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    2014年辽宁省抚顺市中考数学试卷及解析-

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    辽宁省抚顺市2014年中考数学试卷
    一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
    1．(3分(2014•抚顺的倒数是( A．﹣2 B． 2

    考点: 倒数． 专题: 常规题型．
    分析: 根据倒数的定义求解． 解答: 解:﹣的倒数是﹣2．
    故选:A．
    点评: 本题主要考查了倒数的定义,解题的关键是熟记定义．

    2．(3分(2014•抚顺若一粒米的质量约是0.000012kg,将数据0.000012用科学记数法表示为( A．21×10﹣4 B． 2.1×10﹣6 C． 2.1×10﹣5 D． 2.1×10﹣4
    考点: 科学记数法—表示较小的数．. 分析: 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解答: 解:0.000012=1.2×10﹣5；
    故选:C．
    点评: 题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|＜10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

    3．(3分(2014•抚顺如图所示,已知AB∥CD,CE平分∠ACD,当∠A=120°时,∠ECD的度数是(

    C．

    D．


    45° A．
    B． 40°
    C． 35°
    D． 30°
    考点: 平行线的性质．. 分析: 根据平行线的性质求出∠DCA,根据角平分线定义求出∠DCE即可． 解答: 解:∵AB∥CD,∠A=120°, ∴∠DCA=180°﹣∠A=60°, ∵CE平分∠ACD,


    ∴∠ECD=∠DCA=30°, 故选:D．
    点评: 本题考查了平行线的性质,角平分线定义的应用,注意:两直线平行,同旁内角互补．

    4．(3分(2014•抚顺如图放置的几何体的左视图是(


    A．B．
    C．
    D．


    考点: 简单组合体的三视图．.

    分析: 根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案．
    解答: 解:左视图可得一个正方形,上半部分有条看不到的线,用虚线表示,．
    故选:C．
    点评: 本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图,注意中间看不到的线用虚线表示．

    5．(3分(2014•抚顺下列事件是必然事件的是( 如果|a|=|b|,那么a=b A． 平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 B． 半径分别为3和5的两圆相外切,则两圆的圆心距为8 C． 三角形的内角和是360° D．
    考点: 随机事件．. 分析: 必然事件就是一定发生的事件,即发生的概率是1的事件． 解答: 解:A、如果|a|=|b|,那么a=b或a=﹣b,故A选项错误；
    B、平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,此时被平分的弦不是直径,故B选项错误；
    C、半径分别为3和5的两圆相外切,则两圆的圆心距为8,故C选项正确； D、三角形的内角和是180°,故D选项错误, 故选:C． 点评: 考查了随机事件,解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念,理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为:必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件．




    6．(3分(2014•抚顺函数y=x﹣1的图象是( A．B． C．
    D．





    考点: 一次函数的图象．. 分析: 根据函数解析式求得该函数图象与坐标轴的交点,然后再作出选择．
    解答: 解:∵一次函数解析式为y=x﹣1, ∴令x=0,y=﹣1． 令y=0,x=1, 即该直线经过点(0,﹣1和(1,0． 故选:D．
    点评: 本题考查了一次函数图象．此题也可以根据一次函数图象与系数的关系进行解答．

    7．(3分(2014•抚顺下列运算正确的是( A．﹣2(a﹣1=﹣2a﹣1 B． (﹣2a2=﹣2a2 C． (2a+b2=4a2+b2
    D． 3x2﹣2x2=x2 考点: 完全平方公式；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．. 分析: A、原式利用去括号法则计算得到结果,即可做出判断；
    B、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断； C、原式利用完全平方公式展开得到结果,即可做出判断； D、原式合并得到结果,即可做出判断． 解答: 解:A、﹣2(a﹣1=﹣2a+2,故A选项错误；
    B、(﹣2a2=4a2,故B选项错误；
    C、(2a+b2=4a2+4ab+b2,故C选项错误； D、3x2﹣2x2=x2,故D选项正确． 故选:D．
    点评: 此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

