武汉工程大学2010年

专升本《高等数学》考试大纲

一、考试的基本要求

较系统地理解和掌握高等数学的基本概念、基本理论和方法，具有一定的抽象思维、逻辑推理、运算能力以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

二、考试方法、考试时间。

考试方法为闭卷笔试；考试时间为120分钟。

三、题型比例

填空题占20%；选择题占20%；解答题(包括证明题)占60%

四、试卷考试内容、考试要求

1、一元函数、极限、连续

考试内容：

一调性、周期性、奇偶性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数，元函数概念及表示法，函数的有界性、单基本初等函数的性质及图形，建立函数关系，数列、函数极限的定义及性质，函数左、右极限，无穷小、无穷大概念及关系，无穷小的性质及比较，极限四则运算，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限：,，函数连续性，间断点，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质

考试要求：

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、值域。

（2）理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

（3）掌握基本初等函数的性质及图形。

（4）理解极限存在与左、右极限间的关系。

（5）掌握极限的性质及四则运算法则。

（6）了解极限存在的两个准则，会利用两个重要极限求极限。

（7）理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷小的比较方法并会用等价无穷小求极限。

（8）理解函数连续性概念（含左、右连续），会求函数间断点。

（9）掌握连续函数性质、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

2、一元函数微分学

考试内容：

导数的概念、导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系，平面曲线的切线和法线，基本初等函数的导数，导数的四则运算，复合函数、反函数、隐函数和参数方程所确定函数的微分法、高阶导数的概念，某些简单函数的n阶导数，微分的概念，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，罗尔定理、拉格朗日中值定理、洛必达法则，函数极值，最大（小）值求法及简单应用，函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线

考试要求：

（1）理解导数、微分的概念及关系，理解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，理解可导性与连续性间的关系。

（2）掌握基本初等函数求导公式，导数的四则运算法则以及复合函数求导法则。了解一阶微分形式不变性，会求函数的微分。

（3）了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

（4）会求隐函数、参数方程所确定的一、二阶导数。

（5）理解并掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理。

（6）理解函数极值概念，掌握用导数判断函数单调性和求函数极值的方法。掌握函数最大（小）值的求法及简单应用。

（7）会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，了解函数图形的水平、铅直渐近线。

（8）掌握洛必达法则求未定式极限的方法。

3、一元函数的积分学

考试内容：

原函数和不定积分的概念、不定积分的基本公式、性质、定积分的概念及基本性质，变上限积分定义的函数及导数，牛顿—莱布尼茨公式，不定积分、定积分的换元法及分部积分法，反常积分的概念、计算，定积分的应用

考试要求：

（1）理解原函数，不定积分、定积分的概念、性质。

（2）掌握不定积分的基本公式、不定积分的换元法和分部积分法。会求简单有理函数，三角函数有理式和可化为有理函数的无理函数的积分。

（3）理解变上限积分函数的定义，会求其导数，掌握牛顿—莱布尼茨公式。掌握定积分的换元法和分部积分法。

（4）了解反常积分的概念，并会计算一些简单函数的反常积分。

（5）会用定积分求平面图形的面积、旋转体的体积。

4、向量代数和空间解析几何

考试内容：

向量的概念，向量线性运算、数量积和向量积的概念和运算，两向量的夹角，向量的坐标表达式及运算、单位向量、方向余弦，两向量平行及垂直的条件，平面方程、直线方程，平面与直线、直线与直线之间的夹角以及平行、垂直的条件，点到平面、点到直线的距离

考试要求：

（1）理解空间直角坐标，理解向量的概念及表示形式。

（2）掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积）及其性质。

（3）掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式、掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

（4）掌握平面、直线方程。会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角。

5、多元函数微分学

考试内容：

多元函数的概念、二元函数的几何意义，二元函数极限，连续的概念，多元函数偏导数、全微分概念与计算；多元复合函数求导、隐函数求导法，二阶偏导数，空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的极值、条件极值问题与拉格朗日乘数法

考试要求：

（1）理解多元函数概念。

（2）了解二元函数极限连续性概念及有界闭区域上连续函数的性质。

（3）理解多元函数偏导和全微分概念，了解全微分存在的充分条件。

（4）掌握多元复合函数偏导的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

（5）会求隐函数的偏导数。

（6）了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，并会求方程。

（7）理解多元函数极值和条件极值的概念，了解二元函数极值存在的充

分条件，会求二元函数的极值，了解条件极值的拉格朗日乘数法。

6、多元函数的积分学

考试内容：

二重积分概念、性质、计算及应用

考试要求：

（1）理解二重积分的概念，了解重积分的性质。

（2）掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法。

7、无穷级数

考试内容：

常数项级数收敛、发散的概念，收敛级数的性质，正项级数收敛性的一般判别原则，比较审敛法，比值审敛法，交错级数审敛法，绝对收敛与条件收敛，函数项级数一般概念，幂级数收敛半径、收敛域，幂级数的运算性质，函数展开成幂级数

