2019年杭州中考数学试卷（解析版）

学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________

一、单选题（共10小题）

1.计算下列各式，值最小的是（　　）

A．2×0+1﹣9 B．2+0×1﹣9 C．2+0﹣1×9 D．2+0+1﹣9

2.在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（　　）

A．m＝3，n＝2 B．m＝﹣3，n＝2 C．m＝2，n＝3 D．m＝﹣2，n＝﹣3

3.如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4.已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）

A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30

C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72

5.点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差

6.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

7.在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（　　）

A．必有一个内角等于30° B．必有一个内角等于45°

C．必有一个内角等于60° D．必有一个内角等于90°

8.已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（　　）

A．asinx+bsinx B．acosx+bcosx

C．asinx+bcosx D．acosx+bsinx

10.在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（　　）

A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝n﹣1或M＝N+2

C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1

二、填空题（共6小题）

11.因式分解：1﹣x2＝　　﹣　　　　　．

12.某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于　　　　　　．

13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于　　　cm2（结果精确到个位）．

14.在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cosC＝　　　　　　　　　　　．

15.某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式　　﹣　　．

16.如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于　　　　　　　　　　．

三、解答题（共7小题）

17.化简：﹣﹣1

圆圆的解答如下：

﹣﹣1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．

18.称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．

实际称量读数和记录数据统计表

（1）补充完成乙组数据的折线统计图．

（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为，，写出与之间的等量关系．

②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．

19.如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．

（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．

（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．

20.方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．

（1）求v关于t的函数表达式；

（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．

①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．

②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．

21.如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．

（1）求线段CE的长；

（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．

22.设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．

（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．

23.如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．

（1）若∠BAC＝60°，

①求证：OD＝OA．

②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．

（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．

2019年杭州中考数学试卷（解析版）

参考答案

一、单选题（共10小题）

1.【分析】 有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

【解答】 解：A.2×0+1﹣9＝﹣8，

B．2+0×1﹣9＝﹣7

C．2+0﹣1×9＝﹣7

D．2+0+1﹣9＝﹣6，

故选：A．

【知识点】有理数的混合运算

2.【分析】 直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．

【解答】 解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，

∴m＝﹣3，n＝2．

故选：B．

【知识点】关于x轴、y轴对称的点的坐标

3.【分析】 连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB＝PA＝3．

【解答】 解：连接OA、OB、OP，

∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

在Rt△AOP和Rt△BOP中，

，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），

∴PB＝PA＝3，

故选：B．

【知识点】切线长定理

4.【分析】 直接根据题意表示出女生人数，进而利用30位学生种树72棵，得出等式求出答案．

【解答】 解：设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：

3x+2（30﹣x）＝72．

故选：D．

【知识点】由实际问题抽象出一元一次方程

5.【分析】 利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．

【解答】 解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．

故选：B．

【知识点】中位数、方差、算术平均数、标准差

6.【分析】 先证明△ADN∽△ABM得到＝，再证明△ANE∽△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．

【解答】 解：∵DN∥BM，

∴△ADN∽△ABM，

∴＝，

∵NE∥MC，

∴△ANE∽△AMC，

∴＝，

∴＝．

故选：C．

【知识点】相似三角形的判定与性质

7.【分析】 根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C＝180°，把∠C＝∠A+∠B代入求出∠C即可．

【解答】 解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，

∴2∠C＝180°，

∴∠C＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

故选：D．

【知识点】三角形内角和定理

8.【分析】 根据直线①判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线②经过的象限即可，做出判断．

【解答】 解：A、由①可知：a＞0，b＞0．

∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；

B、由①可知：a＜0，b＞0．

∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；

C、由①可知：a＜0，b＞0．

∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；

D、由①可知：a＜0，b＜0，

∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．

故选：A．

【知识点】一次函数的图象

9.【分析】 根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．

【解答】 解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，

∴∠EAB＝x，

∴∠FBA＝x，

∵AB＝a，AD＝b，

∴FO＝FB+BO＝a•cosx+b•sinx，

故选：D．

【知识点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题、矩形的性质

10.【分析】 先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．

【解答】 解：∵y＝（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+1，

∴△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，

∴函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有2个交点，

∴M＝2，

∵函数y＝（ax+1）（bx+1）＝abx2+（a+b）x+1，

∴当ab≠0时，△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2＞0，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；

当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝（ax+1）（bx+1）＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；

综上可知，M＝N或M＝N+1．

故选：C．

【知识点】抛物线与x轴的交点

二、填空题（共6小题）

11.【分析】 根据平方差公式可以将题目中的式子进行因式分解．

【解答】 解：∵1﹣x2＝（1﹣x）（1+x），

故答案为：（1﹣x）（1+x）．

【知识点】因式分解-运用公式法

12.【分析】 直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．

【解答】 解：∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，

则这m+n个数据的平均数等于：．

故答案为：．

【知识点】加权平均数

13.【分析】 利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．

【解答】 解：这个冰淇淋外壳的侧面积＝×2π×3×12＝36π≈113（cm2）．

故答案为113．

【知识点】近似数和有效数字、圆锥的计算

14.【分析】 讨论：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值；若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，利用勾股定理计算出BC＝x，然后根据余弦的定义求cosC的值．

