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    第19讲数学学习的基本理论

    时间：2022-11-08 05:10:11    下载该word文档
    第十九讲数学学习的基本理论[学习目标]1、理解布鲁纳、奥苏伯尔等学习理论。2、理解数学学习的基本过程。3、掌握数学学习理论的有关概念和数学学习的心理规律。4、理解迁移的概念和产生迁移的本质。5、掌握概念学习、命题学习、技能学习和问题解决学习的内容和方式。数学教育的对象是学生，他们是数学教育活动的主体。学生获得数学知识、掌握数学技能、发展数学能力，以及养成良好的数学素养，都是在不断的数学学习过程中逐步完成的。现代数学教育理论的最大突破点就在于它认识到：在讨论“教的规律”之前，首先必须了解“学的规律”，即研究学生是“如何学习数学”的问题。揭示数学学习的内在规律，有利于教师采取积极有效的教学方法，提高数学教学的质量。第一节有关学习理论对数学学习的启示对于学习的过程，有两种基本的见解：一种是以桑代克、斯金纳为代表的刺激——反应联结的学说，这种学说认为学习的过程是盲目的、渐进的、尝试错误直至最后取得成功的过程。学习的实质就是形成刺激与反应之间的联结；另一种是以布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学说，这种学说认为学习的过程是原有认知结构中的有关知识与新学习的内容相互作用，形成新的认知结构的过程。其实质是，有内在逻辑意义的学习材料与学生原有的认知结构关联起来，新旧知识相互作用，从而新材料在学习者头脑中获得了新的意义。本节主要介绍布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学习理论，并在此理论的基础上研究数学学习的过程，通过对学生数学学习过程中的心理分析，揭示数学学习过程的基本规律。一、认知——发现理论和数学学习63
    布鲁纳是西方认知心理学的主要代表人物之一，他的认知—发现理论起源于完形说。他继承了完形说的观点，否认刺激与反应之间的直接联系，认为学习是通过认知，获得意义和意象，从而形成认知结构的过程。布鲁纳认为学习包含三种几乎同时发生的过程：(1新知的获得；(2知识的改造；(3检查知识是否恰当和充足。他主要关心的是人们借以主动选择知识，记住知识和改造知识的手段，认为这就是学习的实质。进而他提出发现是达到目的的最好手段，所以学习的实质在于发现。因而人们把他的理论称为认知——发现说。布鲁纳没有专门的学习理论专著，他的学习理论大多是和教学理论，课程理论联系在一起的。在他的教育理论和课程理论中蕴含着学习论的思想。1959年美国科学院召开会议，讨论如何改进中小学数理学科的教育。布鲁纳是这次大会的主席，他在著名的大会总结报告《教育的过程》中系统地阐述了自己的教学思想，主要包括以下几个方面。(1教育在智育方面的目标是传授知识和发展智力布鲁纳提出：我们也许可以将追求优异成绩作为教育的一般目标，但是，应该弄清楚追求优异成绩这个说法指的是什么意思。它在这里指的是，不仅要教育成绩优良的学生，而且要帮助每个学生获得最好的智力发展。布鲁纳将“帮助每个学生获得最好的智力发展”列为教育的一般目标，具有非常重要的意义。(2要让学生学习学科知识的基本结构。布鲁纳认为：学生对所学材料的接受必然是有限的。怎样才能使这种有限的接受在他们以后一生的思想中有价值？对这个问题的回答是：不论我们教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。所谓学科的基本结构，是指学科的基本原理，是把每门学科的事实、零散的知识联系起来的基本概念、基本公式、基本法则。布鲁纳认为：将学科基本结构作为教学的中心内容，让学生掌握学科的基本结构有如下好处：①懂得基本原理可以使得学科更加容易理解。因为抓住了基本原理，就可以根据这个原理去理解许多特殊的现象和事实。②掌握基本结构有助于知识的记忆。因为没有形成结构的知识，很快就会遗忘。降低64
    遗忘率的好方法，就是根据基本原理来组织论据；需要时只要借助这些基本原理来推断论据，就可将一件事实重新回忆起来。③掌握基本原理有助于学习的迁移。将事物作为基本原理的特例去理解，可以使学生根据已学得的知识去推及以后遇到的问题。④从小就开始学习学科的基本结构，有利于缩小目前小学、中学和大学的学习过程中“低级”知识和“高级”知识之间的差距。(3注重儿童的早期智力开发布鲁纳提出一个大胆的假设：任何学科都能够用在智育上是正确的方式，有效地教给任何发展阶段的任何儿童。(4提倡“发现学习”的方法所谓发现学习，就是学生不是从教师的讲述中得到一个概念或原则，而是在教师组织的学习情境中，学生通过自己的头脑亲自获得知识的一种方法。布鲁纳认为，无论是学生独立进行的发现学习，或是在教师指导下进行的发现学习，都可以锻炼学生的思维，它是使学生的理智发展达到最高峰的有效手段。从布鲁纳的报告和书中可以看出，他对数学学习和数学教学很感兴趣。布鲁纳和他的同事们进行了大量的数学学习实验，从中总结出了四个数学学习原理。(1建构原理。学生开始学习一个数学概念、原理或法则时，要以最合适的方法建构其代表。年龄较大的学生，可以通过呈现较抽象的代表掌握数学概念。但对大多数中学生，特别是低年级学生，应该建构他们自己的代表，特别应从具体的形象的代表开始。例如，讲limn1=0这一概念时，可用“要多小有多小”的形象描述让学生理解。n(2符号原理。如果学生掌握了适合于他们智力发展的符号，那么就能在认知上形成早期的结构。数学中有效的符号体系使原理的扩充和新原理的创造成为可能。例如，当表示方程的符号形成之后，就能学习解多项式方程的一般方法。布鲁纳认为，对于中学低年级的学生，表示函数的最好方法是使用以下的符号：□=2△+3,其中□和△代表自然数。逐渐地用y=2x+3来表示函数，最后用y=f(x表示函数。布鲁纳认为，应当用螺旋式的方法来建构数学中的符号体系。这里的螺旋式方法指的是以直观的方式引进每一个数学概念，并使用熟悉的65
    和具体的符号表示数学概念的方法。简单地说，符号原理就是要根据学生的智力发展水平，使其达到相应的抽象水平。(3比较和变式原理。比较和变式原理表明，从概念的具体形式到抽象形式的过渡，需要比较和变式，要通过比较和变式来学习数学概念。例如，在几何中，比较圆的弧、半径、直径和弦，能使学生对这些概念理解得更清楚。况且有些概念本身就是通过比较定义的，例如，负数是正数的相反数，不是有理数的那些数称为无理数。布鲁纳认为，比较是帮助学生直观地理解数学概念和发展其抽象水平的最有用的方式之一。(4关联原理。关联原理指的是应把各种概念、原理联系起来，置于一个统一的系统中进行学习。在数学教学中，教师不仅要帮助学生发现数学结构间的差别，而且也要帮助学生发现各种数学结构间的联系。布鲁纳认为，如果要使学生的学习卓有成效，就必须说明和理解数学概念间的联系。布鲁纳的教学和学习理论，对我们有如下几点启示：(1在数学教学过程中，不仅应使学生掌握数学知识的概念、定理、公式等，还应理解数学知识的来龙去脉，应注重知识的产生过程，而不是孤立地记住一些数学结论。(2在表示数学知识时，要根据学生的情况，考虑是通过一系列实例呢，还是通过一些概念和原理，或是一系列符号。例如，在中学低年级，函数概念只能这样来表示：把米换算成尺；产量不变，总产量和亩数。稍高一点的年级就可用下面的例子来表示函数概念了：一系列物体的有序对，y=2x,y=x等。到高中，可以下述形式给出函数概念：y=f(x是x的函5数，如果集合X中的每一个元素a在Y中存在唯一的元素b和它对应，使得b=f(a。(3在数学教学过程中，应把学习过的数学知识按一定的方式构造好，以便于学生记忆和保持。(4为了“迁移”做好充分的准备，应使学生对数学基本原理有深刻的理解，从而根据原理的结构，把掌握的模式应用到类似的事物中。例如，学生掌握了完全平方公式(ab2a22abb2的结构和特征，就可以利用此公式把下列二元三次式化成完全平方式66
    y2yxxy(x242(ab22(abcc2(abc22(5要使学生享受到数学智力活动的乐趣，把从中得到的愉悦作为鼓励学生学习的重要手段。二、认知——接受理论和数学学习20世纪50年代，许多数学教育工作者认为，在数学教学中普遍应用的讲授法会导致学生的机械学习，而发现学习，探究学习是促进有意义学习的好方法。因此，许多人否定了讲授法在学校教学中的地位，只有部分人认为，讲授法在过去曾经起过良好的作用，今天不应把它作为不好的教学方法抛弃。正是在这样的形势下，美国心理学家奥苏伯尔提出了有意义学习理论。他的理论属于认知心理学范畴，但他不象布鲁纳那样强调发现学习，而是强调有意义的接受学习。因而他的理论可以称为认知——有意义接受学习理论。奥苏伯认为，学习过程是在原有认知结构基础上，形成新的认知结构的过程；原有的认知结构对于新的学习始终是一个最关键的因素；一切新的学习都是在过去学习的基础上产生的，新的概念、命题等总是通过与学生原来的有关知识相互联系，相互作用条件下转化为主体的知识结构。奥苏伯尔为了说明他的有意义学习理论，把学习从两个维度上进行划分：根据学习的内容，把学习分为机械学习和有意义学习；根据学习的方式，把学习分成接受学习和发现学习。机械学习是指学生并未理解由符号所代表的知识，仅仅记住某个数学符号或某个词句的组合。例如关于函数符号y=f(x,学生可能知道这是函数的符号，也知道y代表因变量，x代表自变量，但它真正的含义并不十分清楚。表现在不能识别R→R:y=f(x=x²和u=f(v=v²是同一个函数。或者会背函数的定义，但不知其意义，这些都是机械学习的表现。“有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的(非任意的和实质性的(非字面的联系”。这里所谓的非人为的联系，就是符号所代表的新知识同原有知识的联系。例如，要使对数概念的学习成为有意义的学习，就要把对数概念与指数概念、开方概念、实指数幂的性质等建立联系，即建立所谓的非人为的联67
