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    2020-2021学年广东省广州市海珠区南武中学、南武实验学校联考九年级(上)期中数学试卷 解析版-

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    2020-2021学年广东省广州市海珠区南武中学、南武实验学校联考九年级（上）期中数学试卷
    一．选择题（共10小题）
    1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
    A． B．
    C． D．
    2．下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ） A．4x2＝9 C．3y2﹣5y＝7﹣y
    B．x2+3x＝0

    D．2y2﹣y＝3+2y2
    3．点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A．（2，3）
    B．（﹣2，﹣3）
    C．（2，﹣3）
    D．（﹣3，2）
    4．要得到抛物线y＝2（x+4）2﹣1，可以将抛物线y＝2x2（ ） A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
    5．将一元二次方程x2﹣4x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ） A．﹣1
    B．3
    C．4
    D．5
    6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A．m＜﹣1
    B．m＜1
    C．m＞﹣1
    D．m＞1
    7．若一元二次方程（2m+6）x2+m2﹣9＝0的常数项是0，则m等于（ ） A．﹣3
    B．3
    C．±3
    D．9
    8．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（ ） A．y＝﹣x2+20x
    B．y＝x2﹣20x
    C．y＝﹣x2+10x
    D．y＝x2﹣10x
    9．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则1 / 20
    y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＞y2＞y3
    B．y2＞y3＞y1
    C．y3＞y1＞y2
    D．无法确定
    10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点，如图所示．给出以下四个结论：①abc＝0；②a+b+c＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．正确的有（ ）

    A．1个
    B．2个
    C．3个
    D．4个
    二．填空题（共6小题）
    11．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是 ．
    12．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m+n＝ ． 13．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为 ．
    14．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝ 度．

    15．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 ．
    16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，则代数式a2﹣ab+b2的最小值为 ． 三．解答题（共9小题） 17．（6分）解方程： （1）x2﹣4x＝0； （2）x2﹣x﹣1＝0．
    18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC各顶点都在格2 / 20
    点上，点A，C的坐标分别为（﹣1，2）、（0，﹣1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
    （1）求AC的长；
    （2）将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A1B1C，直接写出A点对应点A1的坐标．

    19．（8分）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
    （1）求每年绿化面积的平均增长率；
    （2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？ 20．（8分）如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点， ①指出旋转中心，并求出旋转的度数； ②求出∠BAE的度数和AE的长．

    21．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
    （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根． 22．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题：
    3 / 20
    （1）求出该函数的顶点坐标． （2）求出它的图象与x轴的交点坐标． （3）直接写出：当x为何值时，y＞0．
    23．（8分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
    （2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？

    24．（10分）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示）．那么，在上述旋转过程中：
    （1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
    （2）连接HK，设BH＝x．
    ①当△CHK的面积为时，求出x的值．
    ②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．

    4 / 20
    25．（10分）已知抛物线y＝x2+kx+k﹣1．
    （1）当k＝3时，求抛物线与x轴的两个交点坐标；
    （2）无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点，求定点坐标；
    （3）当k＝5时，设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A，B（点A在点B的左边）两点，连接AC，在线段AC上是否存在点D，使△ABD是直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点E（﹣1，1），点F（﹣2，2），抛物线与线段EF只有一个交点，求k的取值范围
    5 / 20

    2020-2021学年广东省广州市海珠区南武中学、南武实验学校联考九年级（上）期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一．选择题（共10小题）
    1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
    A． B．
    C． D．
    【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
    【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D．
    2．下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ） A．4x2＝9 C．3y2﹣5y＝7﹣y
    B．x2+3x＝0

    D．2y2﹣y＝3+2y2
    【分析】根据一元二次方程的定义得出即可．
    【解答】解：A．是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．是一元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D．
    3．点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A．（2，3）
    B．（﹣2，﹣3）
    C．（2，﹣3）
    D．（﹣3，2）
    6 / 20
    【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 【解答】解：∵点（﹣2，3）关于原点对称，
    ∴点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）． 故选：C．
    4．要得到抛物线y＝2（x+4）2﹣1，可以将抛物线y＝2x2（ ） A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
    【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【解答】解：∵y＝2（x﹣4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
    ∴将抛物线y＝2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位，可得到抛物线y＝2（x+4）2﹣1．
    故选：B．
    5．将一元二次方程x2﹣4x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（ ） A．﹣1
    B．3
    C．4
    D．5
    【分析】方程配方得到结果，即可确定出k的值．
    【解答】解：方程x2﹣4x+1＝0，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3， 则k＝3， 故选：B．
    6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A．m＜﹣1
    B．m＜1
    C．m＞﹣1
    D．m＞1
    【分析】根据根的判别式的意义得到△＝22﹣4m＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得△＝22﹣4m＞0， 解得m＜1． 故选：B．
    7．若一元二次方程（2m+6）x2+m2﹣9＝0的常数项是0，则m等于（ ） A．﹣3
    B．3
    C．±3 7 / 20 D．9

