第二章 波函数和薛定谔方程

证明在定态中，几率流密度与时间无关。

[证]：在定态中，波函数可写成：

并由此有：

代入几率流密度的定义式

则有：

即 仅是空间坐标的函数，与时间无关。

由下列两定态波函数计算几率流密度。

（1） （2）

从所得结果说明表示向外传播的球面波，表示向内（即向原点）传播的球面波。

[解] 因 ，

则

所以

上述结果说明的方向沿矢经的方向，即几率沿方向向外流动，所以表示向外传播的球面波。

（2） 与（1）类似，求得

此结果表明的方向沿矢经的负方向，即几率流流向原点，所以表示向内传播的球面波。

一粒子在一维势场

中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

[解]：由于势函数不随时间变化

体系的状态波函数满足定态Schrdinger方程

其中表示粒子的质量。

令 （1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

当 时，，由（4）式和（5）式有

（7）

根据波函数的连续性，（6）式和（7）式所表示的波函数分别在和处连续：

由此得

代入（1）式中的第一式，可得体系的能量：

即粒子在势阱中运动的能量只能取分立值，对应的波函数：

由波函数的归一化条件，求得

证明（—14）式中的归一化常数

[证] 已知（—14）式的形式

由波函数的归一化条件 ，有：

所以

求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置

[解] 由谐振子状态波函数

得到振子在点处出现的几率密度

当时，

由 有， or

即振子处在第一激发态时几率最大的位置

在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，试证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

[证]：由于势函数与时间无关，粒子的波函数满足定态Schrdinger方程：

（1）

其中是粒子的质量。将空间反演：

（2）

因为

所以（2）式可以写成

（3）

因而，和都是体系哈密顿算符本征方程属于同一本征值的解，描写同一个状态，它们之间只可能相差一常数

引入空间反演算符，写成：

空间再反演一次，有

写成：

则有 或

所以 （对称的，即具有偶宇称）

（反对称的，即具有奇宇称）

由此证得在一维势场中运动的粒子，当时，粒子的波函数具有确定宇称。

一粒子在一维势阱

运动，求束缚态（）的能级所满足的方程

[解] 因与时间无关，体系的波函数满足定态Schrdinger方程：

即

令

在 的情况下，，均为实数。以上方程可简写成

方程的解为：

由波函数及其一阶微商，在，处连续，即

： （1）

： （2）

： （3）

： （4）

由（1）、（3）两式，可得 （5）

由（2）、（4）两式，可得 （6）

比较（5）式和（6）式，

将 分别代入（5）式（或（6）式）

（7）

（8）

将、值代入（7）式和（8）式，则得到能量所满足的方程

（9）

（10）

由此可见，体系的能量值由超越方程（7）和（8）（或（9）和（10））解出，它们可以用如下图解法求解，令

（11）

（12）

能级，就可以由以下曲线交点（如果有的话）获得，即分别求曲线方程组：

或

在，区域内的交点，如下图所示：

从图可以看到，束缚态的数目随园的半径增加而增加，即随乘积（“势阱参量”）的增加而增加，如果是有限的，则束缚态的数目也是有限的。

如果，则束缚态的数目是个

[附]

求对应的本征波函数，为此将代入（1）、（2）式，有

所以得到一组解

（13）

同理，将代入（1）、（2）式，有，于是得到另一组解

（14）

第一组解是奇函数，第二组解是偶函数，因而体系的波函数具有确定宇称。这正是势场所导致的必然结果。奇宇称解（13）对应由（7）式或（9）式确定的能 量，偶宇称解（14）对应由（8）式或（10）确定的能量。

、为归一化常数，由归一化条件确定。

分子间的范德瓦尔斯力所产生的势能可以近似地表示

求束缚态的能级所满足的方程。

[解]：由于势函数不显含时间，因而，体系的波函数满足Schrdinger方程

代入势函数的形式，则

考虑的情形，令

，，

于是上述的微分方程组对写成

求解以上方程，并考虑到在的区域内粒子出现的几率密度为零以及在，粒子出现的几率为限值，于是粒子体系的波函数为

利用及的连续性。

不全为零的条件是：

or

在的情况下，体系处在非束缚状态，可以运动到无穷远处，因此体系的能量可以取大于零的任意连续值。