    系。所谓实质性的联系，指用不同语言或其他符号表达的同一认知内容的联系。例如对数概念，“㏒ab”；“求以a为底b的对数就是求a的多少次方等于b”；a同一个意思。这三者的联系就是实质性的联系。简单地说，有意义学习就是学生能理解由符号所代表的新知识，理解符号所代表的实际内容，并能融会贯通。再以函数为例，不仅理解函数概念的文字意义，而且能理解符号意义。即理解了：(1函数的定义关键在于定义域和对应法则，而与函数符号中用什么字母表示无关；(2谈论函数一刻也离不开定义域，有时没有明确指明定义域，而且还可用表格、图像给出；(4“随处定义和单值定义”这两条本质特征缺一不可，否则不成其为函数了。这样的学习才是有意义学习。奥苏伯尔认为，学习者原有认知结构中的适当知识是否与新的学习材料建立“非人为的联系”和“实质性联系”，乃是区分有意义学习和机械学习的两个标准。接受学习指学习的全部内容是以定论的形式呈现给学习者。这种学习不涉及学生任何独立的发现，只需要他将所学的新材料与旧知识有机地结合起来(即内化即可。例如学习对数概念，以定论的形式呈现在学生面前(这里并不排斥为便于学习而提供的一些辅助材料，学生通过把它和a＝b相联系，从而掌握对数概念，这种学习就是接受学习。发现学习的主要特征是不把学习的主要内容提供给学习者，而必须由学生独立发现，然后内化。例如从许多不同的实例中，发现正比例函数的关系。又如发给学生每人一个三角形纸板，要他们用拼凑的办法独立去发现三角形的三个内角的关系等等。有意义学习和机械学习，发现学习和接受学习是划分学习的两个角度，这两个维度之间的关系是既彼此独立，但又互相联系。奥苏伯尔认为，它们之间存在着交叉关系（如表4—1）。有意学习有意义的接受学习有意义的发现学习机械学习机械的接受学习机械的发现学习接受学习发现学习表21—1也就是说接受学习可以是机械学习，也可以是有意义学习，发现学习可以是机械学习，也可以是有意义学习。例如，学生在解决某一问题时，这时学习的方式是发现学习，因为结Ngolabb三者表示的是68
    论并未呈现在学生面前，要让学生自己去获得。在大多数情况下，学生不用理解其中所涉及的概念、法则和定理，只要记住问题的类型和操作程序，就能完成操作任务。正像小学生不懂分数概念，可以熟练地进行分数运算，初中学生不懂方程的概念和同解原理可熟练地解方程那样。因此，解决问题若不建立在真正理解概念、原理、法则、定理的基础上，若不理解操作各部分的意义，就不可能是真正的，有意义的发现。奥苏伯尔关于有意义学习的基本观点是：在学校条件下，学生的学习应当是有意义的，而不是机械的。从这一观点出发，他认为好的讲授教学是促进有意义学习的唯一有效方法。探究学习，发现学习等在学校里不应经常使用。即奥苏伯尔提倡有意义的接受学习。基于上述观点，奥苏伯尔对产生有意义学习的条件作了探讨。他认为要产生有意义的接受学习，学习者必须具备两个条件：第一，学习者必须具有意义学习的心向，即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来。如果学生企图理解学习材料，有把新学习的和以前学过的东西联系起来的愿望，那么该生就是以有意义的方式学习新内容。如果学习者不想把新知识与以前学习的知识联系起来，那么有意义学习就不会发生。第二，新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在的意义。通过把新的数学概念和原理与已有的数学知识相联系，学生就能把新内容同化到原有的认知结构中去。为了保证有意义学习，教师必须帮助学生建立他们自己的认知结构与数学学科结构之间的联系。使得每一个新的数学概念或原理都与学习者原有认知结构中相应的数学概念和原理相联系。从奥苏伯尔的学习理论，至少可以得到以下几点启示：(1在数学教育改革进一步深化的今天，数学教育界提出了各种教学方法，例如“启导发现法”，“茶馆式教学法”，“六课型单元教学法”等等。那么究竟应该选择哪种教学方法呢?奥苏伯尔的观点告诉我们，在提供某种教学方法时，不要贬低甚至否定另一种教学方法，也不要把某种教学方法夸大到不恰当的地步。实际上，教学方法的作用是不能离开特定的教学情境的，某种教学方法在这种教学情境中有效，也许在另一种教学情境中无效或效果很小。(2在班级授课制这一教学组织形式下，以接受前人发现的知识为主的学生应以有意义的接受学习作为主要的学习方法，辅助以发现学习，因为发现学习对于激发学生的智慧潜能，69
    学会发现的技巧具有积极意义。这样，数学教育工作者就应当把更多的精力放在有效的讲授教学方法上。(3教学的一个最重要的出发点是学生已经知道了什么。教学的策略就在于怎样建立学生原有认知结构中相应的知识和新知识的联系，以及激发学生有意义学习的心向。三、数学学习中的“建构学说”由上述数学学习一般过程的认知理论可见，数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程。也就是说，数学知识不能从一个人迁移到另一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构。这就是建构主义的数学学习观或称为数学学习的建构学说。下面就此观点作些说明：1、关于数学学习活动“建构性”的断言，不仅是认知心理学的一般原理在数学中的直接应用，而且也是数学特殊性质的具体表明。任何数学知识的获得都必须经历“建构”这样一个由“外”到“内”的转化过程。2、已有的知识、经验等构成了新的认识，亦即新的建构活动的必要基础3、与具体的、零散的知识相比，整体性的知识是更为重要的，因为只有后者才能为新的认识活动提供必要的“认识框架”。4、要注意所说的“建构”活动的“社会性质”。就学生的数学学习过程而言，尽管数学知识的“建构”活动最终是由学生相对独立地完成的，但必定是在一定的“社会环境”之中进行的。我们应当首先看到数学教师的作用，同时也应充分重视“学习共同体”，即同学、小组、班级、学校、家庭对学生认识活动的影响。建构学说对数学学习有何指导意义呢?可以从三方面来看：(1建构学说强调主体的感知。既然数学学习是一个主动的建构过程，从而就必须突出学习者的主体作用。一切数学知识、技能和思想方法的获得，都必须经过学习者主体感知、消化、改造使之适合自己的数学认知结构，才能被理解与掌握。对学习者来说，应该充分利用教师指导的有利条件，但又不能以此为唯一的依靠，发挥自己的主观能动性，按照自己的70
    实际，“跳一跳”的方式去学习，才能取得最佳的效果。(2建构学说又强调外部环境的制约和影响。要使数学学习学有所得，真正形成优良的认知结构，那就必须有一个反思、交流、批判、检验、改进、发展的过程。因为数学学习在一定程度上总要重复历史的主要进程，即重视人类对数学的建构过程。对学习者来说，不应满足于自己的一得之见，而应注意与教师及其他同学的交流，通过交流实现再提高。(3建构学说还强调学习是发展，是改变观念。按照建构学说的看法，知识就是某种观念，因此知识是无法传授的，传递的只是信息。学习者应该对这些信息作观念的分析与综合，进行有选择的接收和加工处理。此外，认识是一个不断发展与深化的过程。因此，学习者的认知结构也就有一个不断发展、不断建构的过程。这种在发展中学习，在学习中改变观念的观点，对指导数学学习是十分有益的。第二节数学学习的心理过程以布鲁纳、奥苏伯尔等为代表的认知学习理论认为，学习过程是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内容相互作用，形成新的认知结构的过程。以下我们在认知学习理论基础上来探讨学生数学学习的心理过程。一、数学认知结构数学学习过程是学生把人类积累的数学知识通过认识活动转化为个体头脑中的知识结构的过程。在这种转化的过程中存在三种结构：其一是知识结构，也就是知识本身的逻辑体系。数学知识结构是以最基本的原理和方法为基本出发点，逻辑地组织起来的，因而具有逻辑性、系统性的特点。知识结构对学习者来说是认识的客体。其二是认识结构（或心理结构），即人在认识活动中的心理过程（感觉、知觉、思维、想象、注意、记忆等）以及个性心理特征（情感、意志、兴趣、体质等），认识结构对学习者来说是主体特征。其三是认知结构，它是学习者头脑里的知识结构，是学习者观念的全部内容和组织。也就是说，认知结构不仅包括学习者头脑中的全部知识，而且还有这些知识的内部组织方式。知识结构、认识结构和认知结构三者之间的关系如下图：71
    相互作用知识结构认识结构（客体）（主体）图21—2学生在数学认识活动中，也同样存在着某种结构，我们把这种结构称之为数学认知结构。所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。实践表明，学生的数学认知结构有其固有的特点，这些特点是：第一，数学认知结构是数学知识结构和学生的心理结构相互作用的产物。形成数学认知结构的过程是学生对数学知识结构加工的心理过程。受学生的观察、注意、感知、理解、记忆等各种心理因素的影响，学生的心理素质决定着所形成的数学认知结构的质量。第二，数学认知结构是学生头脑中已有数学知识、经验的组织。现代心理学研究认为，“学习是认知结构的组织或重新组织，”即强调已有知识和经验在学习中的作用。学生头脑里的所有数学知识、经验的组织，也可以是特殊数学知识内容的组织。前者所指的是学生数学学科的全部知识、经验的组织特征，这些特征影响他在数学学科中的一般学习。后者所指的是某一数学知识、经验(如方程的组织特征。也就是说，数学认知结构既是专门化的概念，如“有理数认知结构”、“方程认知结构”，又是一个带普遍性的概念。它体现了数学知识和数学认知的统一。第三，数学认知结构可以在各种抽象水平上来表征数学知识。即数学认知结构是一个有层次的阶梯。最高层次是由所有数学知识、经验有机结合而成的认知结构。数学知识、经验按性质的类似可区分为不同的种类。不同的内容逐渐分化成不同层次的数学认知结构。“每个图式同所有其他图式相协调，而每个图式本身又是由已分化的部分所组成的整体”。如果把不认知结构72
