将数据40万用科学记数法表示为（　　）

A．4×104 B．4×105 C．4×106 D．0.4×106

3．如图所示的正六棱柱的主视图是（　　）

A． B．

C． D．

4．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，5） D．（﹣3，﹣5）

5．下列计算正确的是（　　）

A．x2+x2＝x4 B．（x﹣y）2＝x2﹣y2

C．（x2y）3＝x6y D．（﹣x）2•x3＝x5

6．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　　）

A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．AB＝DC

7．如图是成都市某周内日最高气温的折线统计图，关于这7天的日最高气温的说法正确的是（　　）

A．极差是8℃ B．众数是28℃

C．中位数是24℃ D．平均数是26℃

8．分式方程＝1的解是（　　）

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝﹣3

9．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．π B．2π C．3π D．6π

10．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）

A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）

B．图象的对称轴在y轴的右侧

C．当x＜0时，y的值随x值的增大而减小

D．y的最小值为﹣3

二、填空题（每小题4分，共16分）

11．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为　 　．

12．在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是　 　．

13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为　 　．

14．如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线AC的长为　 　．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分)

15．（12分）（1）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣|

（2）化简：（1﹣）÷

16．（6分）若关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．

17．（8分）为了给游客提供更好的服务，某景区随机对部分游客进行了关于“景区服务工作满意度”的调查，并根据调查结果绘制成如图不完整的统计图表．

根据图表信息，解答下列问题：

（1）本次调查的总人数为　 　，表中m的值　 　；

（2）请补全条形统计图；

（3）据统计，该景区平均每天接待游客约3600人，若将“非常满意”和“满意”作为游客对景区服务工作的肯定，请你估计该景区服务工作平均每天得到多少名游客的肯定．

18．（8分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．

（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4）．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）设M是直线AB上一点，过M作MN∥x轴，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点N，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．

20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；

（3）若BE＝8，sinB＝，求DG的长，

B卷（共50分）

一、填空题（每小题4分，共20分）

21．已知x+y＝0.2，x+3y＝1，则代数式x2+4xy+4y2的值为　 　．

22．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2：3．现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为　 　．

23．已知a＞0，S1＝，S2＝﹣S1﹣1，S3＝，S4＝﹣S3﹣1，S5＝，…（即当n为大于1的奇数时，Sn＝；当n为大于1的偶数时，Sn＝﹣Sn﹣1﹣1），按此规律，S2018＝　 　．

24．如图，在菱形ABCD中，tanA＝，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为　 　．

25．设双曲线y＝（k＞0）与直线y＝x交于A，B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y＝（k＞0）的眸径为6时，k的值为　 　．

二、解答题（本大题共3小题，共30分）

26．（8分）为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．

（1）直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；

（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？

27．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．

（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；

（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；

（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．

28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x＝对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c与直线l：y＝kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若＝，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；

（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB＝90°，求k的值．

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．【解答】解：由数轴可得：a＜b＜c＜d，

故选：D．

2．【解答】解：40万＝4×105，

故选：B．

3．【解答】解：从正面看是左右相邻的3个矩形，中间的矩形的面积较大，两边相同．

故选：A．

4．【解答】解：点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），

故选：C．

5．【解答】解：x2+x2＝2x2，A错误；

（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，B错误；

（x2y）3＝x6y3，C错误；

（﹣x）2•x3＝x2•x3＝x5，D正确；

故选：D．

6．【解答】解：A、∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

B、∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∠ACB＝∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

C、∠ABC＝∠DCB，AC＝BD，BC＝BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；

D、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

故选：C．

7．【解答】解：由图可得，

极差是：30﹣20＝10℃，故选项A错误，

众数是28℃，故选项B正确，

这组数按照从小到大排列是：20、22、24、26、28、28、30，故中位数是26℃，故选项C错误，

平均数是：＝℃，故选项D错误，

故选：B．

8．【解答】解：＝1，

去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：

（x+1）（x﹣2）+x＝x（x﹣2），

x2﹣x﹣2+x＝x2﹣2x，

x＝1，

经检验，x＝1是原分式方程的解，

故选：A．

9．【解答】解：∵在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，

∴∠C＝120°，

∴图中阴影部分的面积是：＝3π，

故选：C．

10．【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，

∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误，

该函数的对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误，

当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，

当x＝﹣1时，y取得最小值，此时y＝﹣3，故选项D正确，

故选：D．

二、填空题（每小题4分，共16分）

11．【解答】解：∵等腰三角形底角相等，

∴180°﹣50°×2＝80°，

∴顶角为80°．

故填80°．

12．【解答】解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共16个，从中随机摸出一个乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为，

∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16×＝6．

故答案为：6．

13．【解答】解：∵＝＝，

∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，

∵a+b﹣2c＝6，

∴6x+5x﹣8x＝6，

解得：x＝2，

故a＝12．

故答案为：12．

14．【解答】解：连接AE，如图，

由作法得MN垂直平分AC，

∴EA＝EC＝3，

在Rt△ADE中，AD＝＝，

在Rt△ADC中，AC＝＝．

故答案为．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分)

15．【解答】解：（1）原式＝+2﹣2×+＝

（2）原式＝×

＝×

＝x﹣1

16．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝[﹣（2a+1）]2﹣4a2＝4a+1＞0，

解得：a＞﹣．

17．【解答】解：（1）12÷10%＝120，总人数＝120，

n＝120×40%＝48，m＝＝45%．

故答案为120，45%．

（2）根据n＝48，画出条形图：

（3）3600××100%＝1980（人），

答：估计该景区服务工作平均每天得到1980名游客的肯定．

18．【解答】解：由题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，

在直角三角形ACD中，CD＝AC•cos∠ACD＝27.2海里，

在直角三角形BCD中，BD＝CD•tan∠BCD＝20.4海里．

答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．

19．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+b的图象经过点A（﹣2，0），

∴0＝﹣2+b，得b＝2，

∴一次函数的解析式为y＝x+2，

∵一次函数的解析式为y＝x+2与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于B（a，4），

∴4＝a+2，得a＝2，

∴4＝，得k＝8，

即反比例函数解析式为：y＝（x＞0）；

（2）∵点A（﹣2，0），

∴OA＝2，

设点M（m﹣2，m），点N（，m），

当MN∥AO且MN＝AO时，四边形AOMN是平行四边形，

||＝2，

解得，m＝2或m＝+2，

∴点M的坐标为（﹣2，）或（，2+2）．

20．【解答】（1）证明：如图，连接OD，

∵AD为∠BAC的角平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C＝90°，

∴∠ODC＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC为圆O的切线；

（2）解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，

∴∠FDC＝∠DAF，

∴∠CDA＝∠CFD，

∴∠AFD＝∠ADB，

∵∠BAD＝∠DAF，

∴△ABD∽△ADF，

∴＝，即AD2＝AB•AF＝xy，

则AD＝；

（3）解：连接EF，在Rt△BOD中，sinB＝＝，

设圆的半径为r，可得＝，

解得：r＝5，

∴AE＝10，AB＝18，

∵AE是直径，

∴∠AFE＝∠C＝90°，

∴EF∥BC，

∴∠AEF＝∠B，

∴sin∠AEF＝＝，

∴AF＝AE•sin∠AEF＝10×＝，

∵AF∥OD，

∴＝＝＝，即DG＝AD，

∴AD＝＝＝，

则DG＝×＝．

一、填空题（每小题4分，共20分）

21．【解答】解：∵x+y＝0.2，x+3y＝1，

∴2x+4y＝1.2，即x+2y＝0.6，

则原式＝（x+2y）2＝0.36．

故答案为：0.36

22．【解答】解：设两直角边分别是2x，3x，则斜边即大正方形的边长为x，小正方形边长为x，

所以S大正方形＝13x2，S小正方形＝x2，S阴影＝12x2，

则针尖落在阴影区域的概率为＝．

故答案为：．

23．【解答】解：S1＝，S2＝﹣S1﹣1＝﹣﹣1＝﹣，S3＝＝﹣，S4＝﹣S3﹣1＝﹣1＝﹣，S5＝＝﹣（a+1），S6＝﹣S5﹣1＝（a+1）﹣1＝a，S7＝＝，…，

