模块综合测试
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列有关坐标系的说法,错误的是( )
A.在直角坐标系中,通过伸缩变换圆可以变成椭圆
B.在直角坐标系中,平移变换不会改变图形的形状和大小
C.任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程
D.同一条曲线可以有不同的参数方程
解析: 直角坐标系是最基本的坐标系,在直角坐标系中,伸缩变形可以改变图形的形状,但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到,例如圆可以变成椭圆;而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置;对于参数方程,有些比较复杂的是不能化成普通方程的,同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程.
答案: C
2.把函数y=sin2x的图象经过________变化,可以得到函数y=sinx的图象.( )
A.横坐标缩短为原来的倍,纵坐标伸长为原来的2倍
B.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的2倍
C.横坐标缩短为原来的倍,纵坐标缩短为原来的倍
D.横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标缩短为原来的
解析: 本题主要考查直角坐标系的伸缩变换,根据变换的方法和步骤可知,把函数y=sin2x的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y=sinx的图象,再把纵坐标缩短为原来的,得到y=sinx的图象.
答案: D
3.极坐标方程ρ2-ρ(2+sinθ)+2sinθ=0表示的图形是( )
A.一个圆与一条直线 B.一个圆
C.两个圆 D.两条直线
解析: 所给方程可以化为(ρ-2)(ρ-sinθ)=0,即ρ=2或ρ=sinθ.化成直角坐标方程分别为x2+y2=4和x2+y2-y=0,可知分别表示两个圆.
答案: C
4.在极坐标系中,如果一个圆方程是ρ=4cosθ+6sinθ,那么过圆心且与极轴平行的直线方程是( )
A.ρsinθ=3 B.ρsinθ=-3
C.ρcosθ=2 D.ρcosθ=-2
答案: A
5.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A.y=x-2 B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3) D.y=x+2(0≤y≤1)
解析: 由知x=2+y(2≤x≤3)
所以y=x-2 (2≤x≤3).
答案: C
6.经过点M(1,5)且倾斜角为的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是( )
A. B.
C. D.
解析: 根据直线参数方程的定义,易得,
即.
答案: D
7.x2+y2=1经过伸缩变换,后所得图形的焦距( )
A.4 B.2
C.2 D.6
解析: 变换后方程变为:+=1,
故c2=a2-b2=9-4=5,c=,
所以焦距为2.
答案: C
8.已知直线(t为参数)与圆x2+y2=8相交于B、C两点,则|BC|的值为( )
A.2 B.
C.7 D.
解析: ⇒
(t′为参数).
代入x2+y2=8,得t′2-3t′-3=0,
∴|BC|=|t′1-t′2|=
==,故选B.
答案: B
9.已知P点的柱坐标是,点Q的球面坐标为,根据空间坐标系中两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)之间的距离公式|AB|=,可知P、Q之间的距离为( )
A. B.
C. D.
解析: 首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系,把P点的柱坐标转化为空间直角坐标(,,1),再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q点的球坐标转化为空间直角坐标,代入两点之间的距离公式即可得到距离为.
答案: B
10.如果直线ρ=与直线l关于极轴对称,则直线l的极坐标方程是( )
A.ρ= B.ρ=
C.ρ= D.ρ=
解析: 由ρ=知ρcosθ+2ρsinθ=1,
∴x+2y=1.
答案: C
11.圆心在原点,半径为2的圆的渐开线的参数方程是( )
A. (φ为参数)
B. (θ为参数)
C. (φ为参数)
D. (θ为参数)
解析: 圆心在原点,半径为2的圆的渐开线的参数方程为
答案: A
12.如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点.若点P(x,y)、点P′(x′,y′)满足x≤x′,且y≥y′,则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足:不存在Ω中的其他点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
A. B.
C. D.
解析: ∵x≤x′且y≥y′,
∴点P(x,y)在点P′(x′,y′)的左上方.
∵Ω中不存在优于Q的点,
∴点Q组成的集合是劣弧,故选D.
答案: D
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把正确答案填在题中横线上)
13.已知直线的极坐标方程为ρsin=,则极点到该直线的距离是________
解析: 对于求一点到一条直线的距离问题,我们联想到的是直角坐标系中的距离公式,因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法,这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程.极点的直角坐标为O(0,0),ρsin=ρ=,
∴ρsinθ+ρcosθ=1,化为直角坐标方程为x+y-1=0.
∴点O(0,0)到直线x+y-1=0的距离为d==,
即极点到直线ρsin=的距离为.
答案:
14.直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切,则此直线的倾斜角α=________.
解析: 直线:y=x·tanα,圆:(x-4)2+y2=4,如图,sinα==,
∴α=或π.
答案: 或π.
15.已知直线l的参数方程(t为参数),若以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2sin.则圆的直角坐标方程为__________,直线l和圆C的位置关系为__________(填相交、相切、相离).