    同数学知识内容的数学认知结构比作图书卡片的话，那么学生的大脑就是索引存储器，也就是说，学生的大脑像索引存储器那样，是一个数学认知结构的集合，当大脑接受到刺激后，就能用相应的认知结构进行辨别和区分。第四，每一个学生的认知结构各有特点，学生的心理素质存在差异，决定了每个学生的认知方式和认知水平也有明显差异，因而他们的认知结构必然要具有自己的个性特点。第五，数学认知结构不是一种消极的组织，而是一种积极的组织，它在数学认知活动中，乃至一般的认知活动中发挥着作用。形成了一定的数学认知结构后，一旦大脑接受到新的数学信息。人们就能不自觉地、甚至是自动地用相应的认知结构对新信息进行处理和加工。第六，数学认知结构是在数学认知活动中形成和发展起来的、不断发展和完善的动态组织。随着数学认知活动的进行，学生的认知结构不断分化和重组，并逐渐地变得更加精确和完善。正是因为数学认知结构具有这样的特点，所以通过数学教学能促进学生数学认知结构的完善和发展。第七，从功能上来说，学生既能借助已有认知结构去掌握现有的知识(例如，平行四边形概念的学习，实质上是平行概念和一般四边形概念的结合，学生就是在这一认知结构基础上学会平行四边形概念的；又能借助于原有认知结构创造性地去解决问题。数学认知结构是数学学习过程的一个中心的心理成份。二、数学学习的四个阶段根据学习的认知理论，我们认为数学学习过程是一个数学认知过程，即新的学习内容和学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。依据学生认知结构的变化，我们认为数学学习过程可以分为四个阶段：输入阶段、相互作用阶段、操作阶段和输出阶段。数学学习的一般认知过程可图示如下：新的原有数学产生新的数学初步形成新的形成新的数学认知结构，达到预期目标数学学习认知认知结数学认输入作用操作输出内容结构构雏形知结构73
    阶段阶段阶段阶段图21—3从上图看出数学学习过程包括四个阶段：输入阶段，新旧知识相互作用阶段、操作阶段和输出阶段。1．输入阶段学习起源于新的学习情境。输入阶段实际上就是给学生提供新的学习内容，创造学习情境。在这一学习情境中，学生原有的数学认知结构和新学习内容间发生冲突，使得它们在心理上产生学习新知识的需要，这是输入阶段的关键。为了引起学习，首先学习者必须具有学习热情(也就是奥苏伯尔所说的学习心向。对于没有学习意向的人，无论外界怎么强制也是学习不起来的。因此，在输入阶段，教师所提供的新学习内容应当适合学生的能力、兴趣，激发其内部学习动机。2．相互作用阶段产生学习的需要之后，学生原有的数学认知结构和新的学习内容就发生作用，数学学习便进入相互作用阶段。学生原有数学认知结构和新的学习内容的相互作用有两种最基本的形式：同化和顺应。用瑞士心理学家皮亚杰的话说，“刺激输入的过滤或改变叫同化；内部图式的改变，以适应现实，叫做顺应”。同化是数学认知的方式之一。当新的数学内容输入后，学生并不是消极地接受这一刺激，而是利用自己已有的数学认知结构对新内容进行改造，使新内容同化到原有的数学认知结构中。实际上，同化是把新内容纳入原有数学认知结构，从而扩大原有认知结构的过程。例如，初中一年级学生学习负有理数，就是把负有理数同化到正有理数结构中去的过程。学生在小学学过正有理数，已经形成了正有理数的认知结构，因此，当负有理数概念输入时，学生就在他们的头脑中筛选出可以纳入负有理数的数学认知结构——正有理数认知结构。根据这个认知结构，学生对负有理数进行改造，即建立负有理数和正有理数之间的联系：在数轴上，负有理数是零点左边的数，负有理数的性质和正有理相反，负有理数的加、减运算可用正有理数来定义，等等。这样负有理数就同化到正有理数认知结构中，原有的正有理数认知结构74
    就被扩充成有理数认知结构。学生学习的数学内容是多种多样的，有时学生头脑中的认知结构不一定能与新学习内容相吻合，换句话说，可能新学习的内容是全新的一类。这时就不能使新内容同化到原有的一些认知结构中去，而要改造原有的认知结构，以使新内容能适应这种认知结构，这就是顺应。例如，初一学生学习代数，可以说是通过顺应来学习的。尽管他们在小学学过算术，但是算术和代数的不一致性，学生就不能简单地依靠同化方式在原有算术认知结构的基础上学习代数，而要改造算术认知结构，通过字母代表数的学习，逐渐顺应代数学习。因此，如果说同化是改造新学习内容使之与原有认知结构相吻合的话，那么，顺应则是改造学生的认知结构以适应新学习内容的需要。同化和顺应是认知过程中学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于同一个学习过程中，只是各侧重不同而已。例如上面所说的负有理数学习。其实，原有的正有理数认知结构也有所改变，以顺应新知识的学习；同样学习代数的例子也存在着同化的过程。新旧知识相互作用阶段的关键是学生头脑中是否有相应的知识与新知识发生作用，学生不但必须具有与新内容相适应的知识，而且必须能顺利地提取出来。教师的作用就在于查明学生头脑中是否具有相应的知识，并通过恰当的手段促进原有知识和新知识的相互作用。3．操作阶段操作阶段实质上是在第二阶段产生的数学认知结构雏形的基础上，通过练习等活动，使新学习的知识得到巩固，从而初步形成新的数学认知结构的过程。通过这一阶段的学习，学生学到了一定的技能，使新学习的知识与原有认知结构之间产生较为密切的联系。4．输出阶段这一阶段基于第三阶段，通过解决数学问题，使初步形成的新的数学认知结构臻于完善，最终形成新的良好的数学认知结构，学习的能力得到发展，从而达到数学学习的预期目标。从上面关于四个阶段的分析中，可以看出：无论是新知识的接受，还是纳入，都取决于学生原有的数学认知结构。因此，在任何条件下，已有的数学认知结构总是学习新数学内容的基础，即使是学习最简单的数字“2”，在75
    对数量为一的各类事物从数量关系方面概括时，也是以已有的关于数字“1”的认知结构作为依据的。这说明教师在教学时首先要考虑学生知道了什么?掌握到什么程度?然后再考虑教学内容的难易程度，呈现序列等问题，确保学生原有认知结构和新数学知识相互作用的顺利进行。第三节数学学习的迁移学习能够迁移，这是学习中的普遍现象。例如学好数学，有助于理化的学习，学习了方程的知识，有利于不等式的学习。有关学习迁移的认识，在我国已有很长历史，早在两千多年前，孔子就指出：“举一隅不以三隅反，则不复也”“回也，闻一以知十”。意思是说学习可以“举一反三”、“触类旁通”，使学生达到“由此及彼”。对学习迁移的发生最早的系统解释是18世纪的形式训练说，第一次把迁移问题作为教育问题的核心提到日程上来的是美国心理学家布鲁纳。之后，学习迁移受到各国心理学家和教育家的关注，甚至把它作为一个教育教学的原则，提出要“为迁移而教”。数学教育的目的是为了让学生牢固地掌握基本技能和发展学生的能力、态度，以其对学生的学习、走出校门后的学习和工作奠定。从这种意义上来说，数学教育的目的无非是举一反三，追求一种学习对另一种学习的促进作用。因此在数学学习中研究迁移问题，有其特殊、深刻的意义。一、迁移的一般概念学习的迁移是指学习者所习得的学习结果对其他学习的影响。在学习过程中，先前的学习会影响到以后的学习；同时，后面的学习有时也会影响以前的学习。我们把前者叫做顺迁移，后者叫逆迁移。学习中已获得的学习结果对其他学习的影响可能是积极的，也可能是消极的。那些起积极的，促进作用的影响叫做正迁移；起消极的抑制作用的影响，叫做负迁移。在数学学习中，产生正迁移的现象是很多的。如学习方程的知识有助于学习不等式；学习数的运算规则有助于学习“式”的运算规则。象这种迁移在心理学上称为顺向正迁移。若后面的学习反过来能巩固、促进先前的学习，这种迁移称为逆向正迁移。例如，学习了解析76
    几何以后学生重新来思考平面几何中的一些问题就变得容易了。在数学学习中也会产生负迁移。例如，学习了解方程以后，学生掌握了“方程两边同乘以一个不等于零的数或式，方程的解不变”这一解方程的原理，往往会套用到解不等式中去，作为解不等式的原理，这就产生了顺向负迁移。把数集扩充到有理数后，学生学习有理数的减法会对算术减法产生负迁移，学生在做5-3时，也应用“减去一个数等于加上这个数的相反数”法则来进行5-3=5+(-3=2这就是逆向负迁移。根据上面的分析，关于数学学习的迁移可作如下分类：顺向正迁移正迁移逆向正迁移迁移顺向负迁移负迁移逆向负迁移二、迁移现象的本质数学教育的目标归根到底是为了达到正迁移，因而搞清楚迁移的实质对于数学教学中最大限度地实现迁移有着重要的意义。心理学历史上，存在着各种学习的迁移理论：形式训练说，相同要素说，概括化理论，以及现代认知心理学从认知结构出发的迁移理论。尽管各种理论各自有其片面性，但他们有着其可鉴借之处。1、形式训练说该学说认为，多是通过对组成心智的各种官能的训练，以提高各种能力如注意力、记忆力，推理能力，想象力等而实现的。人的心智是由“意志”、记忆、“思维”、“推理”等官能组成的。学习要收到迁移的效果，就要经历“形式训练”，使之在不同的学习中认出形式上相似的东西。按照形式训练说的观点，数学教学中让学生做难题，则是训练“心智”的好方法，这能让学生学会观察、分析、比较，比记住一些具体知识更有益。但形式训练说片面地强调77
    了“形式”，而低估了实在内容的价值。2、相同要素说(共同要素说该学说是19世纪末，20世纪初桑代克提出的。相同要素说认为，一学习之所以有助于另一学习是因为两种学习具有相同因素的原因。若两种情境含有共同因素，不管学习者是否觉察到这种因素的共同性，总有迁移现象发生。3、概括化理论和桑代克同时期的贾德提出迁移的概括化理论。该理论认为，两个学习活动之间存在的相同要素，只是产生迁移的前提，而产生迁移的关键则是学习者在两种活动中概括出它们的共同原理，例如，学生在学习解二元一次方程组时，获得了“消元”这一解二元一次方程组的一般原理，紧接着在学生解三元一次方程组时，如果学生能把“消元”和解三元一次方程组联系起来，那么就能把解二元一次方程组的一般原理“消元”迁移到解三元一次方程组中去。4、认知结构观点现代认知学派的代表布鲁纳认为：掌握学科的基本结构，领会基本的原理和观念，才是通向迁移的大道。两种学习并不能直接发生作用，而是通过学生原有认知结构间接地发生作用的；也就是说学生认知结构的特点影响着迁移的范围和程度。如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的。三、影响学习迁移的因素分析从上面有关学习迁移的各种理论分析看，影响学习迁移的因素是多方面的，既有客观因素，又有主观因素，下面就影响数学学习迁移的主要因素作一简单的分析讨论。1、客观因素：两种学习之间的类似性若两种学习活动之间存在着许多类似的东西，那么这两种学习之间容易产生相互间的影响。学习活动的类似性包括学习情境的类似性、学习材料的类似性，反应结果的类似性。当两种学习情境类似时，由于学习者对前一学习活动情的熟悉感，就会指引他进行类似的学习，就是说迁移容易在情境类似的两种学习间发生。当两种学习活动中学习的材料彼此类似时也78
