2015年四川省成都市中考数学试卷

（考试时间：120分钟 满分150分）

A卷（共100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）

1．﹣3的倒数是（　　）

A．﹣ B． C．﹣3 D．3

2．如图所示的三视图是主视图是（　　）

A． B．

C． D．

3．今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为（　　）

A．126×104 B．1.26×105 C．1.26×106 D．1.26×107

4．下列计算正确的是（　　）

A．a2+a2＝a4 B．a2•a3＝a6

C．（﹣a2）2＝a4 D．（a+1）2＝a2+1

5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．一次函数y＝6x+1的图象不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

7．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为（　　）

A．a+b B．a﹣b C．b﹣a D．﹣a﹣b

8．关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0

9．将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）

A．y＝（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2+3 C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3

10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）

A．2， B．2，π C．， D．2，

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

11．分解因式：x2﹣9＝　 　．

12．如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝90°，则∠1＝　 　度．

13．为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是　 　小时．

14．如图，在▱ABCD中，AB＝，AD＝4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　 　．

三、解答题（本大题共6小题，共54分）

15．（12分）（1）计算：﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．

（2）解方程组：．

16．（6分）化简：（+）÷．

17．（8分）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

18．（8分）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：

（1）获得一等奖的学生人数；

（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．

19．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF＝BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．

（1）求证：△ABC≌△EBF；

（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若AB＝1，求HG•HB的值．

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）

21．比较大小：　 　．（填“＞”，“＜”或“＝”）

22．有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为　 　．

23．已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为　 　．

24．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为　 　．

25．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　 　（写出所有正确说法的序号）

①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程．

②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则4m2+5mn+n2＝0；

③若点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；

④若方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根为．

二、解答题（本大题共3小题，共30分）

26．（8分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．

（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？

（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

27．（10分）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE＝90°．

（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．

（i）求证：△CAE∽△CBF；

（ii）若BE＝1，AE＝2，求CE的长；

（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且＝＝k时，若BE＝1，AE＝2，CE＝3，求k的值；

（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设BE＝m，AE＝n，CE＝p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