    8．(3分(2014•抚顺甲乙两地相距420千米,新修的高速公路开通后,在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍,进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时．设原来的平均速度为x千米/时,可列方程为( A．B． C． D．
    +
    考点: 由实际问题抽象出分式方程．. 分析: 设原来的平均速度为x千米/时,高速公路开通后平均速度为1.5x千米/时,根据走过相同的距离时间缩短了2小时,列方程即可． 解答: 解:设原来的平均速度为x千米/时, 由题意得,﹣=2． 故选:B．
    点评: 本题考查了由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出
    =2 ﹣=2 += ﹣=

    合适的等量关系,列方程．
    9．(3分(2014•抚顺如图,在平面直角坐标系中,点A是x轴正半轴上的一个定点,点P是双曲线y=(x＞0上的一个动点,PB⊥y轴于点B,当点P的横坐标逐渐增大时,四边形OAPB的面积将会(


    A．逐渐增大

    B． 不变
    C． 逐渐减小
    D． 先增大后减小
    考点: 反比例函数系数k的几何意义．. 分析: 由双曲线y=(x＞0设出点P的坐标,运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式即可判定． 解答: 解:设点P的坐标为(x,, ∵PB⊥y轴于点B,点A是x轴正半轴上的一个定点, ∴四边形OAPB是个直角梯形, ∴四边形OAPB的面积=(PB+AO•BO=(x+AO•=+=+•, ∵AO是定值, ∴四边形OAPB的面积是个减函数,即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小． 故选:C．
    点评: 本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义,解题的关键是运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式． 10．(3分(2014•抚顺如图,将足够大的等腰直角三角板PCD的锐角顶点P放在另一个等腰直角三角板PAB的直角顶点处,三角板PCD绕点P在平面内转动,且∠CPD的两边始终与斜边AB相交,PC交AB于点M,PD交AB于点N,设AB=2,AN=x,BM=y,则能反映y与x的函数关系的图象大致是(


    A．B．
    C．
    D．








    考点: 动点问题的函数图象．. 分析: 作PH⊥AB于H,根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°,AH=BH=AB=1,则可判断△PAH和△PBH都是等腰直角三角形,得到PA=PB=AH=,∠HPB=45°,由于∠CPD的两边始终与斜边AB相交,PC交AB于点M,PD交AB于点N,而∠CPD=45°,所以1≤x≤2,再证明∠2=∠BPM,这样可判断△ANP∽△BPM,利用相似比得的函数关系的图象为反比例函数图象,且自变量为1≤x≤2． 解答: 解:作PH⊥AB于H,如图, ∵△PAB为等腰直角三角形, ∴∠A=∠B=45°,AH=BH=AB=1, ∴△PAH和△PBH都是等腰直角三角形, ∴PA=PB=AH=,∠HPB=45°, =,则y=,所以得到y与x∵∠CPD的两边始终与斜边AB相交,PC交AB于点M,PD交AB于点N 而∠CPD=45°, ∴1≤AN≤2,即1≤x≤2, ∵∠2=∠1+∠B=∠1+45°,∠BPM=∠1+∠CPD=∠1+45°, ∴∠2=∠BPM, 而∠A=∠B, ∴△ANP∽△BPM, ∴=,即=, ∴y=, ∴y与x的函数关系的图象为反比例函数图象,且自变量为1≤x≤2． 故选A．

    点评: 本题考查了动点问题的函数图象:利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式,然后根据函数关系式画出函数图象,注意自变量的取值范围．





    二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分
    11．(3分(2014•抚顺函数y=
    中,自变量x的取值范围是 x≠2 ．
    考点: 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．. 专题: 计算题．
    分析: 求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,分式有意义的条件是:分母不为0． 解答: 解:要使分式有意义,即:x﹣2≠0, 解得:x≠2． 故答案为:x≠2．
    点评: 本题主要考查函数自变量的取值范围,考查的知识点为:分式有意义,分母不为0．

    12．(3分(2014•抚顺一组数据3,5,7,8,4,7的中位数是 6 ．

    考点: 中位数．. 分析: 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数为中位数．
    解答: 解:先对这组数据按从小到大的顺序重新排序:3,4,5,7,7,8．
    位于中间的两个数是5,7, 所以这组数据的中位数是(5+7÷2=6． 故答案为:6． 点评: 本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 13．(3分(2014•抚顺把标号分别为a,b,c的三个小球(除标号外,其余均相同放在一个不透明的口袋中,充分混合后,随机地摸出一个小球,记下标号后放回,充分混合后,再随机地摸出一个小球,两次摸出的小球的标号相同的概率是 ．
    考点: 列表法与树状图法．. 专题: 计算题．
    分析: 列表得出所有等可能的情况数,找出两次摸出的小球的标号相同的情况数,即可求出所求的概率． 解答: 解:列表如下: a b c a (a,a (b,a (c,a b (a,b (b,b (c,b c (a,c (b,c (c,c 所有等可能的情况有9种,其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种, 则P==． 故答案为:


    点评: 此题考查了列表法与树状图法,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比． 14．(3分(2014•抚顺将抛物线y=(x﹣32+1先向上平移2个单位,再向左平移1个单位后,得到的抛物线解析式为 y═(x﹣22+3 ．

    考点: 二次函数图象与几何变换．. 分析: 根据题意易得新抛物线的顶点,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 解答: 解:抛物线y=(x﹣32+1先向上平移2个单位,再向左平移1个单位后,得到的抛物线解析式为y=(x﹣3+12+1+2=(x﹣22+3, 即:y=(x﹣22+3．
    故答案为:y=(x﹣22+3．
    点评: 此题主要考查了二次函数图象与几何变换,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减．

    15．(3分(2014•抚顺如图,⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H,点P是的一点,则tan∠EPF的值是 1 ．
    上

    考点: 切线的性质；正方形的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．. 分析: 连接HF,EG,FG,根据切线的性质和正方形的性质可知:FH⊥EG,再由圆周角定理可得:∠EPF=∠OGF,而∠OGF=45°,问题得解． 解答: 解:连接HF,EG,FG, ∵⊙O与正方形ABCD的各边分别相切于点E、F、G、H, ∴FH⊥EG, ∵OG=OF, ∴∠OGF=45°, ∵∠EPF=∠OGF, ∴tan∠EPF=tan45°=1, 故答案为:1．

    点评: 本题考查了正方形的性质、切线的性质、圆周角定理以及锐角三角函数的定义,题目的综合性较强,解题的关键是正确添加辅助线,构造直角三角形．





    16．(3分(2014•抚顺如图,河流两岸a、b互相平行,点A、B是河岸a上的两座建筑物,点C、D是河岸b上的两点,A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75°,∠BPD=30°,则河流的宽度约为
    米．


    考点: 解直角三角形的应用．. 分析: 过点P作PE⊥AB于点E,先求出∠APE及∠BPE的度数,由锐角三角函数的定义即可得出结论．
    解答: 解:过点P作PE⊥AB于点E, ∵∠APC=75°,∠BPD=30°, ∴∠APE=15°,∠BPE=60°, ∴AE=PE•tan15°,BE=PE•tan60°, ∴AB=AE+BE=PE•tan15°+PE•tan60°=300, 即PE(tan15°+=300, 解得PE=故答案为:(米． ．

    点评: 本题考查的是解直角三角形的应用,熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．





    17．(3分(2014•抚顺将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°,那么∠1+∠2= 70 度．


    考点: 三角形内角和定理；多边形内角与外角．. 分析: 分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可． 解答: 解:∵∠3=32°,正三角形的内角是60°,正四边形的内角是90°,正五边形的内角是108°, ∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°, ∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°, ∴∠5=180°﹣∠2﹣108° ①, ∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1 ②, ∴①+②得,180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°,即∠1+∠2=70°． 故答案为:70°．

    点评: 本题考查的是三角形内角和定理,熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．

    18．(3分(2014•抚顺如图,已知CO1是△ABC的中线,过点O1作O1E1∥AC交BC于点E1,连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC交BC于点E2,连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC交BC于点E3,…,如此继续,可以依次得到点O4,O5,…,On和点E4,E5,…,En．则OnEn=
    AC．(用含n的代数式表示





    考点: 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．. 专题: 规律型． 分析: 由CO1是△ABC的中线,O1E1∥AC,可证得到答案．
    解答: 解:∵O1E1∥AC, ∴△BO1E1∽△BAC, =,,以此类推得∴, ∵CO1是△ABC的中线, ∴=, ∵O1E1∥AC, ∴△O2O1E1∽△ACO2, ∴由O2E2∥AC, , 可得:…
    可得:OnEn=故答案为:AC． ．
    ,
    点评: 本题主要考查平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定的理解和掌握,能得出规律是解此题的关键．