    容易实现迁移。例如：解二元一次方程组的学习活动和解三元一次方程组的学习活动之间很容易产生相互影响。这是因为学习内容的相似性，学生很容易做出概括。反应结果类似的两种学习活动同样也可相互影响，例如：“日常的垂直”概念会影响“几何的垂直”概念的学习，这种学习的迁移就是由于它们的反应结果类似——“垂直”——而行起的。2、主观因素：知识的概括水平学生头脑里知识的概括程度是影响学习迁移的重要因素之一。美国心理学家贾得的迁移实验表明，掌握一般原理，有利于迁移。布鲁纳强调学科的知识结构，其主要目的也在于此。如果学生能发现两种学习之间的关系，概括出两种学习的共同本质要素，那么这两种学习之间就能产生迁移。而能否概括出两种学习之间的共同要素，依赖于学生的概括能力的发展水平。实验表明：数学概括能力强的学生，很容易概括出问题的结构，把解决一个问题的方法迁移到解决类似的问题中去。四、问题解决中的迁移1、问题解决中的目标题问题解决中的目标题可分为两种：同型目标题和类似目标题。如果目标题和例题具有相同解法，则称为同型目标题；和例题有些相似但用同一解决不能解决的问题称为类似目标题。2、能够促进向类似目标题迁移的知识目前被认为有两种，一种是例题解法本身，即学习者从例题的学习中，获得例题的解法，但对例题的问题情境及其解法不进行抽象，在解决目标题时将例题的解法直接映射到目标题上。另一种知识不是例题的解法，而是对例题的问题情境及其解法进行抽象和概括，使学习者获得比例题解法更抽象的知识，即“如何建立解法”的策略性知识。解法例题目标题以解法为媒介的迁移过程79
    压缩解法(建立解法的策略性知识问题情境及其解法例题目标题以压缩解法为媒介的迁移过程(1以解法为媒介的迁移因为类似目标题中含有例题中没有的要素，只学习单一的例题向类似目标题的迁移很难发生，所以有人主张：为了解决类似目标题必须学习很多例题，在解决目标题时将这些例题的解法进行组合。(Reed&Bolstad,1991,Catrambone&Holyoak1990将例题的解法进行组合，虽然能够促进向类似目标题的迁移，但存在着下面问题：①记忆很多的例题和例题的解法对学习者是一个很大的负担。②目标题只限于用学过的例题解法组合能解决的问题。③问题解决时，只是套用例题的解法，缺少灵活性。(2以“压缩解法”为媒介的迁移1997年Teraokusumi&Ichikawa使用“追击问题”进行了实验研究；研究证明：从例题中获得比解法更抽象的知识，即“如何建立解法”的策略性知识能够促进向类似目标题的迁移。Terao.etal将这种建立解法的策略性知识叫做“压缩解法”。“压缩解法”是一种问题解决策略，概括性高，根据心理学家贾德的概括化理论，学习者获得“压缩解法”后，易于揭示类似问题的本质，用已有的知识去理解和类化目标题的有利于迁移产生。Terao.etal(1997的研究证实了“压缩解法”的获得能够促进向类似目标题的迁移，但目前为止，有关的实验研究并不多，还有不明确的问题，即“压缩解法”与数学问题解决中的解题策略、数学的思想方法是什么关系；学生如何获得“压缩解法”，这是值得我们今后探80
    讨的问题。五、迁移规律在数学中的应用1、合理组织教学活动，加强新旧知识的联系根据前面的有关理论，如果学生能对新旧知识作出概括，找出他们之间的联系，那么，就能实现学习之间的迁移。因此，加强新旧知识之间的联系(共同要素是实现迁移的基本规律。实际上，数学的逻辑严谨性特点，既为加强新旧知识的联系奠定了基础，又为加强新旧知识的联系提出了要求。这样，教师每时每刻都应考虑学生的已有知识，充分利用已有知识的特点来学习新知识，促使正迁移实现。2、强调数学知识的系统性，提高数学知识的概括水平学习迁移效果受知识经验的概括水平的制约是实行迁移的又一基本规律。如果学生认知结构中的已有知识经验概括水平高，那么容易把新知识纳入到原有认知结构中，学习迁移就比较顺利。根据这一迁移规律，在教法上，教师应当善于总结不仅帮助学生掌握普遍适用的数学方法，而且要帮助学生概括数学知识，使之成为一个系统，从而提高学生头脑中的数学知识概括水平，真正达到“领会基本原理和观念”，“通向迁移的大道”。3、注重规律，教会学生如何学习。（1）使学生切实理解基础知识和基本原理，唯有如此，才能使学生对所学内容运用自如，触类旁通，促使正迁移的发生。一知半解的学习，不但不能产生正迁移，反而容易引起负迁移。（2）教会学生如何学习。“教，是为了不教”这句话已成为当今许多数学教师追求的目标之一。因此，教师在数学教学中要强调学习指导，教给学生一些认知策略，学习策略以至于解题策略，使学生学会学习养成良好的学习习惯，掌握学习方法，顺利地实现学习的迁移。第四节数学知识的学习一、数学概念的学习81
    1、数学概念学习的内容数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性,是人们通过实践,从数学所研究的对象的许多属性中,抽出其本质属性概括而成的。概念的形成,标志人的认识已从感性认识上升为理性认识。数学概念是进行数学推理、判断的依据,是建立数学定理、法则、公式的基础,也是形成数学思想方法的出发点。因此数学概念学习是数学学习的基础,数学概念教学是数学教学的一个重要的组成部分。数学概念学习的实质就是概括出数学中一类事物的共同本质属性,正确区分同类事物的本质属性与非本质属性,概念的肯定例证和否定例证。一般来说,数学概念学习包括以下四个方面:第一,数学概念名称。例如，“三角形”、“正方体”和“圆”等。第二,数学概念定义。例如，“三角形”的定义是“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。”第三,数学概念的例子。符合数学概念定义的事物是数学概念的正例,不符合数学概念定义的事物是数学概念的反例。例如，直角三角形是“三角形”的正例,而四边形则是“三角形”的反例。第四,数学概念属性。例如，“三角形”这个数学概念的属性是平面图形、有三条边、有三个角等。2、数学概念学习的形式数学概念学习的形式一般有两种：（1）数学概念形成数学概念形成是从大量的实际例子出发，经过比较、分类从中找出一类事物的本质属性，然后再通过具体的例子对所发现的属性进行检验与修正,最后通过概括得到定义并用符号表达出来。数学概念形成的过程有以下几个阶段：①观察实例。观察概念的各种不同的正面实例，可以是日常生活中的经验或事物,也可以是教师提供的典型事物。例如，要形成平行线的概念,可以观察黑板相对的两条边,立在路82
    边的两根电线杆,横格练习本中的两条横线等。②分析共同属性。分析所观察实例的属性，通过比较得出各实例的共同属性。例如上面的各个实例分别有各自的展性，通过比较可以得出它们的共同属性是:两条直线、在同一个平面内、两条直线间的距离处处相等、两条直线不相交、两条直线可以向两边无限延伸等。③抽象本质属性。从上面得出的共同属性中提出本质属性的假设。例如，提出平行线的本质属性的假设是：在同一个平面内、两条直线间的距离处处相等、两条直线不相交。④确认本质属性。通过比较正例和反例检验假设，确认本质属性。例如举出平行直线、相交直线和异面直线的例子确认平行线的本质属性。⑤概括定义。在验证假设的基础上,从具体实例中抽象出本质属性，推广到一切同类事物，概括出概念的定义。例如可以概括出“在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。”⑥符号表示。用习惯的形式符号表示概念。例如平行线用符号“∥”表示。⑦具体运用。通过举出概念的实例,在一类事物中辨认出概念,或运用概念解答数学问题,使新概念与已有认知结构中的相关概念建立起牢固的实质性联系,把所学的概念纳入到相应的概念体系中。（2）数学概念同化概念同化是美国心理学家奥苏伯尔提出的一种概念学习形式。指的是新信息与原有的认知结构中的有关概念相互发生作用，实现新旧知识的意义的同化，从而使原有认知结构发生某些变化。数学概念同化的学习过程一般是直接揭示数学概念的本质属性,通过对数学概念的分类和比较，建立与原有认知结构中的有关数学概念的联系,明确新的数学概念的内涵和外延，再通过实例的辨认,将新数学概念与原有认知结构中的某些数学概念相区别,将新的数学概念纳入到相应的数学概念系统中,从而完善原有的认知结构。数学概念同化的学习过程有以下几个阶段:①揭示本质属性。给出概念的定义、名称和符号，揭示概念的本质属性。例如，学习二2次函数的概念,先学习它的定义:“如果yaxbxc(a,b,c,是常数a0那么,y叫做x的二次函数。”②讨论特例。对概念进行特殊的分类,讨论各种特例，突出概念的本质属性。例如二次函83
    数的特例是yax2,yax2c,yax2bx等。③新旧概念联系。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系,把新概念纳入到相应的概念体系中，同化新概念。例如把二次函数和一次函数、函数等联系起来,把它纳入到函数概念的体系中。④实例辨认。辨认正例和反例,确认新概念的本质属性,使新概念与原有认知结构中有关概念精确分化。例如举出y2x3,y3x2x5,y2x24等让学生辨认。⑤具体运用。通过各种形式运用概念，加深对新概念的理解,使有关概念融会贯通成整体结构。数学概念形成与数学概念同化是有区别的,数学概念形成需要的是对物体或事件的直接经验,从这些物体或事件中抽象出它们的共同属性。而在数学概念同化的过程中,新的数学概念的共同属性一般都是教师指出的,不需要学生自己去发现,重要的是使学生把新知识与头脑中已有的有关知识联系起来。在概念形成过程中,要求学生对所发现的共同属性进行检验，并通过对所发现的共同属性的修正,最终确定它们的本质属性。`而在数学概念同化过程中,则要求学生辨别所学习的新概念与原有认知结构中的有关概念的异同。并将新概念纳入到原有的认知结构中去。但是数学概念形成与数学概念同化也不是互相排斥的，在教学中把这两种数学概念学习形式有机地结合起来,常常可以收到较好的效果。具体做法可以是,教师在向学生讲述定义之前,有意识地举出一些数学概念的实际例子,一方面让学生观察、思考，并从中归纳事物的本质属性,另一方面又直接揭示这些例子中所蕴含的某一类事物的本质属性,并给出有关数学概念的定义。这样学生对数学概念既有感性认识又有理性认识,从具体到抽象，符合人的认识规律,同时又可提高教学效率,使学生能在较短的时间内正确理解数学概念所反映的事物的本质属性。例如，在学习异面直线的概念时,可先观察一些实例，然后直接向学生揭示异面直线的本质属性,给出它的定义,并让学生从实例中归纳所观察的事物的本质属性,将两者作比较，接着又可让学生举一些正例和反例，使学生懂得为什么异面直线的确切定义是“不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。”在此基础上将异面直线的概念纳人原有认知结构中。84
