华中师大一附中2020年自主招生(分配生)

数学试题

考试时间：90分钟 卷面满分：100分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效，其中，将所有选择题答案用2B铅笔也相应位置涂黑。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）

1．在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：

①a2﹣a﹣2＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a+b）（b+c）（c+a）＞0；

④|a|＜1﹣bc．其中正确的结论有（　　）个

A．4 B．3 C．2 D．1

2．已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C＝90°，我们把关于x的形如y＝x+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点P（﹣1，）在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是（　　）

A．2 B．24 C．2 D．12

3．5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：

根据该统计图，下列说法错误的是（　　）

A．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多

B．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小

C．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量

D．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量

4．已知函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是﹣，则m的取值范围是（　　）

A．m≥﹣2 B．0≤m≤ C．﹣2≤m≤﹣ D．m≤﹣

5．如图，△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A'OB'处，此时线段A'B'与BO的交点E为BO的中点，则线段B'E的长度为（　　）

A．3 B． C． D．

第5题图 第6题图

6．如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN＝y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是（　　）

A．24 B．20 C．12 D．10

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

7．2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为________．

8．在△ABC中，AB＝AC，若cosA＝，则＝________．

9．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是________．(结果用m，n表示)

10．如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG(图中阴影部分)的面积为6，则五边形ABDEF的面积为________．

第10题图 第11题图 第12题图

11．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点E、F分别是边AB、BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为________．

12．如图，点A是反比例函数bc4250140fa46f91db1735de39bfdada.png的图象上位于第一象限的点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线交于点C，与反比例函数的图象交于点D，若直线AD垂直OC，且使得AC=2OA，则sinC＝________．

三、解答题(本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程)

13．(本小题满分12分)(1)已知关于x的方程x2﹣(2k﹣1)x+k2＝0有两个实根x1，x2，且满足x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，求实数k的值；

（2）已知a＜b＜0，且+＝6，求98274b81539a614add65cab774bd97ed.png的值．

14.(本小题满分14分)如图，在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，2c87fbec1beab0010f6c8dd2a049542f.png，bc7c405cec747c5fe9d8496d68881ec1.png，以b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png为直径的半圆f186217753c37b9b9f958d906208506e.png交4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png于点f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png，点E是弧BD上不与点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，f623e75af30e62bbd73d6df5b50bb7b5.png重合的任意一点，连接ea8a1a99f6c94c275a58dcd78f418c1f.png交87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png于点800618943025315f869e4e1f09471012.png，连接d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png并延长交4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png于点dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png．

（1）求证：2c41e554f76fd7e5bbcf4b56b2fbb8dd.png；

（2）取弧AE的中点c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png，若四边形118328c845931f87189986d8763bc282.png为菱形，求c09a3c184f561fb4aaa955ce38316493.png的大小；

（3）若c35e42752132cf7a443d853ea352cc3b.png，且点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png是弧BD上靠近点B的一个三等分点，求线段DG的长．

15．(本小题满分12分)习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：

(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？

(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：y＝，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)

16．(本小题满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点A坐标为(﹣1，0)，点C坐标为(0，)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．

(1)求a，c的值；

(2)求线段DE的长度；

(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？

华中师大一附中2020年自主招生(分配生)数学试题

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的)

1．解：根据题意得：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1，则①a2﹣a﹣2＝(a﹣2)(a+1)＞0；

②∵|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣a+b﹣b+c＝﹣a+c，|a﹣c|＝﹣a+c，

∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；

③∵a+b＜0，b+c＞0，c+a＜0，∴(a+b)(b+c)(c+a)＞0；

④∵|a|＞1，1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．

2．解：∵点P(﹣1，)在“勾股一次函数”y＝x+的图象上，

∴＝﹣+的一次函数，即a﹣b＝﹣c，

又∵a，b，c分别是Rt△ABC的三条变长，∠C＝90°，Rt△ABC的面积是4，

∴ab＝4，即ab＝8，又∵a2+b2＝c2，∴(a﹣b)2+2ab＝c2，

∴(﹣c)2+2×8＝c2，解得c＝2，故选：A．

3．解：对于A，由柱状图可得5月份出货量最高，故A正确；

对于B，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B正确；

对于C，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C正确；

对于D，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1﹣14.7%)＝3569.05，

8月出货量为：3087.5÷(1﹣5.3%)＝3260.3，

因为3260.3＜3569.05，故12月更高，故D错误．故选：D．

4．解：∵函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝﹣，

∴当x＝﹣时，y有最小值，此时y＝﹣﹣1＝﹣，

∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最小值是﹣，∴m≤﹣；

∵当x＝1时，y＝1+1﹣1＝1，对称轴为直线x＝﹣，

∴当x＝﹣﹣[1﹣(﹣)]＝﹣2时，y＝1，

∵函数y＝x2+x﹣1在m≤x≤1上的最大值是1，且m≤﹣；

∴﹣2≤m≤﹣．故选：C．

5．解：∵∠AOB＝90°，AO＝4，BO＝8，

∴AB＝＝＝4，

∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，

∴AO＝A′O＝4，A′B′＝AB＝4，

∵点E为BO的中点，∴OE＝BO＝×8＝4，

∴OE＝A′O＝4，过点O作OF⊥A′B′于F，

S△A′OB′＝×4•OF＝×4×8，解得OF＝，

在Rt△EOF中，EF＝＝＝，

∵OE＝A′O，OF⊥A′B′，∴A′E＝2EF＝2×＝，

∴B′E＝A′B′﹣A′E＝4﹣＝；故选：B．

6．解：由图2知：AB+BC＝10，设AB＝m，则BC＝10﹣m，

如图所示，当点M在BC上时，则AB＝m，BM＝x﹣m，MC＝10﹣x，NC＝y，

∵MN⊥AM，则∠MAB＝∠NMC，tan∠MAB＝tan∠NMC，即，

即，化简得：y＝﹣a05f43fbaf8836773fddd77d17d87b27.png+x﹣10，

当x＝﹣＝时，y＝﹣7d8593ce7e576318e01c8717721f396d.png+·﹣10＝6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png，

解得：m＝6，则AM＝6，BC＝4，故ABCD的面积＝24，故选：A．

二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)

7．解：根据题意画图如下：

共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，

则最后确定的主持人是一男一女的概率为＝．故答案为：．

8．解：过B点作BD⊥AC于点D，

∵cosA＝，∴，

设AD＝4x，则AB＝5x，∴，

∵AB＝AC，∴AC＝5x，∴CD＝5x﹣4x＝x，

∴BC＝，∴，故答案为：．

9．解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m﹣n，

∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度

＝2020m﹣2019(m﹣n)＝m+2019n，故答案为：m+2019n．

10．解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，

∵ABCDEF正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，

∠F＝∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°

∵△BDG是等边三角形，

∴BG＝DG＝BD，∠GBD＝∠GDB＝60°，

又CG＝CG，∴△BCG≌△DCG（SSS），

∵∠GBC＝∠DBC＝60°﹣30°＝30°，

∴△GBC≌△DBC（SAS），∴S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝3，∴S△AEF＝3，

设CH＝x，则BC＝CG＝2x，BH2f3df14099a1eec64ee963f21e0681b7.pngx，∴BD＝291a24814efa2661939c57367281c819c.pngx，∴93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngCG•BH＝3，

即467875d5ab5f12b009ca07e273e9d190.png2xd788192f85154e1d84a44f6170c955ce.pngx＝3，∴91a24814efa2661939c57367281c819c.pngx2＝3，∴S四边形ABDE＝AB•BD＝2x•291a24814efa2661939c57367281c819c.pngx＝491a24814efa2661939c57367281c819c.pngx2＝12，

∴五边形ABDEF的面积为：3+12＝15．

11．解：如图，作AH⊥CD于H．

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB∥CD，

∴∠D+∠BAD＝180°，∴∠D＝60°，

∵AD＝AB＝4，∴AH＝AD•sin60°18ec403051a306eae639ece5f3c481e1.png，

∵B，B′关于EF对称，∴BE＝EB′，

当BE的值最小时，AE的值最大，

根据垂线段最短可知，当EB′e448268ceddff90689a915752d933c55.png时，BE的值最小，

∴AE的最大值＝4b98d5cbde65d355e482b7e7e305f484b.png，故答案为4b98d5cbde65d355e482b7e7e305f484b.png．

12．解：如图，作AE⊥BC于点E，

设A（0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，b），则C（30cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，3b），∴OB＝30cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，BC＝3b，

∴D（30cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.pngb），∴AE77f9bd9172356e6cce00836e79be2e3c.png，CE02ae70af6c75edc4ec767dbf3e11ba46.png，DE83bbbb03eb72b7346cc2acf88d1eb5d5.pngb，

又∵AD⊥AC，∴3cdde717c779f3b3e1a9e0053948d789.pngCE·DE，∴f0bc31a0e7f5bcd63255b3eb1acb378d.png＝2b·30f175b589e4670d9d4fa7955245d22e.png，∴b00d43731e09e0e7d952bfe69a02bf98.png＝38392ce1424aec217c960646e7f34f2ac.png，

又∵Rt△BOC中，OCaf01be2bab0465793f4258834e30afe4.png3ac4d15f10df629b094516c78b96031cf.png，

