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    2017湖北随州中考数学试卷解析-

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    2017析
    D湖北随州中考数学试卷解











    元，则可列方程组（ ）
    20x30y110 A．
    10x5y855x20y110 D．
    10x30y8520x10y11020x5y110B． C．30x5y8530x10y85答案：B，解析：题中有两个相等关系：①购买20支铅笔的费用＋购买10本笔记本的费用＝110元；②购买30支铅笔的费用＋购买5本笔记本的费用＝85元．
    8．（2017湖北随州，8，3分）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为（ ）

    A．84株
    B．88株
    C．92株
    D．121株
    答案：B，解析：观察图形，发现芍药围成的图形是正方形，每条边上的芍药数量与牡丹的列数(n的关系是2n＋1，芍药的总数量可表示为4(2n＋1

    －4＝8n，因此，当n＝11时，芍药的数量为88． 9．（2017湖北随州，9，3分）对于二次函数yx下列结论错误的是（ ） A．它的图象与x轴有两个交点
    x22mx322mx3，B．方程的两根之积为－3
    C．它的图象的对称轴在y轴的右侧 D．x＜m时，y随x的增大而减小
    答案：C，解析：A．因为＝(－2m2－4×1×(－3＝4m2＋12＞0，所以图象与x轴有两个交点；B．方程化为x2－2mx－3＝0，设两根为x1、x2，则－3x1x2＝＝－3；C．因为图象的对称轴为x＝m，1无法确定m与0的大小关系，从而无法判断对称轴与y轴的位置关系；D．因为抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
    10．（2017湖北随州，10，3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点．将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的对应点为C，点

    A的对应点为F，过点E作ME⊥AF交BC于点M，连接AM、BD交于点N．现有下列结论：①AM＝AD＋MC；②AM＝DE＋BM；③DE2＝ADCM；④点N为△ABM的外心．其中正确结论的个数为（ ） A．1个
    B．2个
    C．3个
    D．4个

    答案：B，解析：在矩形ABCD中，∠BCD＝∠ADC＝90°，由旋转得，△ADE≌△FCE，∴∠FCE＝∠ADE＝90°,∠BCD＋∠FCE＝180°,∴B、C、F在一直线上；又∵ME⊥AF，AE＝EF，∴AM＝MF＝MC＋CF＝AD＋MC；而AM＝MF＝CF＋MC＝BC＋MC＝BM＋2MC，显然DE＝EC≠2MC；由MCCERt△MCE∽Rt△ECF得＝，∴CE2＝CFCM，ECCF即DE2＝ADCM；由AD∥BC得，△ADN∽△MBN，

    而AD≠BM，∴点N不是AM的中点，点N不为△ABM的外心．综上所述，结论①③正确． 二、填空题：（每小题3分，共6小题，共18分） 11．（2017湖北随州，11，3分）根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为__________． 答案：1.17×107，解析：用科学记数法表示一个数，就是把一个数写成a×10的形式（其中1≤a＜n10，n为整数），首先把11700000的小数点向左移动7位变成1.17，也就是11700000=1.17×10000000，最后写成1.17×107．
    12．（2017湖北随州，12，3分）“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是__________事件（从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个）． 答案：随机，解析：事件“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”可能发生，也可能不发生，因此这是随机事件．
    13．（2017湖北随州，13，3分）如图，已知AB是

    ⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC＝70°，则∠ADC＝________度．
    D    O    A    B    C
    ⌒答案：35，解析：∵半径OC垂直AB，∴AC＝11BC，∴∠ADC＝∠BOC＝×70°＝35°．
    22    ⌒14．（2017湖北随州，14，3分）在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
    512答案：或，解析：∵∠A＝∠A，分两种情况：35ADAB26①当＝时，△ADE∽△ABC，即＝，∴AEAEACAE55ADAC25＝；②当＝时，△ADE∽△ACB，即＝，AEABAE63

    12512∴AE＝；综上所述，当AE＝或，以A、D、E535为顶点的三角形与△ABC相似．
    A    D    E    D    A    E    C    B    C    B
    15．（2017湖北随州，15，3分）如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N(3，0是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM＋PN最小，则点P的坐标为________．
    y    A    P
    OMN    B    x
    33答案：(，，解析：作点N关于OA的对称22点N′，连接MN′交OA于点P，则点P为所求．显然ON＝ON′，∠NON′＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∴3△ONN′为等边三角形，MN′⊥ON，∵OM＝，则2