    二、数学命题的学习1、数学命题学习的内容命题通常指表达判断的句子,即有真假的语句。命题有真假之分。表达正确判断的命题称为真命题，表达错误判断的命题称为假命题。数学命题指的是与数学知识有关的命题，数学命题也有真假之分。例如，“两个正数的积为正数”是真命题，若两个数的积为正数,则这两个数都是正数是假命题。在一个演绎系统中,不需要证明而把它们作为判断其他命题的真假的初始命题称为公理。从公理或从已被证明的其他真命题出发,用逻辑推理的方法推导出来,并可进一步作为判断其他命题真假的依据的真命题,称为定理。数学中的公式也可作为命题的一种形式。公式一般是指用数学符号表示几个量之间的关系的式子,它具有普遍性,适用于同类关系的所有问题。数学中大量有明确结论的习题也可作为数学命题。一部分带有探索性或创造性的问题,以及一些可以构成多种真命题的开放性命题都是数学命题的组成部分。数学命题学习主要是指学习数学公理、定理、法则、公式,其目的是为了掌握这些数学命题,并能应用数学命题解决实际问题,或为进一步学习其他数学命题做必要的准备。数学命题学习包含以下四个方面:（1）数学命题的内容这是数学命题学习的最基本的部分。要让学生会用准确的语言说出数学命题的内容。（2）数学命题的结构能分清数学命题的条件和结论,掌握它们之间的关系,并进一步分析该数学命题与其他有关概念、命题之间的关系。（3）数学命题的证明数学命题的证明体现了数学命题与原有知识结构之间的逻辑联系,是培养学生逻辑思维能力的有效途径。数学命题证明的学习有助于加深对数学命题的理解和记忆，增强学习数学命题的自信心,提高学习兴趣。数学命题的证明采用多种方法,如分析法、综合法、演绎法、85
    数学归纳法、反证法、同一法等。这些方法不仅对于数学学习十分重要的,而且对于其他知识的学习也是十分重要的。数学命题的证明不仅是对数学命题的直接验证,而且还可以培养学习者的创新意识。（4）数学命题的应用数学命题在现实生活和在后继的数学命题学习中有广泛的应用。因此数学命题的应用是数学命题学习的重要组成部分,要通过例题和习题让学生领会定理和公式的适用范围、应用的基本规律和注意事项。2、数学命题学习主要有以下两种形式:（1）数学命题发现学习发现学习是学生独立地获得知识的学习方式。学生从具体例子出发，通过操作、实验、分析、推理,发现一般结论。发现学习强调学习过程，重视直觉思维,有利于激发学生的智慧潜能，培养学生的内部学习动机,学会发现的技能。数学命题发现学习的过程是一个探索的过程。例如，在学习了三角形内角和定理后，通过将四边形分割成两个三角形,可以得到四边形内角和等于360º,通过将五边形分割成一个四边形和一个三角形，可以得到五边形的内角和为540º,依次类推,通过归纳可以得到多边内角和定理。当然在有些情况下,数学命题发现学习也可以通过演绎推理进行。数学命题发现学习的过程大致有以下几个环节:①探索发现。通过观察实际例子,找到这些例子所具有的共同条件,并在这些条件下进行探索,发现结论。发现的过程可以是一个实验与操作的过程,即通过实验与操作发现结论。例如，掷一枚均匀硬币,得到正面的概率为0.5，可以通过全班学生做大量的实验,统计实验的总次数及出现正面的次数,计算频率，进行验证，并推断试验次数无限增加后,频率的稳定值为0．5。②提出假设。在从一些实例发现某些共同的特性后,通过概括，进一步提出假设，将所发现的结果上升为数学命题。③验证假设。通过理论或实践对提出的数学命题进行验证。在很多情况下,是对命题进86
    行逻辑论证。还有，由于数学命题的严密性的要求,常常会出现提出的命题不够完整，在验证的过程中须进行修正,使得到的数学命题更为完备，表达更为精练,更为确切。④得出结论。在验证假设的基础上，得到数学定理或公式。例如，用发现学习的方式学习三角形内角和定理的过程是：首先进行探索，用量角器量许多三角形的三个内角，并将它们相加，得到这些三角形三个内角和。然后通过观察，发现这些三角形的内角和接近180°和等于180°。于是，提出假设,三角形的三个内角的和等于180°。接着再通过演绎推理,证明这个假设成立，最后得到三角形的内角和定理。⑤理解和应用。通过例题和练习进一步深入理解数学命题,并学会它的各种应用。（2）数学命题接受学习接受学习是将学习的内容以定论的形式呈现给学生,学生将这些内容加以内化。数学命题接受学习是把数学命题直接呈现在学生面前,通过分析命题所涉及的数学概念以及数学命题的条件与结论,得出命题的逻辑关系,然后学习命题的证明过程,并用实际例子对命题的正确性进行验证。将所证得的命题纳人学生己有的认知结构中，形成新的知识体系。最后还要学习命题的应用。数学命题接受学习以理解为主，在接受学习中也应当有学生的活动，例如，学生的操作、实验、练习、讨论和回答问题等。这些活动形式不仅在发现学习形式中被经常采用,而且在接受学习形式中也被广泛采用。数学命题接受学习的过程大致有以下几个环节:①分析命题。观察命题,理解命题的含义,分析命题的条件与结论、命题的逻辑结构。②激活旧知识。在原有的认知结构中找出与所学习的命题有关的概念、定理和公式等，建立新的数学命题与原有认知结构的联系。为此要对与所学习的命题有关的数学概念和命题作适当的复习,这样有助于学生加深对所要学习的数学命题的理解，为数学命题学习扫除障碍。③证明命题。在此基础上进一步分析命题证明的思路,得出命题的证明过程。④理解和应用。通过例题和练习进一步深入理解数学命题,并学会它的各种应用。数学命题发现学习和接受学习两种形式各有利弊,发现学习有助于培养学生的探索精神,87
    但要花费较多的时间。接受学习是由教师控制的，它比较紧凑,节约时间。但在对激发学生学习的兴趣引起学生对实际问题的关注等方面又显得不足。教师应根据所学命题的特点选择适当的学习形式。由于数学命题学习的上述两种形式各有优点与不足,因此在教学中常常采用将两种形式相结合的方法。当命题学习发现较难实现时,可部分采用接受学习的方法。即由教师作较多的提示,对命题中难以发现的环节作适当的点拨，甚至是教师直接讲述，在越过这一部分后,再让学生进行探索,尝试发现。在数学命题接受学习的过程中，教师也可以选择一部分内容,让学生通过探索有所发现。两种命题学习形式的有机结合可以实现相互间的取长补短,从而提高命题学习的教学效果。还应指出的是教学技术的现代化为数学命题的发现学习提了更大的可能。多媒体软件的动态设计,以及一些高级计算器的使用，使许多数学命题的结论变得十分形象,十分直观,因易而易于发现。三、数学技能的学习1、数学技能的涵义技能是完成某种任务的心智或动作的活动方式，它需要通过练习才能形成。“技能同能力、知识是不同的概念，三者既有联系，又有区别。技能是指智力活动和操作活动的基本活动方式，是指动作本身和动作方式的熟练程度；而能力则是保证动作达到熟练，能胜利完成某些活动的心理条件；知识是对事物的意义、结构和规则的认知。”数学技能是在数学学习过程中，通过训练而形成的一种动作或心智的活动方式。例如，用圆规、直尺、量角器、三角板等工具画图，操作计算器或计算机，依运算法则进行运算，按步骤进行推理、论证等，它们都可以按照一定的程序和方式，一步步完成。这些活动方式都是数学技能。有了一定的数学技能，就能准确协调地、熟练地进行数学活动，完成一定的数学任务。例如，掌握了将任一正整数开平方的技能后，像“求3960100”这样的题目，根本用不着多思考，就能准确迅速地去解决了。中学数学中有关的数学技能，范围是很广的。我们可将其分为两类：88
    （1）心智活动技能。如数的计算技能，式的恒等变形的技能，解方程、解不等式的技能，推理论证技能，运用数学方法的技能等。（2）动作技能。如运用工具绘图的技能，测量技能，使用计算A具（算盘、数学用表、计算器、计算机等）的技能等。这里所说的“心智活动”，包括感觉、知觉、想象、思维等借助于内部语言在头脑中进行的认识活动。而心智活动技能是指顺利完成某些数学活动的心智活动方式。所谓动作技能则是完成某一数学活动所需的一系列外部可见的实际动作及其熟练程度。这两种数学技能既有联系又有区别，在数学活动中，往往有各自的功能，有时又必须联合发挥作用。例如作函数的图像这样的活动，不仅需要动作技能，还要心智活动技能。一般说来，一方面，心智活动技能的形成，与动作技能有关；另一方面，动作技能又受心智活动技能的控制。2、数学技能的学习过程数学技能的学习，就是将一连串动作方式或心智活动方式，经练习而形成熟练的、自动化的反应的过程。它一般需要通过传授与练习来完成。这一过程中，动作技能或心智活动技能是客体，传授者与练习者是主体。（1）数学动作技能学习的过程及特点教学心理学认为：动作技能的学习可分为四个阶段：①认知；②分解；③定位；④自动化。图示如下：形成熟练动作（自动化阶段）学习连续动作（定位阶段）练习单个动作（分解阶段）讲解示范（认知阶段）89
