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    2018高考全国1卷理科数学试卷及答案-

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    2018 年普通高等学校招生全国统一考试
    （全国一卷）理科数学
    一、选择题，本题共 12小题，每小题 5 份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
    1i 1. 设
    z 2i ，则 z 1i D. 2




    1 A.0 B. C.1 2 2. 已知集合
    A

    x 2|x x 2

    0 ，则

    CRA x2 1 x| x 2 A. x | 1 x 2 C.
    B. x |1 x|x 1 x |x 2 D. x| x 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例， 得到如下饼图：




    则下面结论中不正确的是
    A. 新农村建设后，种植收入减少
    B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍
    D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记 Sn为等差数列 an 的前 n项和，若 3S3 S2 S4，a1 2，则 a5 A.-12 B.-10 C.10 D.12 5.设函数 f x x3 a 1 x2 ax ，若 f x 为奇函数，则曲线 y f x 在点 0,0 处的切
    线方程为 A. y 2x
    B. y x C.y 2x D. y x 6.在 ABC中， AD为BC边上的中线， E为 AD的中点，则
    EB

    31 A. AB AC 44 31 C. AB AC 13 B. AB AC 44 13 D. AB AC 7.某圆柱的高为 2，地面周长为 16，其三视图如右图，圆柱表面 上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视 图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的路径中， 最短路径的长度为 A. 2 17 B. 2 5 C.3 D.2 8.设抛物线 C: y2 4x 的焦点为 F ，过点 2,0 且斜率为 的直线与 C 交于 点，



    2     2 M ,N 两则
    FM FN
    A.5 9.已知函数
    f x     B.6 C.7     e ,x 0
    x
    D.8 a 的取值围是 A. 1,0 x,x 0 B. 0, ,g x f x ln x a ，若 g x 存在 2 个零点，则 范



    C. 1, D. 1, 10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆 的直径分别为直角三角形 ABC的斜边 BC ，直角边 AB,AC ， ABC的三边所围成的区域 记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。 在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分 别记为 p1, p2, p3 ，则


    A     C A. p1 p2
    2 B. p1 p3 C.p2 p3 D. p1 p2 p3 11. 已知双曲线 C: y2 1 ， O为坐标原点， F 为C的右焦点， 过F 的直线与 C的两条
    3 渐近线的交点分别为 M,N。若 OMN 为直角三角形，则 MN A. 3
    B.3 C.2 3 D.4 2 12. 已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所
    得截面面积的最大值为
    33 A.     4 B.
    2 3 C.3 2 D.     2 、填空题：本题共 小题，每小题 5 分，共 20 分。
    4     x 2y 2 0 13.若 x, y满足约束条件 x y 1 0 ，则 z 3x 2 y的最大值为
    y0 14.记 Sn为数列 an 的前 n 项和，若 Sn 2an 1，则 S6 15.从2位女生， 4位男生中选 3人参加科技比赛， 且至少有 1位女生入选， 则不同的选法共 有
    种.（用数字填写答案） 16.已知函数 f x 2sin x sin2x ，则 f x 的最小值是 . 三、解答题： 共 70分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第17--21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（12 分）
    在平面四边形 ABCD中, ADC 90, A 45 ,AB 2,BD 5. （1）求 cos ADB ； （2）若 DC 2 2 ，求 BC .


    18.（12 分）
    如图，四边形 ABCD为正方形， E,F 分别为 起，使点 C 到达点 P的位置，且
    PF BF . （1）证明： 平面PEF 平面 ABFD ; （2）求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值 .
    2 x2 19.（ 12 分）设椭圆
    2    2 yC:
    1的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C交于 A, B两点，点 M 的坐标为
    2,0 1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程； 2）设 O 为坐标原点，证明： OMA OMB. 20.（12 分）
    某工厂的某种产品成箱包装， 每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不合格品，则更换为合格品。检验时，先从这箱产品中任取 20 件作检验，再根据
    检验结果决定是否对余下的所有产品作检验。设每件产品为不合格品的概率都为
    p0 p 1 ，且各件产品是否为不合格品相互独立。
    （1）记 20件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f p ，求 f p 的最大值点 p0； （2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（ 1）中确定的 p0作为 p 的 值。已知每件产品的检验费用为 2 元。若有不合格品进入用户手中， 则工厂要对每件不合格 品支付 25 元的赔偿费用。
    （ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为

