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    高中自主招生考试数学试题(含答案详解)

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    一中自主招生考试数学试题
    一．选择题〔共6小题,满分24分,每小题4分〕
    1．〔4分〕如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根,则实数a的取值X围是〔 〕
    A．﹣2＜a＜2 B． C． D． 2．〔4分〕假期里王老师有一个紧急通知,要用 尽快通知给50个同学,假设每通知一个同学需要1分钟时间,同学接到 后也可以相互通知,那么要使所有同学都接到通知最快需要的时间为〔 〕 A．8分钟 B．7分钟 C．6分钟 D．5分钟 3．〔4分〕如图是一个正方体的表面展开图,已知正方体的每一个面都有一个实数,且相对面上的两个数互为倒数,那么代数式 A．的值等于〔 〕
    B．﹣6 C． D．6 经过一定△ABC对应点P′4．〔4分〕〔2008•##〕如图,把图1中的△ABC的变换得到图2中的△A′B′C′,如果图1中上点P的坐标为〔a,b〕,那么这个点在图2中的的坐标为〔 〕 A．〔a﹣2,b﹣3〕 B．〔a﹣3,b﹣2〕 C．〔a+3,b+2〕 D．〔a+2,b+3〕
    5．〔4分〕如图,四边形BDCE内接于以BC为直径的⊙A,已知：的长是〔 〕 A． B．7 C．4+3 6．〔4分〕如图,X三同学把一个直分别为3cm,4cm的直角三角形硬桌面上翻滚〔顺时针方向〕,顶点置变化为A1⇒A2⇒A3,其中第二次,则线段DED．3+4角边长纸板,在A的位翻滚时边A2C1
    被桌面上一小木块挡住,使纸板一与桌面所成的角恰好等于∠BAC,则A翻滚到A2位置时共走过的路程为〔 〕 A．8cm B．8πcm C．2cm D．4πcm 二．填空题〔共6小题,满分24分,每小题4分〕 7．〔4分〕若x+=3,则x2+= _________ ．
    8．〔4分〕如图,E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若S△APD=15cm2,S△BQC=25cm2,则阴影部分的面积为 _________ cm2． 9．〔4分〕如图,正方形ABCD的边长为4cm,正方形AEFG的边长为1cm．如果正方形AEFG绕点A旋转,那么C、F两点之间的最小距离为 _________ cm． 10．〔4分〕对于正数x,规定f〔x〕=,计算f〔〕+f〔〕+f〔〕+…+f〔〕+f〔〕+f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔98〕+f〔99〕+f〔100〕= _________ ． 11．〔4分〕甲,乙,丙3人用擂台赛形式进行训练,每局2人进行单打比赛,另1人当裁判,每﹣局的输方去当下﹣局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时发现甲共打了12局,乙共打了21局,而丙共当裁判8局．那么,整个比赛的第10局的输方一定是 _________ ． 12．〔4分〕〔2002•##〕如图所示,在正方形ABCD中,AO⊥BD,OE,FG,HI都垂直于AD,EF,GH,IJ都垂直于AO,若已知S△AIJ=1,则正方形ABCD的面积为 _________ ． 三．解答题〔共6小题,满分52分〕 13．〔6分〕把几个数用大括号围起来,中间用逗号断开,如：{1,2,3},{2,7,8,19},我们称之为集合,其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时,实数8﹣a也必是这个集合的元素,这样的集合我们称为好的集合．
    1 / 4
    .
    〔1〕请你判断集合{1,2},{1,4,7}是不是好的集合； 〔2〕请你写出满足条件的两个好的集合的例子． 14．〔8分〕〔2007•##〕在课外活动时间,小王、小丽、小华做"互相踢踺子〞游戏,踺子从一人传到另一人就记为踢一次．
    〔1〕若从小丽开始,经过两次踢踺后,踺子踢到小华处的概率是多少？〔用树状图或列表法说明〕 〔2〕若经过三次踢踺后,踺子踢到小王处的可能性最小,应确定从谁开始踢,并说明理由． 15．〔8分〕某中学为了进一步改善办学条件,决定计划拆除一部分旧校舍,建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元,建造新校舍每平方米需要800元,计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米,在实施中为扩大绿化面积,新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%,结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． 〔1〕求原计划拆、建面积各是多少平方米？
    〔2〕若绿化1平方米需要200元,那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化,可绿化多少平方米？ 16．〔10分〕如图,⊙O的直径EF=cm,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=cm．E、F、A、B四点共线．Rt△ABC以1cm/s的速度沿EF所在直线由右向左匀速运动,设运动时间为t〔s〕,当t=0s时,点B与点F重合． 〔1〕当t为何值时,Rt△ABC的直角边与⊙O相切？
    〔2〕当Rt△ABC的直角边与⊙O相切时,请求出重叠部分的面积〔精确到0.01〕． 17．〔10分〕〔2008•##〕〔1〕如图1,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连接AC和BD,相交于点E,连接BC．求∠AEB的大小；
    〔2〕如图2,△OAB固定不动,保持△OCD的形状和大小不变,将△OCD绕点O旋转〔△OAB和△OCD不能重叠〕,求∠AEB的大小． 18．〔10分〕〔2008•##〕我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为"蛋圆〞,如果一条直线与"蛋圆〞只有一个交点,那么这条直线叫做"蛋圆〞的切线．如图所示,点A、B、C、D分别是"蛋圆〞与坐标轴的交点,已知点D的坐标为〔0,﹣3〕,AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为〔1,0〕,半圆半径为2． 〔1〕请你求出"蛋圆〞抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值X围； 〔2〕你能求出经过点C的"蛋圆〞切线的解析式吗？试试看；
    〔3〕开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的"蛋圆〞切线的解析式．
    答案与评分标准
    一．C ,C ,A ,C ,D ,D 二．7,40,3甲,256, ,三．解：〔1〕集合{1,2}不是好的集合, 这是因为8﹣1=7,而7不是{1,2}中的数, 所以{1,2}不是好的集合, {1,4,7}是好的集合, 这是因为8﹣1=7,7是{1,4,7}中的数, 8﹣4=4,4也是{1,4,7}中的数, 8﹣7=1,1又是{1,4,7}中的数． 所以{1,4,7}是好的集合；
    〔2〕答案不唯一．集合{4}、{3,4,5}、{2,6}、{1,2,4,6,7}、{0,8}等都是好的集合．
    ,解：〔1〕踺子踢到小华处的概率是．树状图如下： 列表法如下：