    就数学动作技能的学习而言，在认知阶段中，学生要了解与某种数学技能有关的知识、性能与功用，了解动作的难度、要领、注意事项及动作进程。也就是说，认知的内容包括知识和动作两方面；认知阶段乃是教师讲解示范，学生观察、记忆、想象。在分解阶段中，教师把整套动作分解成若干个局部动作，让学生逐个学习。所谓动作定位，就是在完成分解动作的基础上，将整套动作的顺序通过多次练习而固定下来。自动化阶段是数学技能学习的最后阶段，在这一阶段，形成熟练的技巧。数学动作技能学习，有以下几个特点：①数学动作技能的学习往往先快后慢，中间有起伏。经过“高原期”（学习成绩暂时处于停止上升的时期，在这时期以后，成绩仍会有提高）之后趋向熟练、稳定。②动作的控制，经历以视觉为主到以动觉为主的交替过程。③动作的熟练，依赖于反复练习、强化。④易受动机、情绪支配。（2）数学心智活动技能学习的过程数学技能学习中，主要涉及的是数学心智活动技能。我们可把数学心智活动技能学习的过程分为四个阶段：①认知阶段。即让学生了解并记住与技能有关的知识及事项，形成表象，了解活动过程和活动结果。这一阶段，实际上是知识学习、法则学习。因此，一般说来，数学教学中技能的学习是要以知识的理解为其前提的，如果不理解，就较难形成与此有关的技能。例如，要形成“利用对称性（或轮换性）运用待定系数法分解因式”的技能，必须先理解什么叫对称多项式（或轮换多项式），什么是多项式的次数，以及“多项式恒等定理”，还要掌握这种方法的解题步骤。②示范、模仿阶段。即学生在教师的示范下，领会与理解数学技能9并根椐教师的示范模仿着进行数学活动，以获得数学技能。例如，讲“综合除法”，教师要用具体例子进行示范，边讲边写在黑板上，然后学生就能模仿着进行运算。③有意识的口述阶段。即学生进行某些活动（夕口综合除法）时，自己进行言语表述，90
    往往是边说边做，而在这过程中，某种活动方式是明确意识到的。④无意识的内部言语阶段。即学生不自觉地运用运算法则进行运算，运算过程的进行和运算法则的运用完全自如了。这一阶段，学生掌握了心智技能，对于技能所涉及的数学活动达到了熟练的程度。这时刺激和反应几乎同时发生，中间不用有意识地思考。3、数学技能学习的注意事项（1）一般说来，数学教学中技能的学习要以知识的理解为其前提。但是知识的理解也不等于技能的形成，它必须通过练习才能获得。当然，在技能学习的过程中，也会促进知识陶理解，并且在技能形成后，将十分有利于后面知识的学习，而成为以后学习的不可少的条件。例如，若没有形成整式运算的技能，那么必将阻碍分式等知识的学习。所以知识与技能是相互促进、相辅相成的。（2）技能学习要经历一个从“会”到“熟”的过程，其间要通过有计划有目的的练习，才能完成这一转变。首先，要对形成什么技能及其意义有明确的认识，对所需的知识要清楚理解，这样才能产生学习的主动性与积极性。例如，对有理数乘法运算技能的学习，要在明确有理数乘法的意义和法则的基础上进行练习，并且要求每步运算都要以有理数乘法的法则作为依据。如（＋6）×（－9），据有理数乘法法则，应分两步进行，即先决定积的符号，再决定积的绝对值。明确和小学学习过的乘法有什么不同，特别是符号法则：“同号两数相乘为正，异号两数相乘为负”，是练习的重点，并且避免与有理数加法的符号法则相混淆。可见，法则的掌握是练习的结果，而不是背熟的。其次，在明确上述“算理”的练习基础上逐步简缩思维的过程，把活动连贯协调起来，使有些中问的过程省略。如对（＋6）×（－9）直接得出－54，而不必分成两步，先决定积的符号，再给出积的绝对值。这是前面练习的必然结果，它使顾此失彼、互相干扰的现象逐渐减少以至消失，局部、分散的活动日益形成完整、协调的一个整体。最后，通过这一技能与其他技能相结合进行练习，使之配合协调，并达到熟练的程度。如有理数乘法运算技能的最后形成，还需与有理数加减除运算技能相配合，通过四则混合运算等的练习，才能达到。（3）及时矫正错误，注意总结经验教训。由于数学技能的学习过程是一步接一步的。每一步都是下一步的基础，一步出偏差，则影响后面各步的进行，因此，在学习中，教师要91
    启发学生辨认错误，及时纠正。并且与学生一起，认真总结数学技能学习过程中的经验、教训，以帮助学生正确、迅速地掌握有关数学技能。四、数学问题解决学习1、数学问题解决概述在20世纪60年代席卷大半个地球的“新数学”运动，由于过分强调数学的抽象结构，忽视数学为现实生活服务，终以失败而告终。70年代又提出了“回归基础”，但这一口号被认为是消极的。为了提出美国数学教育的目标，1980年4月，美国教师协会（NCTM）公布了一份指导80年代学校数学教育的纲领性文件《关于行动的议程》(AnAgendaforAction——RecommendationforMathematicsofthe1980。该文件对80年代课程发展提出一些设想，他们提出三条：第一条就提出“必须把问题解决（ProblemSolving）作为80年代中学数学的核心”。认为：直到下一个十年，发展解题能力应该是数学教育工作者直接的奋斗目标。在问题解决方面的成绩如何，将是衡量个人和国家所具有的有效标准。要求数学课程围绕问题解决来组织；数学解题的定义和方法应予扩展，使之包括范围更宽的手段和方法；数学教师应创造更有利于问题解决的课堂气氛；应为所有的年级编制传授解题技巧的适当教材；80年代的教学科研应侧重于调查研究问题解决的本质，找到提高解题者能力的有效途径。同时，问题解决需要使用广泛的数学方法，传统的技能远远不够。因此提出十项基本技能：（1）解决问题能力；(2把数学应用于日常生活的能力；(3对结果合理性的觉察力；（4）近似估计能力；(5合理计算能力；(6几何结构；(7度量；(8阅读、解释和制作图表、框图的能力；(9用数学作预报；(10计算机文化。1982年，英国数学教育的权威性文件《考克罗夫特（Cockcroft）报告》响应了美国提出的这一口号，明确提出：数学教育的核心是培养解决数学问题的能力，强调数学只有应用于各种情形才是有意义的。以后各国纷纷响应，至1984年第五届国际数学教育大会（ICME—5），“问题解决”已成为大会最主要的议题之一。1989年，日本在新修改的《学习指导要领》中，正式将“课题学习”的内容纳入其中，使“问题解决”的思想以法律的形式确定92
    下来，日本的“课题学习”就是以“问题解决”为特征的数学课。现在，世界上几乎所有的国家都将提高学生问题解决的能力作为数学教育的主要目标之一，问题解决已成为国际数学教育研究的一个热点。在我国，对“问题解决”的研究虽然起步较晚，但发展十分迅速，并受到数学教育界的普遍重视。近十年来，随着人们对“问题解决”认识的提高及观念的转变，对这一专题的研究正在由议论转为探究，由现象描述转为实质探索。正是这一转变过程的具体体现，在各种升学考试中逐步地出一些“应用问题”、“开放性问题”作为考题，使“问题解决”进入了我国的教学阵地，并受到数学教育界的普遍重视。我国的中学数学教学与国际上其它一些国家的中学数学教学比较，具有重视基础知识教学，基本技能训练，数学计算、推理和空间想象能力的培养等显著特点，因而我国中学生的数学基本功比较扎实，学生的整体数学水平较高。然而，改革开放也使我国数学教育界看到了我国中学数学教学的不足。其中比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多；学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。为了解决这些问题，一些学者认为，其有效途径是在中学数学教育中体现问题解决的思想。问题解决作为学习数学课程的一个“实践性”环节，不仅能使学习者深入地理解数学概念，全面系统地掌握数学知识，进一步领会、掌握各种定理、公式和法则，提高自己的技能技巧，巩固所学的知识。同时，通过解决探索性问题、应用问题、开放性问题、竞赛问题等丰富的数学活动，可使学生学会如何根据现实世界中的数学事实、现象、关系等，经过观察、比较、分析、综合、抽象、概括等步骤，提出科学的猜想和假设；学会如何运用已有的数学理论和方法去解决一些复杂的数学问题，从而提高分析问题、解决问题的能力；也能使学生品尝到解决数学问题的喜怒哀乐，领略到数学的真谛，磨练自己的意志。所以，“问题解决”和过去单纯地应用定理、公式解题不同，它要求学生以积极探索的态度，综合运用已具有的数学基础知识、基本技能和能力，创造性地解决来自数学课或实际生活和生产实际中的问题，93
    在和困难作斗争中探究数学真理，进而使自身的创新精神和实践能力得到提高。2、问题与问题解决（1）什么是“问题”美国的数学家哈尔莫斯（P·R·Halmos）认为，问题是数学的心脏，他说：“数学究竟是由什么组成的？公理吗？定理吗？证明吗？概念？定义？公式？方法？诚然，没有这些组成的部分，数学就不存在，这些都是数学的必要组成部分，但是，它们中的任何一个都不是数学的心脏，这个观点是站得住脚的，数学家存在的重要的理由就是解题，因此，数学的真正的组成部分是问题和解。”那么，什么是问题呢？1988年召开的第六届国际数学教育大会的一份报告指出：“一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境。”日本学者三轮辰郎在《问题解决能力的育成》中认为：问题是指那些对于解答者来说还没有具备直接的解决方法，对于解答者构成认识上挑战的这样一种局面。我国学者张奠宙在《数学教育学》中认为：所谓有问题，是指一个人面临着某种他所要认识的东西，而对于这种东西他又不能仅仅应用某种典范的解法去解答。波利亚在《数学的发现》中指出：所谓‘问题’，就是意味着要去找出适当的行动，以达到一个可见而不能立即可及的目标。波利亚并从教学的角度对问题作了如下的分类：①鼻子底下就有现成的法则。这类问题只要机械地应用某个法则就可能做出来，而所说的法则又是刚刚讲过的或讨论过的。②带有选择性的应用。这类问题可以应用课堂上先前讲过的某一法则或算法获得解决；然而，究竟应当用哪一条法则或算法却不是一目了然，对此需要学生本人去做出判断。③组合的选择。这类问题需要学生对课堂上讲过的两个或更多的法则或例子进行组合。④接近研究水平。这类问题也要对法则或例子进行组合，但需要更多的创造性，即如必要的改进，对于合情推理的成功应用还可以列出一些提法，但是，不管有多少种不同的叙述，都离不开这样一个本质：问题反映了现有水平与客观需要的矛盾。从系统论的角度看，如果对某人来说，一个系统的全部94