    【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【解答】解：由题意，得 m2﹣9＝0且2m+6≠0， 解得m＝3， 故选：B．
    8．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积y（平方米）和长方形的一边的长x（米）的关系式为（ ） A．y＝﹣x2+20x
    B．y＝x2﹣20x
    C．y＝﹣x2+10x
    D．y＝x2﹣10x
    【分析】先由长方形一边的长度为x米，周长为20米，得出另外一边的长度为（10﹣x）米，再利用长方形的面积公式可得答案．
    【解答】解：∵长方形一边的长度为x米，周长为20米， ∴长方形的另外一边的长度为（10﹣x）米， 则长方形的面积y＝x（10﹣x）＝﹣x2+10x， 故选：C．
    9．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＞y2＞y3
    B．y2＞y3＞y1
    C．y3＞y1＞y2
    D．无法确定
    【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可． 【解答】解：对称轴为直线x＝﹣∵a＝1＞0，
    ∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小， x＞﹣1时，y随x的增大而增大， ∴y2＜y1＜y3． 故选：C．
    10．如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过原点，如图所示．给出以下四个结论：①abc＝0；②a+b+c＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．正确的有（ ）
    ＝﹣1，
    8 / 20

    A．1个
    B．2个
    C．3个
    D．4个
    【分析】由抛物线开口方向得到a＜0以及函数经过原点即可判断①，由抛物线的对称轴方程得到为b＝2a＜0，以及a的符号即可判断③；根据x＝1时的函数值可以判断②；根据抛物线与x轴交点个数得到△＝b2﹣4ac＞0，则可对④进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，
    ∵抛物线经过原点， ∴c＝0，
    则abc＝0，所以①正确；
    当x＝1时，函数值是a+b+c＜0，则②错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣∴b＝3a＜0， 又∵a＜0，
    ∴a＞b，则③正确； ∵抛物线与x轴有2个交点，
    ∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以④正确． 故选：C．
    二．填空题（共6小题）
    11．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是 （2，5） ．
    【分析】由于抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣2）2+5， ∴顶点坐标为：（2，5）． 故答案为：（2，5）．
    12．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m+n＝ ﹣2 ．
    9 / 20 ＝﹣＜0，

    【分析】直接根据根与系数的关系求解．
    【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根， ∴m+n＝﹣2． 故答案为﹣2．
    13．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为 （3，0），（﹣1，0） ． 【分析】要求抛物线与x轴的交点，即令y＝0，解方程． 【解答】解：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或x＝﹣1．
    则抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标是（3，0），（﹣1，0）． 故答案为（3，0），（﹣1，0）．
    14．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠BB′C′＝ 20 度．

    【分析】根据旋转的性质可得AB＝AB′，∠BAB′＝40°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB′，再利用直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【解答】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′， ∴AB＝AB′，∠BAB′＝40°，
    在△ABB′中，∠ABB′＝（180°﹣∠BAB′）＝（180°﹣40°）＝70°， ∵∠AC′B′＝∠C＝90°， ∴B′C′⊥AB，
    ∴∠BB′C′＝90°﹣∠ABB′＝90°﹣70°＝20°． 故答案为：20．
    15．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根是 x1＝1，x2＝2 ．
    【分析】关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根就是二次函数y＝x2﹣3x+m（m10 / 20
    为常数）的图象与x轴的两个交点的横坐标．
    【解答】解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数）， ∴该抛物线的对称轴是：x＝．
    又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0）， ∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2． 故答案是：x1＝1，x2＝2．
    16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b，则代数式a2﹣ab+b2的最小值为
    ．
    【分析】由韦达定理得出a，b与m的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出m的取值范围，再对代数式a2﹣ab+b2配方并将a+b和ab整体代入化简，然后再配方，结合m的取值范围可得出答案．
    【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣1＝0有实数根a，b， ∴a+b＝2m+1，ab＝m2﹣1，△≥0， ∴△＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×（m2﹣1） ＝4m2+4m+1﹣4m2+4 ＝4m+5≥0， ∴m≥﹣． ∴a2﹣ab+b2 ＝（a+b）2﹣3ab
    ＝（2m+1）2﹣3（m2﹣1） ＝4m2+4m+1﹣3m2+3 ＝m2+4m+4 ＝（m+2）2，
    ∴a2﹣ab+b2的最小值为：故答案为：．
    ＝．
    三．解答题（共9小题） 17．（6分）解方程：
    11 / 20
    （1）x2﹣4x＝0； （2）x2﹣x﹣1＝0．
    【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝0， 分解因式得：x（x﹣4）＝0， 解得：x1＝0，x2＝4；

