2010年普通高等学校招生全国统一考试

全国2卷

理科数学(必修+选修II)

第I卷

一．选择题

（1）复数

（A） （B） （C） （D）

（2）函数的反函数是

（A） （B）

（C） （D）

（3）若变量满足约束条件则的最大值为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（4）如果等差数列中，，那么

（A）14 （B）21 （C）28 （D）35

（5）不等式的解集为

（A） （B）

（C） （D）

（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种

（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像

（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位

（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位

（8）中，点在上，平方．若，，，，则

（A） （B） （C） （D）

（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

（A）1 （B） （C）2 （D）3

（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则

（A）64 （B）32 （C）16 （D）8

（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个 （B）有且只有2个

（C）有且只有3个 （D）有无数个

（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则

（A）1 （B） （C） （D）2

第Ⅱ卷

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

（13）已知是第二象限的角，，则 ．

（14）若的展开式中的系数是，则 ．

（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ．

（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分10分）中，为边上的一点，，，，求．

（18）（本小题满分12分）已知数列的前项和．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）证明：．

（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．

（Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角的大小．

（20）（本小题满分12分） 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；

（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．

（21）（本小题满分12分） 己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

（22）（本小题满分12分）设函数．

（Ⅰ）证明：当时，；

（Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

数学

本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数，为z的共轭复数，则

(A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

2. 函数的反函数为

(A) (B)

(C) (D)

3.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是

(A) (B) (C) (D)

4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=

(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于

(A) (B) 3 (C) 6 (D) 9

6.已知直二面角，点为垂足，为垂足，若，则D到平面ABC的距离等于

(A) (B) (C) (D) 1

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种

8.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为

(A) (B) (C) (D) 1

9.设是周期为2的奇函数，当时，，则

(A) (B) (C) (D)

10.已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则

(A) (B) (C) (D)

11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为，则圆N的面积为

(A) (B) (C) (D)

12. 设向量满足，则的最大值等于

(A) 2 (B) (C) (D) 1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.

13. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .

14. 已知，，则 .

15. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的角平分线，则 .

16. 已知点E、F分别在正方体 的棱上，且, ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

的内角A、B、C的对边分别为。已知，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD中，,侧面SAB为等边三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：;

（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列满足

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，记，证明：。

21.（本小题满分12分）

已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足

（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设函数，证明：当时，

（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：

2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

1． B 2． B 3． A 4． D 5．C

6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．

13． 0 14． 15． 6 16．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17.（本小题满分10分）

解：由，得

故，

由，

故，

又显然，故，再由，

解得：，于是

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设购买乙种保险的概率为,因为购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3

故，

所以该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙两种保险都不购买的概率为

所以有X个车主甲、乙两种保险都不购买的概率为

显然，X服从二项分布，即,

所以

X的期望为20

19.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1， ，

易算得：，

又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，

所以,

于是,,

所以

（Ⅱ）设点A到平面SBC的距离为d，

因为，所以,从而,

因而可以算得：，又，故

又因为,所以点C到平面SAB的距离为

另外，显然，

所以

得：

设AB与平面SBC所成的角为，则

，

即AB与平面SBC所成的角为（显然是锐角）

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由得：

数列是等差数列，首项为

故，从而

（Ⅱ）

所以

21.（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：易知：，故：，代入椭圆方程得：，

设，则，，

因为所以

，将此坐标代入椭圆：，

所以点P在C上。

（Ⅱ）由（Ⅰ）：及，得，因为，所以

于是可以算得：，，，

,,

于是四边形APBQ对角互补，从而A、P、B、Q四点在同一个圆上。

22 .（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）时，，

于是在上单调增，所以

（Ⅱ）

（共有对数相乘）

由（Ⅰ），时，也有，

故在上单调增，所以

即

即，两边同时取的对数得：

综上所述：

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I卷

注意事项：

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：

1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、 选择题

1、 复数=

A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i

2、已知集合A＝{1.3. }，B＝{1，m} ,AB＝A, 则m=

A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3

3 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为

A +=1 B +=1

C +=1 D +=1

4 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1= E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为

A 2 B C D 1

（5）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为

(A) (B) (C) (D)

（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A) （B） (C) (D)

（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=，则cos2α=

(A) （B） (C) (D)

（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=

(A) （B） (C) (D)

（9）已知x=lnπ，y=log52，，则

(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x

(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1

（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝。动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16（B）14（C）12(D)10

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ）

第Ⅱ卷

注意事项：

1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。

2.第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3.第Ⅱ卷共10小题，共90分。

二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

（注意：在试题卷上作答无效）

（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。

（14）当函数取得最大值时，x=___________。

（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50°

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。

19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围。

21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+()2=r2(r＞0)有一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离。

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

函数f(x)=x2-2x-3，定义数列{xn}如下：x1=2，xn+1是过两点P（4,5）、Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标。

（Ⅰ）证明：2 xn＜xn+1＜3；

（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式。