考试要求：

（1）理解无穷级数收敛、发散以及级数和的概念，掌握无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。

（2）掌握几何级数和P-级数的收敛性。

（3）掌握正项级数的比较、比值审敛法。

（4）了解交错级数的莱布尼兹定理。

（5）了解无穷级数的绝对收敛、条件收敛概念及关系。

（6）了解函数项级数的收敛概念。

（7）掌握幂级数收敛域的求法。

（8）了解幂级数在收敛区间的基本性质。

（9）会利用的麦克劳林展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。

8、常微分方程

考试内容：

常微分方程基本概念，可分离变量的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，可降阶的高阶方程

考试要求：

（1）了解微分方程阶、解、通解、初始条件和特解等概念。

（2）掌握变量可分离及一阶线性方程的解法。

（3）会解齐次微分方程。

（4）会用降阶法解三种可降阶的方程。

五、考试内容大致比例

一元函数微积分学 60%

向量代数与空间解析几何 5%

多元函数微积分学 20%

无穷级数 5%

常微分方程 10%

六、试题难易度大致比例

容易题 30%

中等难度题 50%

较难题 20%

七、参考教材

1．同济大学应用数学系编．高等数学（本科少学时类型）（第二版）（上、下）．高等教育出版社，2004．

2．盛祥耀、居余马等编．高等数学（第二版）（上、下）．高等教育出版社，2004．

武汉工程大学2010年专升本

《高等数学》考试样卷

一、填空题：1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．

1．若则 ．

2． ．

3．设在处取得极小值，则= ．

4．设向量， 则 ．

5． ．

二、选择题：6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．

6．函数的定义域是 [ ]

（A）； （B）；

（C）； （D）.

7．曲线上点处的切线斜率为，则点的坐标是 [ ]

（A）； （B）； （C）； （D）

8．设，则等于 [ ]

（A）； （B）；

（C）； （D）.

9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是 [ ]

（A）A，； （B），；

（C），； （D），.

10．无穷级数 [ ]

（A）绝对收敛； （B）条件收敛；

（C）发散； （D）敛散性不能确定.

三、解答题：11~18小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11．（本题满分7分）

计算定积分．

12．（本题满分7分）

设, 其中在处连续，且，求．

13．（本题满分8分）

求抛物线及其在点和处的切线所围成的平面图形的面积．

14．（本题满分8分）

求微分方程的通解．

15．（本题满分8分）

计算，其中是以，，为顶点的三角形闭区域．

16．（本题满分8分）

求二元函数的极值．

17．（本题满分7分）

求微分方程的通解．

18．（本题满分7分）

设在上连续，且，，

证明：（1）； （2）方程在内有且仅有一个实根。

《高等数学》考试样卷参考答案

一、填空题：1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．

1．若则．

2． ．

3．设在处取得极小值，则=．

4．设向量， 则．

5． ．

二、选择题：6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内．

6．函数的定义域是 [ C ]

（A）； （B）；

（C）； （D）．

7．曲线上点处的切线斜率为，则点的坐标是 [ B ]

（A）； （B）； （C）； （D）．

8．设，则等于 [ D]

（A）； （B）；

（C）； （D）。

9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是 [ D ]

（A）A，； （B），；

（C），； （D），.

10．无穷级数 [ A ]

（A）绝对收敛； （B）条件收敛；

（C）发散； （D）敛散性不能确定．

三、解答题：11~17小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11．（本题满分7分）

计算定积分．

解： 原式 =

= =

12．（本题满分7分）

设, 其中在处连续，且，求．

解：

13．（本题满分8分）

求抛物线及其在点和处的切线所围成的平面图形的面积．

解：

在处的切线方程为

在处的切线方程为

两条切线的交点为

从而所求平面图形的面积可表示为

14．（本题满分8分）

求微分方程的通解．

解：原方程可变形为

则

　　。

15．（本题满分8分）

计算，其中是以，，为顶点的三角形闭区域．

解：原式

16．（本题满分8分）

求二元函数的极值．

解：先解方程组

可得驻点

分别求二阶偏导数：

在点处，，

在点处有极小值．

17．（本题满分7分）

求微分方程的通解．

解：原方程可变形为

则微分方程的通解为

18．（本题满分7分）

设在上连续，且，，证明：（1）； （2）方程在内有且仅有一个实根。

证明：1．依题意有：

2．因为

所以

由罗尔定理方程至少有一实根。

又据1结论知在（a, b）上单调递减。

故原方程在（a, b）内有且仅有一个实根。