    （2）x2﹣x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
    ∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴x＝＝，
    ∴x1＝，x2＝．
    18．（6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（﹣1，2）、（0，﹣1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
    （1）求AC的长；
    （2）将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A1B1C，直接写出A点对应点A1的坐标．

    【分析】（1）利用勾股定理计算即可．
    （2）分别作出A，B的对应点A1，B1即可解决问题．
    12 / 20
    【解答】解：（1）如图，AC＝＝．


    （2）如图，△A1B1C即为所求，A1（﹣3，﹣2）．
    19．（8分）“绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
    （1）求每年绿化面积的平均增长率；
    （2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？ 【分析】（1）先设每年小区绿化面积的增长率为x，根据2018年的绿化面积×（1+增长率）2＝2020年的绿化面积，列出方程求解即可； （2）根据（1）得出的增长率列出算式，进行计算即可． 【解答】解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程： 1000（1+x）2＝1210．
    解方程，得x1＝0.1 x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）． 所以每年绿化面积的平均增长率为10%． （2）1210×（1+10%）＝1331（万平方米）． 答：2021年的绿化面积是1331万平方米．
    20．（8分）如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点， ①指出旋转中心，并求出旋转的度数； ②求出∠BAE的度数和AE的长．
    13 / 20

    【分析】①由旋转的性质可求解；
    ②由旋转的性质可得AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°，由周角的性质和中点的性质可求解．
    【解答】①∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点， ∴旋转中心是点A，
    根据旋转的性质可知：∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝140°， ∴旋转角度是140°；
    ②由旋转可知：△ABC≌△ADE，
    ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°， ∴∠BAE＝360°﹣140°×2＝80°， ∵C为AD中点，
    ∴AC＝AE＝AB＝×4＝2cm． 21．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
    （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
    【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，即判别式△＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
    （2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
    【解答】解：（1）∵b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（a﹣2）＝12﹣4a＞0， 解得：a＜3．
    ∴a的取值范围是a＜3；

    （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
    14 / 20
    ，
    解得：，
    则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
    22．（8分）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5，完成下列各题： （1）求出该函数的顶点坐标． （2）求出它的图象与x轴的交点坐标． （3）直接写出：当x为何值时，y＞0．
    【分析】（1）由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9即可求解； （2）令y＝﹣x2+4x+5＝0，解得x＝5或﹣1，即可求解； （3）a＝﹣1＜0，则抛物线开口向下，即可求解． 【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， 则抛物线的顶点坐标为（2，9）；

    （2）令y＝﹣x2+4x+5＝0，解得x＝5或﹣1， 故图象与x轴的交点坐标为（5，0）、（﹣1，0）；

    （3）∵a＝﹣1＜0， 故抛物线开口向下， 故当﹣1＜x＜5时，y＞0．
    23．（8分）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为y平方米． （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
    （2）若墙的最大可用长度为9米，求此时当AB为多少米时长方形花圃的面积最大，最大面积是多少？
    15 / 20
    【分析】（1）求出y＝AB×BC代入即可；利用0＜24﹣3x≤9进而解出即可； （2）把解析式化成顶点式，再利用二次函数增减性即可得到答案． 【解答】解：（1）设花圃的宽AB为x米，则BC＝（24﹣3x）m， 根据题意得出：y＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x； ∵墙的可用长度为9米， ∴0＜24﹣3x≤9， 解得：5≤x＜8，
    ∴y＝﹣3x2+24x（5≤x＜8）．
    （2）y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x2﹣8x）＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵5≤x＜8，
    ∴当x＝5时，y最大值＝45平方米．
    答：当AB为5米时，长方形花圃的面积最大，最大面积是45平方米．
    24．（10分）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，现将一块边长足够大的直角三角板的直角顶点置于AB的中点O，两直角边分别经过点B、C，然后将三角板绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°），旋转后，直角三角板的直角边分别与AC、BC相交于点K、H，四边形CHOK是旋转过程中三角板与△ABC的重叠部分（如图所示）．那么，在上述旋转过程中：
    （1）线段BH与CK具有怎样的数量关系？四边形CHOK的面积是否发生变化？证明你发现的结论；
    （2）连接HK，设BH＝x．
    ①当△CHK的面积为时，求出x的值．
    ②试问△OHK的面积是否存在最小值，若存在，求出此时x的值，若不存在，请说明理由．