    3333PM＝OMtan30°＝×＝，∴点P的坐标为(，23223． 2yN'APOMNBx
    16．（2017湖北随州，16，3分）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间．甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(km与甲车行驶时间t(h之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2h时，两车相遇；②乙车出发1.5h时，两车相距5170km；③乙车出发2h时，两车相遇；④甲车7到达C地时，两车相距40km．其中正确的是____________（填写所有正确结论的序号）．




    答案：②③④，解析：由图象知，AC＝240km，BC＝200km，V甲＝60km/h，V乙＝80km/h，乙车比甲车晚出发1h；①甲车出发2h时，两车在两侧距C地均为120km，未相遇；②乙车出发1.5h时，行了120km，甲车行了2.5h，行了150km，相距440－1205－150＝170km；③乙车出发2h时，甲乙两车的行755程为3×60＋2×80＝440(km，两车相遇；④甲77车到达C地时，t＝4，乙车行了240km，距离C地40km，即两车相距40km．故正确的序号是②③④． 三、解答题：（本大题共9个小题，共72分） 17．（2017湖北随州，17，5分）（本小题满分5分）
    计算：(132(20170(32|2|．
    思路分析：先根据负整数指数幂、零指数幂、算术

    平方根和绝对值的概念分别计算，再进行有理数的加减运算．
    解：原式＝9－1＋3－2＝9．
    18．（2017湖北随州，18，6分）（本小题满分6分）
    解分式方程：x3x1xx． 12思路分析：先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，最后注意要检验． 解：原方程可化为：3＋x2－x＝x2，
    解得x＝3．
    检验：当x＝3时，x(x－1≠0， 所以，原分式方程的解为x＝3．
    19．（2017湖北随州，19，6分）（本小题满分6分）
    如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作yk轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，x3AB＝．
    2（1）求反比例函数的解析式；


    （2）若P(x1，y1、Q(x2，y2是该反比例函数图象上的两点，且x1＜x2时，y1＜y2，指出点P、Q各位于哪个象限？并简要说明理由．

    思路分析：（1）由平移得A(－2，0，从而得到点3B(－2，，再利用待定系数法求反比例函数的解析2式；（2）由反比例函数的图象和性质知，在每一象限内，y随x的增大而增大，确定P、Q不在同一象限，进而判断它们的相应位置．
    3解：（1）由题意得，A(－2，0，AB＝，AB∥y23轴，∴B(－2，．
    2    k∵反比例函数y＝的图象过点B，∴k＝x－3．


    3∴反比例函数解析式为y＝－．
    x（2）点P在第二象限，点Q在第四象限．
    ∵k＜0，∴在每一象限内y随x的增大而增大．
    又x1＜x2时，y1＞y2，∴x1＜0＜x2． ∴点P在第二象限，点Q在第四象限．
    20．（2017湖北随州，20，7分）（本小题满分7分）
    风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源．风电机组主要由塔杆和叶片组成(如图1，图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D(D、C、H在同一直线上的仰角是45°．已知叶片的长度为35米(塔杆与叶片连接处的长度忽略不计，山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．(参考数据：tan55°≈1.4，

    tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6 DCBG45°55°(图(图 思路分析：过点B作BE⊥DH于E，设CH＝x米，分别解Rt△ACH和Rt△BDE，分别用x表示AH和BE的长，再构造方程求x的值．
    解：设塔杆CH的高为x米，由题意可知：
    在Rt△ACH中，∠ACH＝55°，∴∠ACH＝35°，
    ∴AH＝CHtan35°≈0.7x，
    过点B作BE⊥DH于E，∴BE＝GH＝GA＋AH＝43＋0.7x，
    DE＝35＋x－10＝25＋x，

    在Rt△DBE中，∠DBE＝45°，∴DE＝BE，43＋0.7x＝25＋x，
    ∴x＝60．
    A    H

    即塔杆CH高60米．
    说明：因锐角三角函数值取近似值，存在一定的误差，若在Rt△CAH中，使用tan∠CAH＝tan55°≈1.4，求出塔杆CH高63米也行．
    DCBG45°55°EH    A
    21．（2017湖北随州，21，8分）（本小题满分8分）
    某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x表示成绩，单位：分）．A组：75≤x＜80；B组：80≤x＜85；C组：85≤x＜90；D组：90≤x＜95；E组：95≤x＜100，并绘制如图两幅不完整的统计图．