28．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

参考答案与试题解析

1．【解答】解：∵﹣3×（﹣）＝1，

∴﹣3的倒数是﹣．

故选：A．

2．【解答】解：A、是左视图，错误；

B、是主视图，正确；

C、是俯视图，错误；

D、不是主视图，错误；

故选：B．

3．【解答】解：将126万用科学记数法表示为1.26×106．

故选：C．

4．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，错误；

B、a2•a3＝a5，错误；

C、（﹣a2）2＝a4，正确；

D、（a+1）2＝a2+2a+1，错误；

故选：C．

5．【解答】解：∵DE∥BC，

∴，

即，

解得：EC＝2，

故选：B．

6．【解答】解：∵一次函数y＝6x+1中k＝6＞0，b＝1＞0，

∴此函数经过一、二、三象限，

故选：D．

7．【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，

∴a﹣b＜0，

∴|a﹣b|＝﹣（a﹣b）＝b﹣a，

故选：C．

8．【解答】解：依题意列方程组

，

解得k＜1且k≠0．

故选：D．

9．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．

故选：A．

10．【解答】解：连接OB，

∵OB＝4，

∴BM＝2，

∴OM＝2，

＝＝π，

故选：D．

11．【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．

故答案为：（x+3）（x﹣3）．

12．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∵直线m∥n，

∴∠1＝∠ABC＝45°，

故答案为：45．

13．【解答】解：由统计图可知共有：8+19+10+3＝40人，中位数应为第20与第21个的平均数，

而第20个数和第21个数都是1（小时），则中位数是1小时．

故答案为1．

14．【解答】解：∵翻折后点B恰好与点C重合，

∴AE⊥BC，BE＝CE，

∵BC＝AD＝4，

∴BE＝2，

∴AE＝＝＝3．

故答案为：3．

三、解答题（本大题共6小题，共54分）

15．【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣4×+9

＝8；

（2）①+②得：4x＝4，即x＝1，

把x＝1代入①得：y＝2，

则方程组的解为．

16．【解答】解：原式＝•＝•＝．

17．【解答】解：在直角△ADB中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200m，

∴BD＝AB＝100m，

在直角△CEB中，∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝200m，

∴CE＝BC•sin42°≈200×0.67＝134m，

∴BD+CE≈100+134＝234m．

答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．

18．【解答】解：（1）∵三等奖所在扇形的圆心角为90°，

∴三等奖所占的百分比为25%，

∵三等奖为50人，

∴总人数为50÷25%＝200人，

∴一等奖的学生人数为200×（1﹣20%﹣25%﹣40%）＝30人；

（2）列表：

∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，

∴P（选中A、B）＝＝．

19．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，

得a＝﹣1+4，

解得a＝3，

∴A（1，3），

点A（1，3）代入反比例函数y＝，

得k＝3，

∴反比例函数的表达式y＝，

两个函数解析式联立列方程组得，

解得x1＝1，x2＝3，

∴点B坐标（3，1）；

（2）过点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，

∴D（3，﹣1），

设直线AD的解析式为y＝mx+n，

把A，D两点代入得，，

解得m＝﹣2，n＝5，

∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，

令y＝0，得x＝，

∴点P坐标（，0），

S△PAB＝S△ABD﹣S△PBD＝×2×2﹣×2×＝2﹣＝．

20．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，

∴∠EBF＝90°，

∵DF⊥AC，

∴∠ADF＝90°，

∴∠C+∠A＝∠A+∠AFD＝90°，

∴∠C＝∠BFE，

在△ABC与△EBF中，，

∴△ABC≌△EBF；

（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB

证明如下：∵OB＝OF，

∴∠OBF＝∠OFB，

∵∠ABC＝90°，AD＝CD，

∴BD＝CD，

∴∠C＝∠DBC，

∵∠C＝∠BFE，

∴∠DBC＝∠OBF，

∵∠CBO+∠OBF＝90°，∴∠DBC+∠CBO＝90°，

∴∠DBO＝90°，

∴BD与⊙O相切；

（3）解：如图2，连接CF，HE，

∵∠CBF＝90°，BC＝BF，

∴CF＝BF，

∵DF垂直平分AC，

∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，

∴BF＝，

∵△ABC≌△EBF，

∴BE＝AB＝1，

∴EF＝＝，

∵BH平分∠CBF，

∴，

∴EH＝FH，

∴△EHF是等腰直角三角形，

∴HF＝EF＝，

∵∠EFH＝∠HBF＝45°，∠BHF＝∠BHF，

∴△BHF∽△FHG，

∴，

∴HG•HB＝HF2＝2+．

21．【解答】解：﹣

＝

＝

∵，

∴4，

∴，

∴﹣＜0，

∴＜．

故答案为：＜．

22．【解答】解：，

由①得：x≥3，

由②得：x＜，

∵关于x的不等式组有解，

∴＞3，

解得：a＞5，

∴使关于x的不等式组有解的概率为：．

故答案为：．

23．【解答】解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，

∴OA1＝A1B1•sin30°＝2×＝1，OB1＝A1B1•cos30°＝2×＝，

∴A1（1，0）．

∵B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，

∴OA2＝＝＝3，

∴A2（3，0）．

同理可得A3（9，0）…

∴An（3n﹣1，0）．

故答案为：（3n﹣1，0）．

24．【解答】解：①当BA＝BP时，

则AB＝BP＝BC＝8，即线段BC的长为8．

②当AB＝AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE＝AB＝4，

∴BD＝DP，

在Rt△AEO中，AE＝4，AO＝5，

∴OE＝3，

∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°，

∴△AOE∽△ABD，

∴，

∴BD＝，

∴BD＝PD＝，

即PB＝，

∵AB＝AP＝8，

∴∠ABD＝∠P，

∵∠PAC＝∠ADB＝90°，

∴△ABD∽△CPA，

∴，

∴CP＝，

∴BC＝CP﹣BP＝﹣＝；

③当PA＝PB时，

如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，

则PF⊥AB，

∴AF＝FB＝4，