    元素、元素的性质和元素间的关系，都是他所知道的，那么这个系统对于他就是稳定系统。如果这个系统中至少有一个元素、性质和关系是他所不知的，那么这个系统就是一个问题。如果这个问题系统的元素、性质和关系都是有关数学的，那么它就是一个数学问题。因此，一个系统能否算一个问题，与接触它的人有关。一个系统对甲可能是一个问题，对乙就可能不是一个问题。例如，“歌德巴赫猜想”对试图解决它的所有人而言都是一个问题。下面的解方程问题：x³-3x²+2x=0„„„„„„„„„„„„①y³-6y²-4y=6„„„„„„„„„„„„②对于某些学生它们是问题，而对于另一些学生它们则不是问题；也可能②是问题，而①不是问题。因此，一个问题一旦可以使用以前学会的算法轻易地解答出来，那么它就不再被认为是一个问题了。而对于学生来说；数学问题是运用已有的数学概念、理论或方法，经过积极的探索、思考才能解决的问题。而这样的问题应满足下述三个特性:①接受性：学生愿意接受这个问题，并且具有解决它的知识基础和能力基础。这里，各人对问题的接受是有着各自的状况的，包括内部的动因和外部的动因，也可能仅仅产生于经受解答问题的欢乐愿望。②障碍性；学生不能直接看出它的解法和答案，而必须经过思考才能解决，也许最初解答尝试没有结果。③探究性：学生不能按照现成的公式或常规的套路去解，需要进行探索和研究，寻找新的处理方法。（2）问题和习题一般的中学数学教材的习题有三种类型：一种是安排在各个小节的“练习”，是直接应用新知识和新技能进行解答的题目；第二种是各章的每一大段教材之后的“习题”，比“练习”题复杂些，更能体现基本概念、基本定理、基本方法的应用；第三种是每章末的“复习参考题”和“总复习参考题”，这类题目有一部分属于综合题，难度较大，涉及的知识面也较广，富于变化，带有一定的灵活性和技巧性。95
    中学数学教材中的习题一般是条件充分、结论确定、解法典型、供巩固知识的练习用。这些习题是为数学教学和日常训练等设计的，适合于学习知识、训练技能。而“问题”不仅包括教科书上的习题，也应包括那些来自实际的问题；不仅应包括“单纯练习题式的问题(routineproblems”，也应包括“非单纯练习题式的问题(non-routineproblems”；不仅应包括条件充分、结论确定的问题，也应包括条件不充分、结论不确定的开放性问题和具有探索性的问题。“问题”适合于学习发现和探究的技巧，适合于进行数学的原始发现以及学习如何学。因此，两者的外延、所要达到的学习目的大不相同。虽然习题与“问题”有一定的区别，但并不否认习题在数学教学中的作用。为了使学生理解数学概念、定理、法则，全面系统地掌握数学知识，提高解题的技能、技巧，习题有着不可取代的作用。但是，为了培养学生的创新精神和实践能力，有必要挖掘数学中的“好问题”（3）问题解决“问题解决”的含义是什么？不同学者和文件的解释并不统一，甚至同一文件中也有不同的提法。比较典型的观点可归纳为以下5种：①问题解决是心理活动，指的是“人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题，发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理问题办法的一种心理活动。”(邵瑞珍，1982②问题解决是过程。“问题解决是把前面学到的知识运用到新的和不熟悉的情境中的过程”。(NCSM《21世纪的数学基础》，1988这就是说，问题解决是一个发现的过程、探索的过程、创新的过程。③问题解决是教学类型。“在英国，教师们还远没有将‘问题解决'的活动形式看作教或学的类型。他们倾向于将其看成课程附加的东西。”“应将‘问题解决'作为课程论的重要组成部分。”(Cockcroft报告，1982④问题解决是目的。美国全国数学管理者大会（NCSM）在《21世纪的数学基础》(1988中认为“学习数学的主要目的在于问题解决”。因而，学习怎样解决问题就成为学习数学的根本原因。此时，问题解决就独立于特殊的问题，独立于一般过程或方法，也独立于数学的96
    具体内容。“20世纪80年代以来，世界上几乎所有的国家都把提高学生的问题解决的能力作为数学教学的主要目的之一。”（E、ASilver）⑤问题解决是能力。“那种把数学用之于各种情况的能力，叫做问题解决。”（英国Cockcroft报告，1982）美国全国数学管理者大会(NGM把解决问题的能力列为10项基本技能之首。重视问题解决能力的培养、发展问题解决的能力，其目的之一是，在这个充满疑问、有时连问题和答案都是不确定的世界里，学习生存的本领。上述各种解释，在形成上似乎并不一致，但是我们应看到它们所强调的共同的东西，即①问题解决不应仅仅理解为一种具体的技能，它是所有学生必须具备的一种能力，人们无论从事何种实践活动都离不开它；②在问题解决的过程中，需要用到分析、综合、抽象、概括、想象等多种智力活动，对于人的发展有着重要作用。③“问题解决”在教学中为学生提供了一个发现、创新的环境和机会，为教师提供了一条培养学生解题能力、自控能力和应用数学知识能力的有效途径。所以，应该是数学教育所体现的一条主线。而对于学生来说，“问题解决”是指综合地、创造性运用各种数学知识和方法去解决那种并非单纯练习题式的问题，包括实际问题和源于数学内部的问题。在进行问题解决时，学生必须综合所学得的知识，并把它用到新的、困难的状况中去，这就需要学生使用恰当的方法和策略，需要探索和猜想。因此，“问题解决”(Problemsolving比传统意义上的“解题”有了很大的发展。传统意义的“解题”只注重结果、注重答案，而现代意义的“问题解决”更注重解决问题的过程、策略以及思维的方法。“问题解决”的过程是发现的过程，探索的过程，创新的过程；问题解决能力发展的基础是虚心，是好奇和探究的态度，是进行试验和猜测的意向。因此，在数学教学中应该注意：(1给学生提供一种轻松愉快的气氛和生动活泼的问题情景；（2）从学生的已有经验出发提出问题，引起学生对结论的迫切追求的愿望，将学生置于一种主动参与的位置；（3）大胆鼓励学生运用直觉去寻求解题策略，必要时可给一些提示，并适当延长时间；（4）讨论各种成功的解法，如果可能的话，和以前的问题联系起来，对问题进行推广，概括出一般原理。3、问题解决的心理过程97
    问题解决不仅是数学教育的核心，也是心理学学习理论的重要组成部分。因此，问题解决的心理过程最引人注目，许多心理学家和数学教育家对此作过研究和分析，虽然观点各异，却给我们带来一定启示，是值得我们参考和学习的。（1）问题解决的心理机制“问题解决”本是心理学学习理论中的一个重要部分，因此，对问题解决的心理机制的研究最引人注目。但遗憾的是，各种心理学理论对问题解决的解释不同，至今仍未有一个综合性见解。行为主义理论认为问题解决是“试误”，而格式塔理论则认为是“顿悟”。从人工智能研究发展起来的信息加工理论提出：问题解决是一个寻找和接受信息、加工和处理信息的过程。桑代克是美国著名的心理学家，他通过“猫的迷笼实验”发现了动物解决问题过程所表现出的“尝试错误”现象，提出了尝试错误的理论。桑代克所设置的迷笼实验是把饥饿的猫关在迷笼里，迷笼外面有引诱猫的美味佳肴，放入迷笼的猫开始东抓西挠、乱撞乱闯，在这种冲动过程中，猫会偶然拉动打开迷笼的开关，逃出笼外。桑代克把冲出笼外的猫，再关进笼内，如此反复多次，猫从被关进笼内到打开开关、冲出笼外的时间越来越短。桑代克根据这一实验认为：猫在重复尝试中，拉动开关引起的满足性行动的反应与情境刺激发生联结，消除了挠门等的不满足性行为，最后只有正确的行为反应与情境刺激发生联结，才形成解决问题的学习。因此，问题解决是一种“尝试错误”的过程，即对所要解决问题的途径进行尝试，在尝试过程中，不断地改正错误，直至发现问题解决的途径为止。与此相反，格式塔理论的代表人物苛勒用大猩猩进行了实验，提出了“顿悟”理论。他认为问题的解决不是由于尝试错误，而是由于“顿悟”。所谓顿悟就是内在地把握情境的关系性，并依此改变整个情境。为了说明人类的学习，苛勒在1913一1917年间以大猩猩为被试作了大量的学习实验研究，比较著名的有“接竿问题实验”和“叠箱问题实验”。实验时，大猩猩被关在笼内，将大猩猩喜欢吃的香蕉放在笼外不远的地方（即用一根竹竿够不着，两根竹竿接起来可以够得着的地方）。笼内有一根短的竹竿，笼外有一根长的竹竿。大猩猩为了取得香蕉，起初用较98
    短的竹竿去够香蕉，但够不着，在这种情况下，许多猩猩常把竹竿扔向香蕉，然而在用一只取名“苏丹”的大猩猩做实验时，便出现了戏剧性的场面：为了取得香蕉，他用较短的竹竿拨到了另一根竹竿，当他玩弄这两根竹竿时，好像突然明白了什么，于是将两根竹竿接了起来(用较细的竹竿插入较粗的竹竿，用这根接起来的竹竿够到了香蕉。另外一个实验是“叠箱问题实验”。香蕉挂在笼子的顶棚上，笼内有一只木箱。可以使用，要想够到香蕉，须将木箱搬到香蕉下面，然后爬上木箱，跳一下就能够到香蕉。这个问题对于大猩猩们是个难题，但是“苏丹”却在没有帮助的情况下顺利地解决了这个问题。其他的猩猩是在人把箱子搬到香蕉下面，或者他看到了其他猩猩使用木箱后才解决了这个问题。两个实验说明了一共同的问题，那就是，高级动物并不像桑代克所肯定的那样是完全愚蠢的，而是具有一定智慧的，高级动物在问题解决的过程中，运用自己的经验和知识，在对对象做出总体上的观察分析和长时间的思考后，直接接触事物的本质，发现解决问题的途径，问题解决是一种“顿悟”。本世纪50年代，西蒙和纽威尔发现问题解决往往遵循下述过程:把问题(如两个三角形全等吗?分解成次要的问题；（如：有对边相等吗？能证明对边相等吗？）再分解成次要的问题；直到这问题有了解答，就返回到上一层去。这是一个探索过程，错了就回过头去找新的路线。由此看来，复杂的问题解决过程是由大量极简单的基本元素之间相对简单的相互作用集聚而成，因此能够用计算机来模拟这个过程，其中对解题策略的领悟是关键，这种信息加工的认知心理学观点迅速得到发展。1967奈瑟的专著《认知心理学》问世后，认知心理学便成为西方心理学的一个主要方向。现代认知心理学的发展对数学教育理论产生很大的推动，西蒙就曾经说过：“我们可以通过这方面的研究积累知识，去解决更重要的实际问题。如教学生学会解决数学问题。”信息加工的认知理论把问题解决的过程描述为两个阶段：(1寻找和接受信息阶段（或叫做领会与同化），包括了解和发掘所需要的解题条件。学生要用自己的语言转换命题，并整体地将问题吸纳入已有的认知结构即图式(schema中去。其中关键问题是解题者对问题本身的理解，以形成正确的问题空间，它作为解题过程的必要条件，主要表现为自己对问题的重新描述和在头脑中的内部表征，能不能解决问题，就在于能否在内部产生正确的表征，并用99