    频数(人数 12 10 8 6 4 2 0 75 80 85 90 95 100 成绩(分
    20E D10 B % C % 25 % A
    请根据图中信息，解答下列问题：
    （1）参加初赛的选手共有
    名，请补全频率分布直方图；
    （2）扇形统计图中，C组对应的圆心角是多少度？E组人数占参赛选手的百分比是多少？ （3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E组6名选手直接进入代表队，现要从D组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率． 思路分析：（1）根据“扇形统计图中各扇形的百分频数比=×100%”，由A组或D组对应频数和百数据总数分比可求选手总数为40，进而求出B组频数；（2）

    12C组对应的圆心角=×360°，E组人数占参赛选手406的百分比是×100%；（3）用列表或画树形图表示40出所有可能的结果，注意选取不放回． 解：（1）40，补全频率分布直方图如图；
    频数(人数 12 10 8 6 4 2 0 75 80 85 90 95 100 成绩(分

    （2）108°，15%；
    （3）两名男生分别用A1、A2表示，两名女生分别用B1、B2表示．根据题意可画出如下树状图：
    开A1 A2 B1 B2
    A1 B1 A1 B2 A2 A2 B2 A2 B1 B2 A1 B1 或列表法：
    第1人
    第2人
    A1 A2 B1 B2

    A2B1B2A1 A1 A1
    A1


    A2 A1A2 B1 A1B2 A1 A2A2B1 B1B2B2B1

    A2 A2
    B1 B1 B2 B2 B2
    由上图可以看出，所有可能出现的结果有12种，这些结果出现的可能性相等，选中一名男生一名女生的结果有8种．
    ∴选中一名男生一名女生的概率是P(一男一82=． 女=12322．（2017湖北随州，22，8分）（本小题满分8分）
    如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E． （1）求证：AD平分∠BAC；
    （2）若CD＝1，求图中阴影部分的面积(结果保留．



    思路分析：（1）连接OD，根据切线的性质，得到OD⊥BC，进而利用“平行线＋等腰三角形→角平分线”可证；（2）先求出⊙O的半径，再利用S阴影＝S△OBD－S扇形EOD可求．
    解：（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，
    ∴∠ODA＋∠ADC＝90°，
    ∵∠C＝90°，∴∠ADC＋∠DAC＝90°，∴∠ODA＝∠DAC，
    又OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，
    ∴AD平分∠BAC．
    （2）设⊙O的半径为r，在Rt△ODB中，∠B＝∠BOD＝45°，
    ∴BD＝OD＝r，OB＝2r．
    BO又∠ODB＝∠C＝90°，∴OD∥AC，∴OA

    BD2rr＝，即＝,∴r＝2． DCr1∴S阴影＝S△OBD－S扇形1EOD＝22－245(22＝1－．
    3604
    23．（2017湖北随州，23，10分）（本小题满分10分）
    某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
    （1）求该种水果每次降价的百分率；
    （2）从第一次降价的第1天算起，第x天(x为正数的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x(天的利润为y(元，

    求y与x(1≤x＜15之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？ 时间(天
    1≤x＜9
    9≤x＜15 x≥15
    售价(元/斤 销量(斤 储存和损耗费用(元
    （3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
    思路分析：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为10(1－x，第二次降价后的价格为10(1－x2，进而可得方程；（2）分两种情况考虑，先利用“利润＝(售价－进价×销量－储存和损耗费用”，再分别求利润的最大值，比较大小确第1次降价第2次降价后的价格 后的价格 80－3x 40＋3x
    120－x 3x2－64x＋400



    定结论；（3）设第15天在第14天的价格基础上降a元，利用不等关系“（2）中最大利润－[(8.1－a－4.1×销量－储存和损耗费用]≤127.5”求解． 解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，依题意得：
    10(1－x2＝8.1．
    解方程得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去
    答：该种水果每次降价的百分率为10%．
    （2）第一次降价后的销售价格为：10×(1－10%＝9(元/斤，
    当1≤x＜9时，y＝(9－4.1(80－3x－(40＋3x＝－17.7x＋352；
    当9≤x＜15时，y＝(8.1－4.1(120－x－(3x2－64x＋400＝－3x2＋60x＋80，
    综上，y与x的函数关系式为：y＝－17.7x＋352(1≤x＜9，x为整数， －3x＋60x＋80(9≤x＜15，x为整数．2