在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，∴OF＝3，

∴FP＝8，

∵∠PAF＝∠ABP＝∠CBG，∠AFP＝∠CGB＝90°，

∴△PFB∽△CGB，

∴，

设BG＝t，则CG＝2t，

∵∠PAF＝∠ACG，∠AFP＝∠AGC＝90°，

∴△APF∽△CAG，

∴，

∴，解得t＝，

在Rt△BCG中，BC＝t＝，

综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，

故答案为：8，，．

25．【解答】解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得：x1＝2，x2＝﹣1，

∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程，故①错误；

②∵（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，且x1＝2，x2＝﹣，

∴＝﹣1，或＝﹣4，

∴m+n＝0，4m+n＝0，

∵4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0，故②正确；

③∵点（p，q）在反比例函数y＝的图象上，

∴pq＝2，

解方程px2+3x+q＝0得：x1＝﹣，x2＝﹣，

∴x2＝2x1，故③正确；

④∵方程ax2+bx+c＝0是倍根方程，

∴设x1＝2x2，

∵相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y＝ax2+bx+c上，

∴抛物线的对称轴x＝＝＝，

∴x1+x2＝5，

∴x2+2x2＝5，

∴x2＝，故④错误．

故答案为：②③．

26．【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有

+10＝，

解得x＝120，

经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．

答：该商家购进的第一批衬衫是120件．

（2）3x＝3×120＝360，

设每件衬衫的标价y元，依题意有

（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），

解得y≥150．

答：每件衬衫的标价至少是150元．

27．【解答】（1）（i）证明：∵四边形ABCD和EFCG均为正方形，

∴，

∴∠ACB＝∠ECF＝45°，

∴∠ACE＝∠BCF，

在△CAE和△CBF中，

，

∴△CAE∽△CBF．

（ii）解：∵△CAE∽△CBF，

∴∠CAE＝∠CBF，，

又∵∠CAE+∠CBE＝90°，

∴∠CBF+∠CBE＝90°，

∴∠EBF＝90°，

又∵，AE＝2

∴，

∴，

∴EF2＝BE2+BF2＝＝3，

∴EF＝，

∵CE2＝2EF2＝6，

∴CE＝．

（2）如图②，连接BF，

∵＝＝k，

∴BC＝a，AB＝ka，FC＝b，EF＝kb，

∴AC＝，

CE＝＝，

∴，∠ACE＝∠BCF，

在△ACE和△BCF中，

，

∴△ACE∽△BCF，

∴，∠CAE＝∠CBF，

又∵AE＝2，

∴，

∴BF＝，

∵∠CAE＝∠CBF，∠CAE+∠CBE＝90°，

∴∠CBE+∠CBF＝90°，

∴∠EBF＝90°，

∴EF2＝BE2+BF2＝1，

∵，

∴＝，CE＝3，

∴EF＝，

∴1，

∴，

解得k＝±，

∵＝＝k＞0，

∴k＝．

（3）连接BF，同理可得∠EBF＝90°，过C点作CH⊥AB延长线于H，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝BC，设AB＝BC＝x，

∵∠CBH＝∠DAB＝45°，∴BH＝CH＝x，

∴AC2＝AH2+CH2＝（x+x）2+（x）2，＝（2+）x2，

∴AB2：BC2：AC2＝1：1：（2+），

同理可得EF2：FC2：EC2＝1：1：（2+），

∴EF2＝＝，

在△ACE和△BCF中，

，

∴△ACE∽△BCF，

∴＝＝2+，∠CAE＝∠CBF，

又∵AE＝n，

∴，

∵∠CAE＝∠CBF，∠CAE+∠CBE＝90°，

∴∠CBE+∠CBF＝90°，

∴∠EBF＝90°，

∴EF2＝BE2+BF2，

∴，

∴（2）m2+n2＝p2，

即m，n，p三者之间满足的等量关系是：（2）m2+n2＝p2．

28．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3

∵点A在点B的左侧，

∴A（﹣1，0），

如图1，作DF⊥x轴于F，

∴DF∥OC，

∴＝，

∵CD＝4AC，

∴＝＝4，

∵OA＝1，

∴OF＝4，

∴D点的横坐标为4，

代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得，y＝5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐标代入y＝kx+b得，

解得，

∴直线l的函数表达式为y＝ax+a．

（2）如图1，过点E作EN⊥y轴于点N

设点E（m，a（m+1）（m﹣3）），yAE＝k1x+b1，

则，

解得：，

∴yAE＝a（m﹣3）x+a（m﹣3），M（0，a（m﹣3））

∵MC＝a（m﹣3）﹣a，NE＝m

∴S△ACE＝S△ACM+S△CEM＝[a（m﹣3）﹣a]+[a（m﹣3）﹣a]m＝（m+1）[a（m﹣3）﹣a]＝（m﹣）2﹣a，

∴有最大值﹣a＝，

∴a＝﹣；

（3）令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴D（4，5a），

∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴抛物线的对称轴为x＝1，

设P1（1，m），

①若AD是矩形的一条边，

由AQ∥DP知xD﹣xP＝xA﹣xQ，可知Q点横坐标为﹣4，将x＝﹣4代入抛物线方程得Q（﹣4，21a），

m＝yD+yQ＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），

∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，

∴AD2+PD2＝AP2，

∵AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，

PD2＝（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝32+（21a）2，

∴[4﹣（﹣1）]2+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，

即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，

∴P1（1，﹣）．

②若AD是矩形的一条对角线，

则线段AD的中点坐标为（，），Q（2，﹣3a），

m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a），

∵四边形AQDP为矩形，∴∠APD＝90°，

∴AP2+PD2＝AD2，

∵AP2＝[1﹣（﹣1）]2+（8a）2＝22+（8a）2，

PD2＝（4﹣1）2+（8a﹣5a）2＝32+（3a）2，

AD2＝[4﹣（﹣1）]2+（5a）2＝52+（5a）2，

∴22+（8a）2+32+（3a）2＝52+（5a）2，

解得a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣，

∴P2（1，﹣4）．

综上可得，P点的坐标为P1（1，﹣4），P2（1，﹣）．