    一般方法对内部表征进行加工。（2）信息的加工处理阶段。从本质上讲就是将自己过去已经掌握的方法应用于新的情境，通过探索问题空间去解决问题。在从已知状态到目标状态的问题解决过程中，要进行一系列心理操作、思维活动，寻求策略与验证，而关键是对策略的顿悟。上述各种心理学理论从不同的侧面对问题解决的心理机制进行了解释。虽然观点各异，但给我们带来了一定的启示。其实在解决问题过程中，“试误”和“顿悟”并不是绝对分开的，在同一探索过程中，两者常常是交替进行的。在问题解决的某些环节，或者通过尝试错误的行为来解决问题，或者全部依靠顿悟解决问题。不过，这些行为并非完全是随机的行为，而是逐渐寻找信息、建立起信息之间的联系，采取一定策略的有组织的行为。（2）波利亚的解题四步骤在论及关于“问题解决”的研究时，无疑应当首先提及美国著名的数学家、数学教育家乔治·波利亚。他作为数学家，他在众多的数学分支，如函数论、变分学、概率论、数论、组合数学以及计算和应用数学等领域多有建树，留下了许多以他的名字命名的术语和定理。1963年，美国数学会曾授予他最高职业奖。作为一个数学教育家，他曾以数十年的时间悉心研究数学启发法和数学教学，从而为数学方法的现代研究奠定了必要的理论基础。他的教育思想的宗旨是:“教会年轻人去思考”，培养学生的“独立性、能动性和创新精神”，根据社会需要把学生培养成合格的人才。他认为一个人在学校所受的教育应该受益终生，他赞成良好的教育应该“系统地给学生自己发现事物的机会”、“应该帮助学生自己再发现所教的内容”，应该能使学生主动学习，他特别重视发展学生的数学思维能力，强调数学教学要加强思维训练，要发展学生运用所学知识的能力，发展技能、技巧、有益的思考方式和科学的思维习惯，他反复指出：数学教育的目的不仅仅是传授知识，还要“发展学生本身的内蕴能力”。波利亚对数学问题解决的宏观思考过程进行了分析，认为数学解题应分为四个步骤：①理解问题、②拟订计划、③实现计划、④回顾与检验。我们试按波利亚的解题四步骤来认识下题的解题过程：例如，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，P为△ABC内切圆上的动点。求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最小值与最大值。100
    分析：第一步理解题意本题的条件是（ⅰ）c=10，（ⅱ）cosA/cosB=b/a=4/3；（ⅲ）P是三角形△ABC内切圆上的动点，所求的结论是要求出P点到A、B、C三顶点的距离的平方和的最值。综观之，这是一道关于图形的最值问题。第二步拟订计划设想以前未曾遇到过这个问题，但曾见过也解过与密切相关的两类问题：第一，已知三角形某些边角之间的数量关系，要求判断这三角形的形状或解出它。第二，在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形顶点或三边的距离和或平方和的最小值。于是原问题可分裂为两个较为简单的问题：①a、b、c为△ABC的三边，且c=10，cosA/cosB=b/a=4/3，试确定△ABC的形状及其大小。②在确定的△ABC的内切圆上有一动点P，试求PA²+PB²+PC²的最小值与最大值。对①小题，△ABC已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来。对于②小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出。至此，一个比较完整的解题计划可以说是拟定了。第三步实现计划由cosA/cosB=b/a，用正弦定理作代换，得cosA/cosB=sinB/sinA，即sinA·cosA=sinB·cosB或sin2B=sin2A因为cosA/cosB=4/3，知A≠B，且A、B是三角形内角，所以2A=π-2B，即B+A=π/2所以△ABC是直角三角形。再由c=10，b/a=4/3及a²+b²=c²，可解得a=6，b=8。如图1—2，建立直角坐标系，使直角△ABC的三个顶点101
    为A（8，0）、B（0，6）、C（0、0）y在直角△ABC中，有a+b=c+2r，r=2，B所以，内切圆的圆心为Oˊ（2，2），方程为（x-2）²+（y-2）²=4。MN设圆上的任一点为P（x，y），则有PS=|PA|²+|PB|²+|PC|²OA=（x-8）²+y²+x²+（y-6）²+x²+y²图21—4=3{（x-2）²+（y-2）²}-4x+76=3·4-4x+76=88-4x因P是内切圆上的点，故0≤x≤4，于是当X=4时，有最小值72，当x=4时，有最大值88。第四步回顾讨论对于上面解题过程的运算检验无误后可考虑：x=0时，P点运动到BC边上的M，此时的所求平方和最大值为88；当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时所求平方和最小值为72。此外，能否用别的方法来导出结果呢？对第①小题也可一开始用余弦定理作代换，对第②小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种解法（略）本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验例如：（1）如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的繁杂程度明显上升。这说明，对于同样的素材（题设条件），选用不同的加工方法（解题方法），其繁简程度是有显著区别的。（2）从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生。（3）使我们看到：注意数形结合，会使计算大为简化，并且可能揭露问题的实质。102
    自学辅导一、主要内容·本章主要理解的概念是发现学习、意义学习、接受学习、同化、顺应、数学认知结构。·认知——发现学习理论。布鲁纳认为学习包含三种几乎同时发生的过程：(1新知的获得；(2知识的改造；(3检查知识是否恰当和充足。发现学习是锻炼学生的思维，使学生的理智发展达到最高峰的有效手段。学习的关键是理解学科的基本结构。布鲁纳总结出的数学学习原理是：(1建构原理；(2符号原理；(3比较和变式原理；(4关联原理。布鲁纳的有关教学理论对我们的数学教学也有着重要的指导意义。·有意义——接受学习理论。奥苏伯尔把学习从两个维度上进行划分：根据学习的内容，把学习分为机械学习和有意义学习；根据学习的方式，把学习分成接受学习和发现学习。奥苏伯尔提倡有意义的接受学习。学习者产生有意义的接受学习的备条件是：(1学习者必须具有意义学习的心向，即学生必须把学习任务和适当的目的联系起来；(2新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在的意义。·建构主义的数学学习观或称为数学学习的建构学说认为：任何数学知识的获得都必须经历“建构”这样一个由“外”到“内”的转化过程；已有的知识、经验等构成了新的认识，亦即新的建构活动的必要基础；与具体的、零散的知识相比，整体性的知识是更为重要的，因为只有后者才能为新的认识活动提供必要的“认识框架”；要注意所说的“建构”活动的“社会性质”。·依据布鲁纳、奥苏伯尔为代表的认知学习理论，学习过程是学生原有认知结构中的有关知识和新学习内容相互作用，形成新的认知结构的过程。同化和顺应是数学学习过程中学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同形式，它们往往存在于同一个学习过程中，只是各侧重不同而已。·学习的迁移是指学习者所习得的学习结果对其他学习的影响。心理学历史上，存在着103
    各种学习的迁移理论：形式训练说，相同要素说，概括化理论，以及现代认知心理学从认知结构出发的迁移理论。尽管各种理论各自有其片面性，但他们有着其可鉴借之处。从有关学习迁移的各种理论分析看，影响学习迁移的因素既有客观因素：两种学习之间的类似性；又有主观因素：知识的概括水平。在数学问题解决中，能够促进向类似目标题迁移的知识，目前被认为有两种，一种是例题解法本身，即学习者从例题的学习中，获得例题的解法；另一种知识不是例题的解法，而是对例题的问题情境及其解法进行抽象和概括，使学习者获得比例题解法更抽象的知识，即“如何建立解法”的策略性知识。·数学知识的学习可分为数学概念的学习、数学命题的学习、数学技能的学习、数学问题解决的学习，且每种学习都有其自身的特点和规律。·数学概念学习包括概念的名称、概念的定义、概念的例子和概念的属性；数学概念学习的形式有两种：数学概念的形成和数学概念的同化。·数学命题学习包含数学命题的内容、结构、证明和应用；数学命题学习的形式有两种：数学命题发现学习和数学命题接受学习。·数学技能是在数学学习过程中，通过训练而形成的一种动作或心智的活动方式。中学数学中的数学技能可将其分为两类：心智活动技能；动作技能。数学技能学习中，主要涉及的是数学心智活动技能。我们可把数学心智活动技能学习的过程分为四个阶段：认知阶段；示范、模仿阶段；有意识的口述阶段；无意识的内部言语阶段。·数学问题解决是当前数学教育的热点问题，问题与习题、问题解决与解题，既有区别又联系；很多心理学家从不同的角度分析了问题解决的心理机制，有“试误”说；“顿悟”说；还有模拟计算机的信息加工理论。波利亚把数学问题解决分为4个步骤：理解问题；制定计划；实施计划；回顾与检验。二、重点和难点分析重点：对基本学习理论和数学学习的心理过程和心理规律的理解。难点：理解有意义学习、接受学习、同化、顺应、认知结构等概念。这些概念都于人的104
    心理活动有关，因此，学习时要结合自身的学习活动进行理解。105

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