    小丽

    小王
    小华
    〔小王,小华〕
    小王 〔小丽,小王〕 〔2〕小王．树状图如下：
    理由：若从小王开始踢,三次踢踺后,踺子踢到小王处的概率是,踢到其它两人处的概率都是,因此,踺子踢到小王处的可能性是最小．
    2 / 4 小华 〔小华,小丽〕 〔小华,小王〕


    .
    解：〔1〕由题意可设拆旧舍x平方米,建新舍y平方米,则答：原计划拆建各4500平方米．
    〔2〕计划资金y1=4500×80+4500×800=3960000元
    实用资金y2=1.1×4500×80+0.9×4500×800=4950×80+4050×800=396000+3240000=3636000 ∴节余资金：3960000﹣3636000=324000 ∴可建绿化面积=平方米

    答：可绿化面积1620平方米． 解：
    〔1〕∵∠BAC=30°,AB=, ∴BC=
    又∵⊙O的直径EF=,即半径为∠ACB=90°, , ∴当点B运动到圆心O时,AC边与⊙O相切．〔如图1所示〕〔1分〕 此时运动距离为FO=, ∴t=s． 〔2分〕
    当BC边与⊙O相切时〔如图2所示〕, 设切点为G．连接OG,则OG⊥BC．〔3分〕 由已知,∠BOG=∠BAC=30°,OG=, ∴BO=2． 〔4分〕 又FO=, ∴BF=．〔此步亦可利用相似求解,请参照给分〕 ∴此时s． 〔5分〕
    由上所述,当秒时,Rt△ABC的直角边与⊙O相切．〔6分〕 〔2〕由图1,此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形COF． 〔7分〕 由已知,∠COF=60°,∴． 〔8分〕
    由图2,设AC与⊙O交于点M, 此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分为扇形OMGE加上△OAM． 〔9分〕 过点M作MN⊥OG于N,则MN=GC． 由〔1〕可知BG=1 则MN=GC=∴． 〔10分〕
    , ∴∠MON=25°,即∠MOE=55°． 〔11分〕 ∴． 〔12分〕
    又∵OM=, ∴点M到AB的距离h=OM•sin∠MOE≈1.419,〔13分〕 ∴S△AOM=•OA•h≈1.229cm2
    此时⊙O与Rt△ABC的重叠部分的面积为S扇形OMEF+S△AOM≈2.67cm2．〔14分〕解：〔1〕如图3, ∴∠4=30°． ∵△DOC和△ABO都是等边三角形, 同理∠6=30°．
    ∵∠AEB=∠4+∠6, 且点O是线段AD的中点, ∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°, ∴∠AEB=60°． ∴∠4=∠5． 〔2〕如图4, 又∵∠4+∠5=∠2=60°, ∵△DOC和△ABO都是等边三角形, 3 / 4
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    ∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°． 又∵OD=OA, ∴OD=OB,OA=OC, ∴∠4=∠5,∠6=∠7． ∵∠DOB=∠1+∠3, ∠AOC=∠2+∠3, ∴∠DOB=∠AOC．
    ∵∠4+∠5+∠DOB=180°,∠6+∠7+∠AOC=180°, ∴2∠5=2∠6, ∴∠5=∠6．
    又∵∠AEB=∠8﹣∠5,∠8=∠2+∠6, ∴∠AEB=∠2+∠6﹣∠5=∠2+∠5﹣∠5=∠2, ∴∠AEB=60°．∴ME=4 ∴点C、E的坐标分别为〔0,∴切线CE的解析式为〕,〔﹣3,0〕〔6分〕 〔8分〕
    解：〔1〕根据题意可得：A〔﹣1,0〕,B〔3,0〕；
    则设抛物线的解析式为y=a〔x+1〕〔x﹣3〕〔a≠0〕, 又∵点D〔0,﹣3〕在抛物线上, ∴a〔0+1〕〔0﹣3〕=﹣3,解之得：a=1 ∴y=x2﹣2x﹣3〔3分〕
    自变量X围：﹣1≤x≤3〔4分〕
    〔2〕设经过点C"蛋圆〞的切线CE交x轴于点E,连接CM, 在Rt△MOC中, ∵OM=1,CM=2, ∴∠CMO=60°,OC= 在Rt△MCE中, ∵MC=2,∠CMO=60°,
    〔3〕设过点D〔0,﹣3〕,"蛋圆〞切线的解析式为：y=kx﹣3〔k≠0〕〔9分〕 由题意可知方程组只有一组解
    即kx﹣3=x2﹣2x﹣3有两个相等实根, ∴k=﹣2〔11分〕
    ∴过点D"蛋圆〞切线的解析式y=﹣2x﹣3．〔12分〕4 / 4

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