    X ，求 EX ；
    （ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检
    验？
    21.（12 分） 已知函数
    f x
    x aln x. x 1）讨论 f x 的单调性；
    2）若 f x 存在两个极值点 x1,x2 ，证明：
    1 2 a 2 . x1 x2 （二）选考题：共 10分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。
    22.［选修 4—4：坐标系与参数方程 ］（10 分）
    在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y k x 2 ，以坐标原点为极点，轴正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 C 2的极坐标方程为 2 2 cos 3 0. （ 1）求 C2 的直角坐标方程；
    （2）若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程。
    23.［选修 4— 5：不等式选讲 ］（ 10 分） 已知 f x x 1 ax 1 . （1）当 a 1时，求不等式 f x 1 的解集；
    2）若 x 0,1 时不等式 f x x 成立，求 a 的取值范围

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    2018年普通高等学校招生全国统一考试
    理科数学试题参考答案
    二、填空题




    13． 615．163 146
    、选择题 1C 2B 3A ． B ． 8D ． 9C 7． ． ． 三、解答题 17． 解：
    （1）在 △ABD 中，
    5


    16．
    3 3
    2 4． B 10．
    A 5． D 11． B
    6． A 12．
    A



    由正弦定理得



    BD
    AB .
    sin A sin ADB .
    由题设知， 2 , 所以 sin ADB sin45 sin ADB 由题设知， ADB 90 所以
    cos ADB ，
    1
    2    5. . 2 23 25 5 25（ 2）由题设及知AD（ 1） ， cos BDC sin B 在 △ BCD 中，由余弦定理得

    .     .



    2BC
    2 2
    2BD DC2 2 BD


    25 8 25.
    2522
    DC cos BDC 2 5







    所以 18．解：
    （1由已知可得， BF PF ，
    BF EF 所以 BF 平面
    PEF ， ）
    又 BF 平面 ABFD ，所以平PEF 平ABFD . 面 面 EF （2由）作 PH 垂足为 H . PH 平面 ABFD .
    ， ） （ 1 得，
    以H为坐标原点， HF 的方向为 y轴正方向， | BF |为单位长，建立如图所示的空间直






    BC 5. 角坐标系 H xyz. DE 由（ 1）可得， PE. 又 DP 2， DE 1，所以 PE 3. 又 PF 1，EF 2，故
    PE PF . 可得 PH 23
    EH 3
    3322323uu(1,,
    D( 1, ,0 ， ur 则 H (0,0,0 ， P(0,0, ,
    22     2 的法向量 .
    uuur HP (0,0, 为平面
    ABFD     2     3    ，    3
    uuur uuur 3 HP DP 4 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 sin | uuur uuur 3 | |HP||DP | 所以 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值为
    ，则    419．解：
    （1）由已知得 F （1,0） ， l的方程为 x 1. 由已知可得，点 A的坐标为 （1, ） 或（1, ） . 22所以 AM 的方程为 y x 2 或 y x 2 22 （2）当 l 与 x 轴重合时， OMA OMB 0 . 当 l 与 x 轴垂直时， 为 AB 的垂直平分线，所以 OMA OM 22OMB . 0， A(x1, y1， B(x2,y2 ， y1 x1 2 y2 x2 2 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y k（x 1）（k 则 x1 2，x2 2，直线 MA，MB的斜率之和为 kMA kMB
    由 y1 kx1 k ， y2 kx2 k 得


    kMA kMB 2 2kx1x2 3k(x1 x2 4k (x1 2(x2 2 将 y k(x 1 代入

    x2 2 4k2 2 2 , x1x2 2
    (2k    1x4kx
    2    2 2k
    所以， 则
    x1 x2 21 22k 1