解析: (1)消去参数t,得直线l的普通方程为y=2x+1.ρ=2sin即ρ=2(sinθ+cosθ),两边同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),消去参数θ,得⊙C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
(2)圆心C到直线l的距离d==<,
所以直线l和⊙C相交.
答案: (x-1)2+(y-1)2=2;相交
16.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(参数t∈R),圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π]),则圆C的圆心坐标为______,圆心到直线l的距离为______.
解析: 直线和圆的方程分别是x+y-6=0,x2+(y-2)2=22,所以圆心为(0,2),其到直线的距离为d==2.
答案: (0,2) 2
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)(1)化ρ=cosθ-2sinθ.为直角坐标形式并说明曲线的形状;
(2)化曲线F的直角坐标方程:x2+y2-5-5x=0为极坐标方程.
解析: (1)ρ=cosθ-2sinθ两边同乘以ρ得
ρ2=ρcosθ-2ρsinθ
∴x2+y2=x-2y
即x2+y2-x+2y=0
即2+(y+1)2=2
表示的是以为圆心,半径为的圆.
(2)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得
x2+y2-5-5x=0的极坐标方程为:
ρ2-5ρ-5ρcosθ=0.
18.(12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径为1.Q点在圆周上运动,O为极点.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若P在直线OQ上运动,且满足=,求动点P的轨迹方程.
解析: (1)设M(ρ,θ)为圆C上任意一点,
如图,在△OCM中,|OC|=3,|OM|=ρ,|CM|=1,∠COM=,
根据余弦定理,
得1=ρ2+9-2·ρ·3·cos,化简整理,得ρ2-6·
ρcos+8=0为圆C的轨迹方程.
(2)设Q(ρ1,θ1),
则有ρ-6·ρ1cos+8=0①
设P(ρ,θ),则OQ∶QP=ρ1∶(ρ-ρ1)
=2∶3⇒ρ1=ρ,
又θ1=θ,即
代入①得ρ2-6·ρcos(θ-)+8=0,
整理得ρ2-15ρcos+50=0为P点的轨迹方程.
19.(12分)已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=,点F1,F2为其左,右焦点,直线l的参数方程为(t为参数,t∈R).
(1)求直线l和曲线C的普通方程;
(2)求点F1,F2到直线l的距离之和.
解析: (1)直线l的普通方程为y=x-2;
曲线C的普通方程为+=1.
(2)∵F1(-1,0),F2(1,0),
∴点F1到直线l的距离d1==.
点F2到直线l的距离d2==,
∴d1+d2=2.
20.(12分)已知直线l过点P(2,0),斜率为,直线l与抛物线y2=2x相交于A,B两点,设线段AB的中点为M.
(1)求P、M两点间的距离;
(2)求M点的坐标;
(3)求线段AB的长|AB|.
解析: (1)∵直线l过点P(2,0),斜率为,
设倾斜角为α,tanα=,cosα=,sinα=,
∴直线l的参数方程为(t为参数),
∵直线l与抛物线相交,把直线l的参数方程代入抛物线方程y2=2x,整理得8t2-15t-50=0,设这个方程的两个根为t1、t2,则t1+t2=,t1·t2=-.
由M为线段AB的中点,根据t的几何意义,
得|PM|==.
(2)由(1)知,中点M所对参数为tM=,
代入直线的参数方程,M点的坐标为,
即M.
(3)由参数t的几何意义,
|AB|=|t2-t1|==.
21.(12分)如图,自双曲线x2-y2=1上一动点Q引直线l:x+y=2的垂线,垂足为N,求线段QN中点P的轨迹方程.
解析: 设点Q的坐标为(secφ,tanφ),(φ为参数).
∵QN⊥l,
∴可设直线QN的方程为x-y=λ ①
将点Q的坐标代入①得:λ=secφ-tanφ
所以线段QN的方程为x-y=secφ-tnaφ ②
又直线l的方程为x+y=2. ③
由②③解得点N的横坐标xN=
设线段QN中点P的坐标为(x,y),
则x==, ④
4×④-②得
3x+y-2=2secφ. ⑤
4×④-3×②得
x+3y-2=2tanφ. ⑥
⑤2-⑥2化简即得所求的轨迹方程为
2x2-2y2-2x+2y-1=0.
22.(14分)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上且长轴长为4,短轴长为2,直线l的参数方程为(t为参数).当m为何值时,直线l被椭圆截得的弦长为?
解析: 椭圆方程为+x2=1,化直线参数方程
为(t′为参数).
代入椭圆方程得
(m+t′)2+42=4⇔8t′2+4mt′+5m2-20=0
当Δ=80m2-160m2+640=640-80m2>0,
即-2<m<2.
方程有两不等实根t′1,t′2,
则弦长为|t′1-t′2|==
依题意知==,
解得m=±.
¥29.8
¥9.9
¥59.8