华中师大一附中2017年高中招生考试

数学试题

考试时间：80分钟 卷面满分：150分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．

一、选择题 (本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)

1．实数a，b，c在数轴上对应的点如右图所示，化简代数式word/media/image2.gif－word/media/image3.gif的结果为( )

A．2b－c－1 B．－1 C．2a－c－1 D．b－c＋1

2．已知点A，B分别是双曲线y=word/media/image4.gif和直线y=－x上任意一点，则AB的最小值为( )

A．2 B．4word/media/image6.gif C．4 D．2word/media/image6.gif

3．如图，反比例函数y=word/media/image7.gif (k为非零常数)的图象经过二次函数

y=ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)的图象的顶点(－word/media/image8.gif，m) (m>0)

则( )

A．a=b＋2k B．a=b－2k

C．k＜b＜0 D．a＜k＜0

4．若实数a，b满足a2＋b2=4，则word/media/image9.gif＋word/media/image10.gif=( )

A．－2 B．0 C．2 D．4

5．已知y=f(x)满足： (1)f(1)=1(f(1)表示x=1时对应的y的值，下同) ； (2)当 0<x<1时f(x)>0； (3)对任意实数x，y有f(x＋y)－f(x－y)=2 f(1－x) f(y)，则f(word/media/image11.gif)=( )

A．1 B．word/media/image8.gif C．word/media/image12.gif D．word/media/image13.gif

6．如图，矩形ABCD中，AB=4， AD=6，点E， F分别是AB，BC边上的两动点，且EF=2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH＋CH的最小值为( )

A．4word/media/image15.gif B．9

C．word/media/image16.gif D．word/media/image17.gif

二、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)

7．x=word/media/image18.gif (b＞21)，则x2－bx＋103=__________．

8．已知关于x的方程word/media/image19.gif无解，则a的值为__________．

9．已知word/media/image20.gif=7，则word/media/image21.gif=__________．

10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若折痕AE=5word/media/image15.gif，且tan∠EFC=word/media/image22.gif，连接DF．则点A到DF的距离为__________．

第10题图 第11题图

11．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、点B，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线交于点E，F为AP的中点，AB分别交OP、EF于点T、点S．若word/media/image25.gif，则word/media/image26.gif=__________．

12．定义：使函数y=f(x)的函数值为零的x的值叫函数y=f(x)的幸运点(如：y=x2－2x+1 的幸运点为x=1；y=x2－2x－3的幸运点为x=3，x=－1；y=x＋1的幸运点为x=－1)．设f(x) =

word/media/image27.gif，若g(x) word/media/image28.gif f(x)－b恰好有两个幸运点，则实数b的取值范围为__________．

三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)

13．(本小题满分16分)如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，连接AC交⊙O于点E，连接BC交⊙O于点D，AD、BE交于点F，连接DE．

(1)求证：点F在△ABC的AB边的高上；

(2)若AB=word/media/image6.gifDE，求∠AFB的度数．

14．(本小题满分16分)

(1)设k，t为常数，解关于x的方程kx2＋(3－3k)x＋2k－6=0…①

(2)在(1)的条件下，若方程①只有整数根，且关于y的一元二次方程(k＋3)y2－15y＋t=0…②有两个正整数根y1，y2，则t为何值时，y21+y22有最小值？

15．(本小题满分16分)已知ABCD的对角线AC、BD相交于E点，∠CAD=a，∠BAC=β．

(1)如图1，若a=2β，BD=10，AD=8，求AC的长；

word/media/image30.gif (2)如图2，若a=β=45°，点M为线段AB上一动点，连接DM，将DM绕D点逆时针旋转60°得线段DN，连接BN．若点M由A→E匀速运动，点M到达E点后运动停止，在点M运动的过程中，∠CBN的度数是否变化？若变化，求其取值范围；若不变，求其值．

16．（本小题满分18分）已知抛物线y＝x2的图象如图1所示，A（0，a）（a＞0），直线l：y＝word/media/image31.gif，点B为抛物线上的任意一点且恒满足点B到A点距离与点B到l的距离相等．

(1)求a的值；

(2)如图2，若直线l1：y＝kx＋word/media/image32.gif交抛物线于E，D两点，连接DO、OE．

①过点E作EC⊥x轴于点C，过点D作DF⊥x轴于点F，求word/media/image33.gif的值；

②过点E作EM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，点G为MN的中点，若点G到DE的距离为word/media/image35.gif，求k值．

华中师大一附中2017年高中招生考试

数学试题参考答案

考试时间：80分钟 卷面满分：150分

说明：所有答案一律书写在答题卡上，写在试卷上作答无效．

一、选择题(本大题共6小题，每小题7分，共42分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．)

ニ、填空题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)．

7．0 8．1，2，4 9．3 10．4word/media/image15.gif 11．word/media/image36.gif 12．－3<b≤0或b=1

三、解答题(本大题共4小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)