    三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分
    19．(10分(2014•抚顺先化简,再求值:(1﹣
    ÷,其中x=(+10+(﹣1•tan60°．
    考点: 分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
    专题: 计算题．
    分析: 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,利用零指数幂、负指数幂法则以及特殊角的三角函数值求出x的值,代入计算即可求出值． 解答: 解:原式=∵x=(•=•, =x+1, +10+(﹣1•tan60°=1+2时, ∴当x=1+2原式=2+2．
    点评: 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键．

    20．(12分(2014•抚顺居民区内的“广场舞”引起媒体关注,辽宁都市频道为此进行过专访报道．小平想了解本小区居民对“广场舞”的看法,进行了一次抽样调查,把居民对“广场舞”的看法分为四个层次:A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同．并将调查结果绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．

    请你根据图中提供的信息解答下列问题: (1求本次被抽查的居民有多少人？ (2将图1和图2补充完整；
    (3求图2中“C”层次所在扇形的圆心角的度数；
    (4估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同(包括A层次和B层次的大约有多少人．

    考点: 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．. 分析: (1由A层次的人数除以所占的百分比求出调查的学生总数即可；
    (2由D层次人数除以总人数求出D所占的百分比,再求出B所占的百分比,再乘以总人


    数可得B层次人数,用总人数乘以C层次所占的百分比可得C层次的人数不全图形即可；
    (3用360°乘以C层次的人数所占的百分比即可得“C”层次所在扇形的圆心角的度数； (4求出样本中A层次与B层次的百分比之和,乘以4000即可得到结果． 解答: 解:(190÷30%=300(人, 答:本次被抽查的居民有300人；

    (2D所占的百分比:30÷300=10% B所占的百分比:1﹣20%﹣30%﹣10%=40%, B对应的人数:300×40%=120(人, C对应的人数:300×20%=60(人, 补全统计图,如图所示:

    (3360°×20%=72°, 答:“C”层次所在扇形的圆心角的度数为72°；

    (44000×(30%+40%=2800(人, 答:估计该小区4000名居民中对“广场舞”的看法表示赞同(包括A层次和B层次的大约有2800人．
    点评: 此题考查了条形统计图,扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题意是解本题的关键．

    四、解答题(第21题12分,第22题12分,共24分
    21．(12分(2014•抚顺如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答


    下列问题: (1画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
    (2画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
    (3△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是,请直接写出对称轴所在直线的解析式．


    考点: 作图-旋转变换；待定系数法求一次函数解析式；作图-平移变换．. 专题: 作图题．
    分析: (1根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置,然后顺次连接即可；
    (2根据网格结构找出点D、E、F绕点O按顺时针方向旋转90°后的对应点D1、E1、F1的位置,然后顺次连接即可；
    (3根据轴对称的性质确定出对称轴的位置,然后写出直线解析式即可． 解答: 解:(1△A1B1C1如图所示；

    (2△D1E1F1如图所示；

    (3△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形, 对称轴为直线y=x．

    点评: 本题考查了利用旋转变换作图,利用平移变换作图,轴对称的性质,熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置．

    22．(12分(2014•抚顺近年来,雾霾天气给人们的生活带来很大影响,空气质量问题倍受人们关注,某学校计划在教室内安装空气净化装置,需购进A、B两种设备,已知:购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元．



    (1求每台A种、B种设备各多少万元？
    (2根据学校实际,需购进A种和B种设备共30台,总费用不超过30万元,请你通过计算,求至少购买A种设备多少台？

    考点: 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．. 分析: (1根据题意结合“购买1台A种设备和2台B种设备需要3.5万元；购买2台A种设备和1台B种设备需要2.5万元”,得出等量关系求出即可； (2利用(1中所求得出不等关系求出即可． 解答: 解:(1设每台A种、B种设备各x万元、y万元,根据题意得出: , 解得:, 答:每台A种、B种设备各0.5万元、1.5万元；

    (2设购买A种设备z台,根据题意得出: 0.5z+1.5(30﹣z≤30, 解得:z≥15, 答:至少购买A种设备15台．
    点评: 此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用,关键是弄懂题意,找出题目中的关键语句,列出方程和不等式．