    16 / 20
    【分析】（1）连接OC，可以证得：△COK≌△BOH，根据S四边形CHOK＝S△COK+S△COH＝S△BOH+S△COH＝S△COB＝S△ABC即可证得：四边形CHOK的面积始终保持不变； （2）①BC＝4，CH＝4﹣x，三角形的面积公式可以得到：CH•CK＝，即（4﹣x）x＝3，从而求得x的值；
    ②设△OKH的面积为S，根据三角形的面积公式，即可得到关于x的函数关系式，然后根据函数的性质即可求解．
    【解答】解：（1）在旋转过程中，BH＝CK，四边形CHOK的面积始终保持不变，其值为△ABC面积的一半． 理由如下： 连接OC
    ∵△ABC为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，CO⊥AB
    ∴∠OCK＝∠B＝45°，CO＝OB，又∵∠COK与∠BOH均为旋转角， ∴∠COK＝∠BOH＝α ∴△COK≌△BOH
    ∴BH＝CK，S四边形CHOK＝S△COK+S△COH＝S△BOH+S△COH＝S△COB＝S△ABC＝4．

    （2）①由（1）知CK＝BH＝x， ∵BC＝4，
    ∴CH＝4﹣x，根据题意，得CH•CK＝，即（4﹣x）x＝3， 解这个方程得x1＝1，x2＝3， 此两根满足条件：0＜x＜4
    所以当△CKH的面积为时，x的取值是1或3；
    ②设△OKH的面积为S，由（1）知四边形CHOK的面积为4，于是得关系式： S＝4﹣S△CKH＝4﹣x（4﹣x）＝（x2﹣4x）+4 ＝（x﹣2）2+2
    当x＝2时，函数S有最小值2， ∵x＝2时，满足条件0＜x＜4，
    17 / 20
    ∴△OKH的面积存在最小值，此时x的值是2． 25．（10分）已知抛物线y＝x2+kx+k﹣1．
    （1）当k＝3时，求抛物线与x轴的两个交点坐标；
    （2）无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点，求定点坐标；
    （3）当k＝5时，设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A，B（点A在点B的左边）两点，连接AC，在线段AC上是否存在点D，使△ABD是直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
    （4）点E（﹣1，1），点F（﹣2，2），抛物线与线段EF只有一个交点，求k的取值范围
    【分析】（1）把k＝3代入y＝x2+kx+k﹣1，得到y＝x2+3x+2，令y＝0，得x2+3x+2＝0，再解方程求出x的值，即可求解；
    （2）令x2+kx+k﹣1＝0，解方程求得两根有一常数，问题得证；
    （3）k＝5时，抛物线的解析式为y＝x2+5x+4，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，分两种情形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
    （4）观察图象可知，当x＝﹣2时，y≥2即可满足条件，构建不等式，即可解决问题． 【解答】（1）解：∵y＝x2+kx+k﹣1， ∴当k＝3时，y＝x2+3x+2， 令y＝0，得x2+3x+2＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝﹣2，
    ∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣2，0）．

    （2）证明：∵y＝x2+kx+k﹣1， ∴当y＝0时，x2+kx+k﹣1＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝1﹣k，
    ∴无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点（﹣1，0）．

    （3）解：k＝5时，抛物线的解析式为y＝x2+5x+4， 令y＝0，可得x2+5x+4＝0， 解得x＝﹣1或﹣4，
    ∴A（﹣4，0），B（0，﹣1），
    18 / 20
    令x＝0，得到y＝4，可得C（0，4）， 如图1中，

    ∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°， ∴∠CAO＝45°，
    当∠ABD′＝90°时，AB＝BD′＝3， ∴D′（﹣1，3），
    当∠ADB＝90°时，AD＝BD，可得D（﹣2.5，1.5）．
    综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣1，3）或（﹣2.5，1.5）．

    （4）如图2或图3中，

    观察图象可知，当x＝﹣2时，y≥2即可满足条件， ∴4﹣2k+k﹣1≥2， ∴k≤1，
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    ∴k≤1时，抛物线与线段EF只有一个交点．

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