13．（1）∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∠AEB＝90°

∴AD、BE是△ABC的两条高，

∴F是△ABC的AB边上的高．

（2）∵∠CDE＝∠CAB，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，

∴word/media/image37.gifcosC，∴∠C=45°，

∵∠C＋∠EFD＝180°，∴∠AFB＝∠EFD＝135°．

14．（1）当k＝0时，x＝2符合题意；

当k≠0时，则(x－2)(kx＋3－k)＝0，∴x1＝2，x2＝word/media/image38.gif

（2）由（1）得，k＝0时，x＝2

∴y1＋y2＝5，y1·y2＝word/media/image39.gif，∴(y1，y2，t)＝(4，1，12)或(3，2，18)或(1，4，12)或(2，3，8)

∴y21+y22＝17或13

当k≠0时，x1＝2，x2＝word/media/image38.gif

∴k＝word/media/image40.gif，则k＋3＝word/media/image41.gif，y1＋y2＝word/media/image42.gif＝5＋word/media/image43.gif≥2，

∴x2－2＝－5，1，5，∴x2＝－3，3，7

∴k＝word/media/image22.gif，word/media/image44.gif，∴y1＋y2＝4，10，6

当y1＋y2＝4时，(y1，y2)＝(3，1)或（2，2）或（1，3），y21+y22＝8或10

当y1＋y2＝6时，y21+y22＝(6－y2)2＋y22＝2(y2－3)2＋18≥18

当y1＋y2＝10时，y21+y22＝(10－y2)2＋y22＝2(y2－5)2＋50≥50

∴(y21+y22)min＝8，∴y1＝y2＝2，k＝word/media/image22.gif，又y1·y2＝word/media/image39.gif，∴t＝(k＋3)y1·y2＝15

综上，当t＝15时，y21+y22有最小值．

15．（1）以B为圆心，BC为半径画弧交AC于C，F两点，连接BF，作BS⊥AC于S

∵a=2β，∠BCA＝∠DAC＝∠BFC，∴∠ABF＝∠BAF

∴BC＝AD＝BF＝AF＝8

∴ES＝CE－CS＝word/media/image8.gifAC－word/media/image8.gifCF=word/media/image8.gifAF＝4

∴BS＝word/media/image46.gif＝3，∴CS＝word/media/image47.gif＝word/media/image48.gif，∴CE＝4＋word/media/image48.gif

∴AC=8+2word/media/image48.gif

或延长EC至T，使CT＝BC，连接BT，做法与上法类似．

（2）法1：以AD为边作等边△AFD，

以DE为边作等边△DEG（如图所示），连NG，FG

∵a=β=45°，易证四边形ABCD为正方形，

易证△MDE≌△NDG，△ADE≌△FDG，

∠FGD＝∠AED＝∠NGD＝90°，

∴F，N，G三点共线

∠ABF＝∠AFB＝75°，∠DBF＝30°

延长BF交直线DG于G′，∴∠BG′D＝90°，

∴BD＝2DG′＝2DG，∴G与G′重合，

∴B、F、N、G四点共线，∴∠NBD＝30°，∠CBN＝15°不变．

法2：作等边△DEG，连接NG，易证△MDE≌△NDG，

∴∠MED＝∠NGD＝90°，∠EDG＝60°，延长GN交直线BD于B′，则DB′＝2DG，

又∵BD＝2DG，∴BD＝DB′，∴B与B′重合，∴∠DBG＝30°，∴∠CBN＝15°．

16．（1）设B(x，y)，∴y＝x2，∴x2＋(y－a)2＝(y＋word/media/image32.gif)2，∴(word/media/image8.gif－2a)y＋a2－word/media/image50.gif＝0，

∴word/media/image51.gif，∴a＝word/media/image32.gif，或B与O重合，a＝word/media/image32.gif，再证BA与B到直线l的距离相等．

（2）①作BC⊥x轴于C，DF⊥x轴于F，设ED的解析式为y＝kx＋word/media/image32.gif，

E(x1，y1)，D(x2，y2)，word/media/image53.gif，∴word/media/image54.gif－kx－word/media/image32.gif＝0，

∴x1＋x2＝k，x1·x2＝－word/media/image32.gif，∴y1＝x21，y2＝x22

∴tan∠OEC＝word/media/image55.gif，tan∠DOF＝word/media/image56.gif，∴word/media/image33.gif＝word/media/image57.gif＝4

（3）∵EA＝EM，DN＝DA，∴∠EAM＋∠DAN＝

word/media/image8.gif（180°－∠AEM＋180°＋∠ADM）＝90°，∴∠MAN＝90°

∴GA＝GM＝GN，∴△GME≌△GAE，∴∠GAE＝∠GMA＝90°，

∴GA⊥DE，MN＝∣x1－x2∣＝word/media/image58.gif＝word/media/image59.gif＝2GA＝word/media/image15.gif，∴k＝±2．