    五、解答题(满分12分
    23．(12分(2014•抚顺如图,在矩形ABCD中,E是CD边上的点,且BE=BA,以点A为圆心、AD长为半径作⊙A交AB于点M,过点B作⊙A的切线BF,切点为F． (1请判断直线BE与⊙A的位置关系,并说明理由； (2如果AB=10,BC=5,求图中阴影部分的面积．


    考点: 矩形的性质；切线的判定与性质；扇形面积的计算．. 分析: (1直线BE与⊙A的位置关系是相切,连接AE,过A作AH⊥BE,过E作EG⊥AB,再证明AH=AD即可；
    (2连接AF,则图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积． 解答: 解:(1直线BE与⊙A的位置关系是相切, 理由如下:连接AE,过A作AH⊥BE,过E作EG⊥AB, ∵S△ABE=BE•AH=AB•EG,AB=BE,


    ∴AH=EG, ∵四边形ADEG是矩形, ∴AD=EG, ∴AH=AD, ∴BE是圆的切线；

    (2连接AF, ∵BF是⊙A的切线, ∴∠BFA=90° ∵BC=5, ∴AF=5, ∵AB=10, ∴∠ABF=30°, ∴∠BAF=60°, ∴BF=AF=5, ﹣∴图中阴影部分的面积=直角三角形ABF的面积﹣扇形MAF的面积=×5×5=．

    点评: 本题考查了矩形的性质、切线的判定和性质、三角形和扇形面积公式的运用以及特殊角的锐角三角函数值,题目的综合性较强,难度不小,解题的关键是正确做出辅助线．

    六、解答题(满分12分
    24．(12分(2014•抚顺某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克与销售价x(元/千克之间的函数关系如图所示:


    (1求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
    (2求每天的销售利润W(元与销售价x(元/千克之间的函数关系式．当销售价为多少时,每天的销售利润最大？最大利润是多少？
    (3该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少？


    考点: 二次函数的应用．. 分析: (1设函数关系式y=kx+b,把(10,40,(18,24代入求出k和b即可,由成本价为10元/千克,销售价不高于18元/千克,得出自变量x的取值范围；
    (2根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系,利用二次函数的性质得最值即可；
    (3先把y=150代入(2的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值．
    解答: 解:(1设y与x之间的函数关系式y=kx+b,把(10,40,(18,24代入得
    , 解得, ∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60(10≤x≤18；

    (2W=(x﹣10(﹣2x+60 =﹣2x2+80x﹣600, 对称轴x=20,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大, ∵10≤x≤18, ∴当x=18时,W最大,最大为192．
    即当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润是192元．

    (3由150=﹣2x2+80x﹣600, 解得x1=15,x2=25(不合题意,舍去
    答:该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为15元．
    点评: 本题考查了二次函数的应用,得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键,结合实际情况利用二次函数的性质解决问题．

    七、解答题(满分12分
    25．(12分(2014•抚顺已知:Rt△A′BC′≌Rt△ABC,∠A′C′B=∠ACB=90°,∠A′BC′=∠ABC=60°,Rt△A′BC′可绕点B旋转,设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．



    (1如图1所示,当点C′在AB边上时,判断线段AD和线段A′D之间的数量关系,并证明你的结论；
    (2将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时,(1中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由；
    (3将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角(0°≤α≤120°,当A、C′、A′三点在一条直线上时,请直接写出旋转角的度数．


    考点: 几何变换综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．. 专题: 综合题．
    分析: (1易证△BCC′和△BAA′都是等边三角形,从而可以求出∠AC′D=∠BAD=60°,∠DC′A′=∠DA′C′=30°,进而可以证到AD=DC′=A′D．
    (2易证∠BCC′=∠BAA′,从而证到△BOC∽△DOA,进而证到△BOD∽△COA,由相似三角形的性质可得∠ADO=CBO,∠BDO=∠CAO,由∠ACB=90°就可证到∠ADB=90°,由BA=BA′就可得到AD=A′D． (3当A、C′、A′三点在一条直线上时,有∠AC′B=90°,易证Rt△ACB≌Rt△AC′B (HL,从而可以求出旋转角α的度数． 解答: 答:(1AD=A′D．
    证明:如图1, ∵Rt△A′BC′≌Rt△ABC, ∴BC=BC′,BA=BA′． ∵∠A′BC′=∠ABC=60°, ∴△BCC′和△BAA′都是等边三角形． ∴∠BAA′=∠BC′C=60°． ∵∠A′C′B=90°, ∴∠DC′A′=30°．
    ∵∠AC′D=∠BC′C=60°, ∴∠ADC′=60°． ∴∠DA′C′=30°．
    ∴∠DAC′=∠DC′A,∠DC′A′=∠DA′C′． ∴AD=DC′,DC′=DA′． ∴AD=A′D．