∴Sn的值每6个一循环．

∵2018＝336×6+2，

∴S2018＝S2＝﹣．

故答案为：﹣．

24．【解答】解：延长NF与DC交于点H，

∵∠ADF＝90°，

∴∠A+∠FDH＝90°，

∵∠DFN+∠DFH＝180°，∠A+∠B＝180°，∠B＝∠DFN，

∴∠A＝∠DFH，

∴∠FDH+∠DFH＝90°，

∴NH⊥DC，

设DM＝4k，DE＝3k，EM＝5k，

∴AD＝9k＝DC，DF＝6k，

∵tanA＝tan∠DFH＝，

则sin∠DFH＝，

∴DH＝DF＝k，

∴CH＝9k﹣k＝k，

∵cosC＝cosA＝＝，

∴CN＝CH＝7k，

∴BN＝2k，

∴＝．

25．【解答】解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．

联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，

解得：，，

∴点A的坐标为（﹣，﹣），点B的坐标为（，）．

∵PQ＝6，

∴OP＝3，点P的坐标为（﹣，）．

根据图形的对称性可知：PP′＝AB＝QQ′，

∴点P′的坐标为（﹣+2，+2）．

又∵点P′在双曲线y＝上，

∴（﹣+2）•（+2）＝k，

解得：k＝．

故答案为：．

二、解答题（本大题共3小题，共30分）

26．【解答】解：（1）y＝

（2）设甲种花卉种植为 am2，则乙种花卉种植（1200﹣a）m2．

∴，

∴200≤a≤800

当200≤a≤300时，W1＝130a+100（1200﹣a）＝30a+120000．

当a＝200 时．Wmin＝126000 元

当300＜a≤800时，W2＝80a+15000+100（1200﹣a）＝135000﹣20a．

当a＝800时，Wmin＝119000 元

∵119000＜126000

∴当a＝800时，总费用最少，最少总费用为119000元．

此时乙种花卉种植面积为1200﹣800＝400m2．

答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m2 和400m2，才能使种植总费用最少，最少总费用为119000元．

27．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，

∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，

∴BC＝，

∵∠ACB＝90°，m∥AC，

∴∠A'BC＝90°，

∴cos∠A'CB＝＝，

∴∠A'CB＝30°，

∴∠ACA'＝60°；

（2）∵M为A'B'的中点，

∴∠A'CM＝∠MA'C，

由旋转可得，∠MA'C＝∠A，

∴∠A＝∠A'CM，

∴tan∠PCB＝tan∠A＝，

∴PB＝BC＝，

∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，

∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，

∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，

∴tan∠BQC＝tan∠A＝，

∴BQ＝BC×＝2，

∴PQ＝PB+BQ＝；

（3）∵S四边形PA'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，

∴S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，

∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，

法一：（几何法）取PQ的中点G，

∵∠PCQ＝90°，

∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，

当CG最小时，PQ最小，

∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，

∴CGmin＝，PQmin＝2，

∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣；

法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，

由射影定理得：xy＝3，

∴当PQ最小时，x+y最小，

∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，

当x＝y＝时，“＝”成立，

∴PQ＝+＝2，

∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣．

28．【解答】解：（1）由题意可得，

解得a＝1，b＝﹣5，c＝5；

∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣5x+5，

（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，设对称轴交x轴于Q．

则，

∵MQ＝，

∴NQ＝2，B（，）；

∴，

解得，

∴，D（0，），

同理可求，，

∵S△BCD＝S△BCG，

∴①DG∥BC（G在BC下方），，

∴＝x2﹣5x+5，

解得，，x2＝3，

∵x＞，

∴x＝3，

∴G（3，﹣1）．

②G在BC上方时，直线G2G3与DG1关于BC对称，

∴＝，

∴＝x2﹣5x+5，

解得，，

∵x＞，

∴x＝，

∴G（，），

综上所述点G的坐标为G（3，﹣1），G（，）．

（3）由题意可知：k+m＝1，

∴m＝1﹣k，

∴yl＝kx+1﹣k，

∴kx+1﹣k＝x2﹣5x+5，

解得x1＝1，x2＝k+4，

∴B（k+4，k2+3k+1），

设AB中点为O′，

∵P点有且只有一个，

∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，

∴O′P⊥x轴，

∴P为MN的中点，

∴P（，0），

∵△AMP∽△PNB，

∴，

∴AM•BN＝PN•PM，

∴1×（k2+3k+1）＝（k+4﹣）（），

∵k＞0，

∴k＝＝﹣1+