【解答】 解：若∠B＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；

若∠A＝90°，设AB＝x，则AC＝2x，所以BC＝＝x，所以cosC＝＝＝；

综上所述，cosC的值为或．

故答案为或．

【知识点】锐角三角函数的定义

15.【分析】 根据题意写出一个一次函数即可．

【解答】 解：设该函数的解析式为y＝kx+b，

∵函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，

∴

解得：，

所以函数的解析式为y＝﹣x+1，

故答案为：y＝﹣x+1．

【知识点】正比例函数的性质、一次函数的性质、二次函数的性质

16.【分析】 设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出＝，推出＝，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．

【解答】 解：∵四边形ABC是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，

由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，

∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，

∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，

∵△A′EP∽△D′PH，

∴＝，

∴＝，

∴x2＝4a2，

∴x＝2a或﹣2a（舍弃），

∴PA′＝PD′＝2a，

∵•a•2a＝1，

∴a＝1，

∴x＝2，

∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，

∴AD＝4+2++1＝5+3，

∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．

故答案为2（5+3）

【知识点】翻折变换（折叠问题）、矩形的性质

三、解答题（共7小题）

17.【分析】 直接将分式进行通分，进而化简得出答案．

【解答】 解：圆圆的解答错误，

正确解法：﹣﹣1

＝﹣﹣

＝

＝

＝﹣．

【知识点】分式的加减法

18.【分析】 （1）利用描点法画出折线图即可．

（2）利用方差公式计算即可判断．

【解答】 解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：

（2）①＝50+．

②S甲2＝S乙2．

理由：∵S甲2＝[（48﹣50）2+（52﹣50）2+（47﹣50）2+（49﹣50）2+（54﹣50）2]＝6.8．

S乙2＝[（﹣2﹣0）2+（2﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（4﹣0）2]＝6.8，

∴S甲2＝S乙2．

【知识点】方差、算术平均数、折线统计图

19.【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质可知PA＝PB，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠BAP，根据三角形的外角性质即可证得APC＝2∠B；

（2）根据题意可知BA＝BQ，根据等腰三角形的性质可得∠BAQ＝∠BQA，再根据三角形的内角和公式即可解答．

【解答】 解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，

∴PA＝PB，

∴∠B＝∠BAP，

∵∠APC＝∠B+∠BAP，

∴∠APC＝2∠B；

（2）根据题意可知BA＝BQ，

∴∠BAQ＝∠BQA，

∵∠AQC＝3∠B，∠AQC＝∠B+∠BAQ，

∴∠BQA＝2∠B，

∵∠BAQ+∠BQA+∠B＝180°，

∴5∠B＝180°，

∴∠B＝36°．

【知识点】等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质

20.【分析】 （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；

（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；

②8点至11点30分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．

【解答】 解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，

∴v关于t的函数表达式为：v＝，（0≤t≤4）．

（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时

将t＝6代入v＝得v＝80；将t＝代入v＝得v＝100．

∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．

②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下：

8点至11点30分时间长为小时，将t＝代入v＝得v＝＞120千米/小时，超速了．

故方方不能在当天11点30分前到达B地．

【知识点】反比例函数的应用

21.【分析】 （1）设出正方形CEFG的边长，然后根据S1＝S2，即可求得线段CE的长；

（2）根据（1）中的结果可以题目中的条件，可以分别计算出HD和HG的长，即可证明结论成立．

【解答】 解：（1）设正方形CEFG的边长为a，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴DE＝1﹣a，

∵S1＝S2，

∴a2＝1×（1﹣a），

解得，（舍去），，

即线段CE的长是；

（2）证明：∵点H为BC边的中点，BC＝1，

∴CH＝0.5，

∴DH＝＝，

∵CH＝0.5，CG＝，

∴HG＝，

∴HD＝HG．

【知识点】正方形的性质、矩形的性质

22.【分析】 （1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解；

（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；

（3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[﹣][﹣]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0≤﹣≤，0≤﹣≤，即可求解．

【解答】 解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；

∴二次函数经过点（0，0），（1，0），

∴x1＝0，x2＝1，

∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，

当x＝时，y＝﹣，

∴乙说点的不对；

（2）对称轴为x＝，

当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；

（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，

∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，

∴mn＝[﹣][﹣]

∵0＜x1＜x2＜1，

∴0≤﹣≤，0≤﹣≤，

∴0＜mn＜．

【知识点】二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质

23.【分析】 （1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；

（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．

【解答】 解：（1）①连接OB、OC，

则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，

∴∠OBC＝30°，

∴OD＝OB＝OA；

②∵BC长度为定值，

∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，

当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，

△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OBsin60°×＝；

（2）如图2，连接OC，

设：∠OED＝x，

则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，

则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，

∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，

∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，

∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，

即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，

化简得：m﹣n+2＝0．

【知识点】圆的综合题