    2k2
    2 2 2
    0. 2k2
    1     33     2 3 4k 2k2 1 8k3 4k 12k3 4k，故 MA ， MB 的倾斜角互补 3k(x0 x0. 2 4k 1 2kx1x2 从而OMB . MA MB kk综. 所以
    OMA OMB . 上， OMA
    ． 21 ．
    20解：
    220 p2(1 p18. 因此 17 Cf( p (120 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为
    17(1 10p. p2 18 2 17 1817] 2C令 f ( p 0，得 p 0.1. 当 p (0,0.1 时， f ( p 0；当 p (0.1,1时， f (p 0.所以 f ( p C20[2 p(1 p 18p2(1 p20 p(1 f (p 的最大值点为 p0 0.1. 2由( 1知， p 0.1. ⅰ令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品件数，依题意知 ，即 X 40 25Y . 所以 EX E(40 25Y 40 25EY 490. 20 2 25Y(ⅱ如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为 由于 EX 400 ，故应该对余下的产品作检验 . 400 元 . Y : B(180,0.1 ，


    (ⅰ 单调递减 .

    当x (a 解：
    1 f(x 的定义域为 (0, ，
    f (x a≤ 2，则 f ( x ≤ 0 ，当且仅当
    a 2，令 f (x 0 得，
    (0,     U(    ,     a    4 a a    4x12 x     1     2     x ax     2 a 2 ， a2 4 或
    2     2    x所以 f(x在 (0, 1时 f (x 0 ，
    a a    x 2
    4     2 a a2 4a a2 422 2 2

    时， f (x 0；
    , 时 ，
    2a 4a2a 4a a当x

    2 (a a 4, (2, (2由(

    由于 f (x的两个极值点2 4
    单调递减，在 (
    a2a 4
    f (x 0 .     2 a a 4
    所 以 f (x 在 (0,
    a2a2 4 ，
    单调递增 . 1知， f (x存在两个极值点当且仅当 a 2. x，x2满足 x2 ax 1 0，所以 x1x2 1，不妨设 x1 x2 ，则x2 1.
    1
    由于
    f (x1 f(x2 x1 x2
    1 x1x2 1ln x1 ln x2 x1 x2 xxx2 2 aln x1 ln x2 x1 x2 1 a 1 2
    2ln x2 1 x2 x2
    所以
    f(x1 f(x2
    a 2等价于 x2 2ln x2 0. 1 2 1
    设函数 g(x x 2ln x ，由( 1知， g(x在 (0, 单调递减，又 g(1 0，从而当 x x (1, 时， g(x 0. 所以 x2 2ln x2 0，即
    a 2.     1    f (x1 f (x2x2 x1 x2 22．解：
    (1由 x cos ， y sin 得 C2 的直角坐标方程为
    22     (x 12 y2 4 .
    (2由( 1知 C2是圆心为 A( 1,0 ，半径为 2的圆 . 由题设知， C1是过点 B(0,2 且关于 y 轴对称的两条射线 . 记 y轴右边的射线为 l1，
    y 轴 左边的射线为 l2 . 由于 B 在圆 C2 的外面，故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只 有一个公共点且 l2 与C2有两个公共点，或 l2 与C2只有一个公共点且 l1与C2有两个公共点 . | k 2| 当l1与C2只有一个公共点时， A到l1所在直线的距离为 2，所以 2，故k 2

    | k22|1 2 1k14
    4    4 4
    3 或k 0. 经检验，当 k 0时， l1与C2没有公共点；当 k 时， l1与C2只有一个公共点，
    3 l2与 C2有两个公共点 . 当 l2 与C2只有一个公共点时， A到 l2 所在直线的距或k . 经检验，当 k 0时，
    3     44
    2，所以 |k2 2| 2，故2k 1
    k 0 l1 与C2 没有公共点；当 k 时， l2 与 C2 没有公共点 . 43434 综上，所求 C1 的方程为 y | x| 2.
    离为23．解：
    1当 a 1时， f (x |x 1| 2, x≤
    1, 1 x 1, |x 1| ，即 f(x 2x, x≥1. 2, 12故不等式 f(x 1的解集为 {x|x 2当 x (0, 1时 |x 1| |ax
    }. 1| x 成立等价于当 x (0, 1时| ax 1| 1成立 . 若 a≤ 0，则当 x (0, 1时 |ax 1|≥ 1；
    若 a 0，|ax 1| 1的解集为 0 x ，所以 ≥1，故 0 a≤ 2. aa 综上， a 的取值范围为 (0,2] . 22

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