    (2AD=A′D 证明:连接BD,如图2, 由旋转可得:BC=BC′,BA=BA′,∠CBC′=∠ABA′．



    ∴=．
    ∴△BCC′∽△BAA′． ∴∠BCC′=∠BAA′． ∵∠BOC=∠DOA, ∴△BOC∽△DOA．
    ∴∠ADO=∠OBC,=． ∵∠BOD=∠COA, ∴△BOD∽△COA． ∴∠BDO=∠CAO． ∵∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠ABC=90°．
    ∴∠BDO+∠ADO=90°,即∠ADB=90°． ∵BA=BA′,∠ADB=90°, ∴AD=A′D．

    (3当A、C′、A′三点在一条直线上时,如图3, 则有∠AC′B=180°﹣∠A′C′B=90°． 在Rt△ACB和Rt△AC′B中, ．
    ∴Rt△ACB≌Rt△AC′B (HL． ∴∠ABC=∠ABC′=60°．
    ∴当A、C′、A′三点在一条直线上时,旋转角α的度数为60°．






    点评: 本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识,有一定的综合性．

    26．(14分(2014•抚顺如图,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(4,0、B(﹣1,0,与y轴交于点C,连接AC,点M是线段OA上的一个动点(不与点O、A重合,过点M作MN∥AC,交OC于点N,将△OMN沿直线MN折叠,点O的对应点O′落在第一象限内,设OM=t,△O′MN与梯形AMNC重合部分面积为S． (1求抛物线的解析式；
    (2①当点O′落在AC上时,请直接写出此时t的值； ②求S与t的函数关系式；
    (3在点M运动的过程中,请直接写出以O、B、C、O′为顶点的四边形分别是等腰梯形和平行四边形时所对应的t值．


    考点: 二次函数综合题．
    分析: (1应用待定系数法即可求得解析式．
    (2①根据平行线的性质及轴对称的性质求得∠AO′M=∠O′AM,从而求得OM=AM=,进而求得t的值；②根据平行线分线段成比例定理求得ON==t,即可求得三角形的面积S=t2；
    (3根据直线BC的斜率即可求得直线OO′的解析式y=2x,设O′(m,2m,根据O′N=t先求得m与t的关系式,然后根据O′C=OB即可求得． 解答: 解:(1∵抛物线y=ax2+x+c与x轴交于点A(4,0、B(﹣1,0,


    ∴, 解得, ∴抛物线的解析式:y=﹣x2+x+2；

    (2①如图1,∵MN∥AC, ∴∠OMN=∠O′AM,∠O′MN=AO′M ∵∠OMN=∠O′MN, ∴∠AO′M=∠O′AM, ∴O′M=AM, ∵OM=O′M, ∴OM=AM=t, ∴t===2；
    ②由抛物线的解析式:y=﹣x2+x+2可知C(0,2 ∵A(4,0、C(0,2, ∴OA=4,OC=2, ∵MN∥AC, ∴ON:OM=OC:OA=2:4=1:2, ∴ON=OM=t, ∴S===t2．

    (3如图2,∵B(﹣1,0,C(0,2, ∴直线BC的斜率为2, ∵OO′∥BC, ∴直线OO′的解析式为y=2x, 设O′(m,2m, ∵O′N=ON=t, ∴O′N2=m2+(2m﹣t2=(∴t=m, ∴O′C2=m2+(2﹣2m2, ∵OB=O′C, ∴m2+(2﹣2m2=(﹣12, 2,


    解得m1=1,m2=, ∴O′(1,2或(,, ∵C(0,2, ∴当O′(1,2时,以O、B、C、O′为顶点的四边形是平行四边形,此时t=, 当O′(,时,以O、B、C、O′为顶点的四边形是梯形,此时t=．





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