∴sinCc611ec37bfee2a171c14ab8e4fc36ea1.png．故答案为：93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png．

三、解答题(本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程)

13．解：（1）根据题意得△＝(2k﹣1)2﹣4k2≥0，解得k≤；

（2）x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2，

∵k≤，∴x1+x2＝2k﹣1≤0，而x1x2＝k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，

∵x1x2﹣|x1|﹣|x2|＝2，∴x1•x2+x1+x2＝2，即k2+(2k﹣1)＝2，

整理得k2+2k﹣3＝0，解得k1＝﹣3，k2＝1，而k≤，∴k＝﹣3；

（3）∵+＝6，∴a2+b2＝6ab，∴(a+b)2＝8ab，

∴(b﹣a)2＝(a+b)2﹣4ab＝4ab，∴()2＝＝2，∴＝±，

∵a＜b＜0，∴a+b＜0，b﹣a＞0，∴＜0，∴＝﹣，∴()3＝﹣2．

答：()3的值为﹣2．

14．解：（1）证明：如图1，2ef0b66e01e78336e6f473b76da20e0f.png，bc7c405cec747c5fe9d8496d68881ec1.png，aaeafc25358a738636012607e244c2de.png

∵AB是⊙O的直径，9902166cf9097cc4b6e9539250667cc8.png，b62d9c98e8a941950b6e5e6eaeca5a67.png，

8d57d26cbd5a515966bd06acf7649338.png，058b1e430dd27ee037b7e9aae6445a53.png，

0d2cfecc086981dcc782a296fb3b2d75.png，f6cfdc602763c207d30368ab6139e3c0.png，dab4280cd442f4b1b8d10e654e7d4e57.png，9945a135f1d2c6e92206af6cd042fbb4.png；

（2）连接ec947a7cc943c84b1ef84958a7df827c.png，088a2013906137902c9832d2f5a3a940.png，f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png点c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png是弧AE的中点，a42edccf83fdf5f857af817f5cb7a9bc.png，ac71a67ca31797db9b77b9940573fff2.png，acb51d63aa369615af3a413495c88866.png，

4b65b57b556d9dcb1cc8378e2058432d.png，f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png四边形118328c845931f87189986d8763bc282.png为菱形，2f4d2561a078cdfdc022467c74b22227.png，

4cbfc70d1842e7a2bb22be2a0d35878c.png，3b1e1895db64e897ba30b2b91481bb88.png．

（3）如图2，连接OD、OE，

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png点E是弧BD上靠近点B的三等分点，∴∠DOE＝6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png∠DOB，

由(1)知△ADB是等腰直角三角形，∴∠DOB＝2∠DAB＝90°，

∴∠DOE＝60°，∴∠DBE＝30°，∴DG＝BD·tan30°，

又∵AB＝4，∴BD＝44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png，∴DG＝44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png×227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png＝55662cea60e6f3f130f5bcc397652263.png．

15．解：（1）设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．

依题意得：，解得6≤x≤9.17，

∵x为整数，∴x＝6，7，8，9有四种方案；

设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：y＝1.5x+2.1（20﹣x）＝﹣0.6x+42，

∵﹣0.6＜0，∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），

∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；

（2）由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），

当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，

∵0，故有最小值，

当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），

当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，

当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），

∵240＜250，故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，

∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，

∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），

故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．

16．解：（1）将A(﹣1，0)，C(0，)代入抛物线y＝ax2+x+c(a≠0)，

，∴a＝﹣，c＝

（2）由(1)得抛物线解析式：y＝﹣x2+x+，

∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C(0，)，∴D(2，)，∴DH＝，

令y＝0，即﹣x2+x+＝0，得x1＝﹣1，x2＝3，∴A(﹣1，0)，B(3，0)，

∵AE⊥AC，EH⊥AH，∴△ACO∽△EAH，

∴，即，解得：EH＝2，则DE＝2；

（3）找点C关于DE的对称点N(4，)，找点C关于AE的对称点G(﹣2，﹣)，

连接GN，交AE于点F，交DE于点P，

即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，

∴直线GN的解析式：y＝x﹣，

由(2)得E(2，﹣)，A(﹣1，0)，

∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，

联立解得，

∴F(0，﹣)，

∵DH⊥x轴，

∴将x＝2代入直线GN的解析式：y＝x﹣，∴P(2，)

∴F(0，﹣)与P(2，)的水平距离为2

过点M作y轴的平行线交FP于点Q，

设点M(m，﹣m2+m+)，

则Q(m，m﹣)(＜m＜)；

∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝(﹣m2+m+)﹣(m﹣)，

S△MFP＝＝

∵对称轴为：直线m＝，

又∵开口向下，＜m＜，

∴m＝时，△MPF面积有最大值为.