基本初等函数的实际应用

——从鱼的体长参数中估计鱼的重量

广州市花都区秀全中学 崔高峰 曾绍信

[摘要]：多项式函数和指数函数是高中出现频率很高的函数，我们经常进行这些函数的有关计算，却很少考虑这些函数在生活中的实际应用。本文尝试利用这些基本初等函数建立数学模型来解决一个比较有兴趣的实际问题。衡量一个数学模型的优劣全在于它的应用效果，而不在乎它是不是采用了多么高深的数学知识方法。本文建立了五种不同数学模型，比较了不同模型估计鱼的体重与实际重量情况的误差，并进一步推广，用类比法建立某些动物身长和体重关系的模型。

[关键字] 体重、 拟合、 估计

相信大家都看过鱼，鱼的形状不规则，我们能不能考虑用鱼身体的某些长度参数来估计鱼的体重呢？众所周知鱼的身长越长，鱼的重量也会越重。现在我们建立适当的模型研究鱼的重量与鱼的体长参数之间的数学关系。本文将从分析如何根据鱼的身长和胸围长度来估计鱼的体重的方法出发，进而研究动物的身长和体重的关系。

我们测量到11条的数据，如下表所示：

有了数据之后，我们想建立数学模型研究这个问题，先做如下假设：只有一种鱼，同一种鱼整体形状是相似的，密度是均匀的。

模型的建立

这个初等数学模型中的主要符号说明如下所示：

y——鱼的体重；

x——鱼的身长；

t——鱼的胸围，即鱼的最大周长（这里取鱼的胸围）；

a，b，c，d——前四种函数模型中的系数；

k ———第五种数学模型中的系数；

由高等数学数据拟合的知识可知：对单变量多项式拟合一般不超过3次。故此处考虑如下五中模型：

假设鱼的体重只与体长x有关，我们可以采用多项式和指数函数拟合一下四种数学模型。

1.建立的关于体长x的单变量模型:

一次函数模型：；

二次函数模型：即；

三次函数模型：即；

指数型函数模型：即；

通常有一些鱼是很胖的，生活的直觉告诉我们鱼的重量也应该与鱼的横截面有关，所以人们就不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。假设鱼的模截面是相似的，而横截面积与鱼的胸围的平方成正比，于是我们可以得到如下模型：

2.二元函数模型为：即，为比例系数。

模型拟合求解：

用casio图形计算器的统计功能拟合前四种模型，输入数据得到如下表格

然后进行回归操作可以得到如下图像

借助casio图形计算器计算相关平均值为： =790.7580 , =24.94545 , =37.18545,

将上述数据代入计算得：≈0.03217336

为了方便集中模型的对比，我们分别是用上面五种回归方程，根据每条鱼的长度和胸围计算出每条鱼体重的估计值，并求出残差的绝对值的和，可以得到如下表格：

结论：

由上表格可以看出：五种模型的平均误差分别为：8.478%，8.317%，8.588%，5.379%,4.851%。结果表明，第五种数据估计模型与实际情况的误情况的误差控制在5%以下，估计体重与真是体重最接近，与实际最相符。前几种数据估计模型多项式函数拟合和指数函数拟合，只是简单的认为重量y与身长x相关，提出的鱼的整体形状是相似的、密度也大体上相同的假设与实际情况相差太远，不适合实际应用。第五种数据估计模型中认为鱼的重量不但与鱼的长度相关，还与鱼的横截面相关，这种建模方法更符合实际情况，模型的计算结果也表明它与实际情况的误差更小。现实生活中在要求不是很严格的情况下，用鱼的体长参数估计出鱼的重量还是可以行的，我们可选用来建立数学模型。

进一步探究：

这个模型中把鱼的躯干类比作弹性梁实属一个大胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检验。不妨我们更大胆一点，把鱼的躯干长度与体重的关系看成已经有确切研究成果的弹性梁在自重下绕曲问题的作法，是值得考虑的。

第二种数据估计模型可推广到四足动物的长度（不含头尾）与它的体重的关系。动物的生理构造因种类不同而异，如果馅入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到有使用价值的模型。这里我们仅在十分粗略的假设基础上，利用类比法，借助高等物理中关于弹性梁的有关结果，建立动物身长和体重间的比例关系。

把四足动物的躯干看作圆柱体，长度了l、直径d、截断面积s，如图1所示。将这圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。

假设动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度为b，即梁的最大弯曲，根据对弹性梁的研究，记作：；因为f与sl成正比，记作：；所以。

b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将无法支撑；b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。因此从生物学的角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言b/l已经达到其最合适的数值，换句话说，b/l应视为与这种动物的尺寸无关的常数，而，所以与成正比，记作：；S与成正比，记作：所以可以做如下推导：则f与成正比，即体重与躯干长度的4次方成正比，这样对于某一种四足动物，在根据统计数据确定出上述比例系数后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。

参考文献：

[1]姜启源、谢金星、叶俊，数学模型，高等教育出版社，北京，2003 .

[2] 史艺农,工程力学，西安电子科技大学出版社，2006

[3]赵东方，数学模型与计算，科学出版社，2007

[4] F.R.Giordano,W.P.Fox,S.B.Horton, M.D.Weir:数学建模 机械工业出版社, 2011.