    当1≤x＜9时，y＝－17.7x＋352，∴当x＝1时，y最大＝334.3(元；
    当9≤x＜15时，y＝－3x2＋60x＋80＝－3(x－102＋380，∴当x＝10时，y最大＝380(元；
    ∵334.3＜380，∴在第10天时销售利润最大．
    （3）设第15天在第14天的价格上最多可降a元，依题意得：
    380－[(8.1－a－4.1(120－15－(3×152－64×15＋400]≤127.5，
    解得：a≤0.5，
    则第15天在第14天的价格上最多可降0.5元．
    24．（2017湖北随州，24，10分）（本小题满分10分）
    如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．



    （1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点． 下面是两位学生有代表性的证明思路： 思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等； 思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．
    ……
    请参考上面的思路，证明点M是DE的中点(只需用一种方法证明；
    （2）如图2，在（1）的条件下，当∠ABE＝135°AM时，延长AD、EF交于点N，求的值；
    NEAF（3）在（2）的条件下，若＝k(k为大于2的常ABAM数，直接用含k的代数式表示的值．
    MF

    N    D    N    D    A    HCM    F    A    F    C    MBEBE
    图1

    图2 思路分析：（1）思路1：先证DC与EF平行和相等，进而再利用AAS证△DMC≌△EMF；思路2：连接BD交AF于点H，再利用平行线分线段成比例可证；（2）过点M作MG∥NE交AN于点G，证NE＝2MG和AM＝2MG，再代入计算；（3）设AB＝a，在（2）的条件下，四边形ABCD是正方形，k－2AC＝2AB＝2a，CM＝MF＝a，∴AM＝2k＋2AMa，从而可求的值．
    MF2解：（1）思路1：证明：∵四边形ABEF和四边形ABCD分别为平行四边形和菱形，


    ∴EFAB，DCAB，∴EFDC，∴∠CDM＝∠FEM，
    又∠DMC＝∠EMF，∴△DMC≌△EMF(AAS，
    ∴DM＝EM，∴点M是DE的中点． 思路2：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴DH＝HB．
    ∵四边形ABEF是平行四边形，∴HM∥BC，
    DHDM∴＝，∴DM＝EM，∴点M是DEHBME的中点．
    （2）过点M作MG∥NE交AN于点G，∵点M是DE的中点，
    ∴在△DNE中，NE＝2MG，又∠ABE＝135°，
    ∴∠NAF＝∠NFA＝45°，∴EN⊥AN，∴MG⊥AN，


    在Rt△AMG中，AM＝2MG， AM2MG2∴＝＝． NE2MG2AMk＋2（3）＝．
    MFk－2NGDACMFBE
    25．（2017湖北随州，25，12分）（本小题满分12分）
    在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”． 已知抛物线y232x343x233与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧，与x轴负半轴交于点C．


    （1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； （2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
    （3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
    y    A    C    M    O    B    x
    思路分析：（1）∵a＝233，∴“梦想直线”的解析

    式为yy2323；由x+33y232x343x233，2323x+x33，x＝－2， 解得
    y＝23，x＝1，从而得到A(－2，23，B(1，0；（2）∵△y＝0，AMN为梦想三角形，而点A(－2，23，分两种情况：①点M在y轴上，②点N在y轴上；（3）分两种情况：①AC为边，②AC为对角线． 解：（1）y2323x+33，(－2，23，(1，0．
    （2）∵抛物线与x轴负半轴交于点C，∴C(－3，0．过点A作AG⊥y轴，垂足为点G．
    当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形．
    设N(0，n，∵A(－2，23,C(－3,0，∴AC＝13，∴AN＝AC＝13，
    在Rt△AGN中，AG2＋GN2＝AN2，又AG＝2，GN＝|n－23|，
    ∴4＋(n－232＝13，解得n＝23－3或n＝23＋3，


    设M(m，0, 当n＝23－3时，在Rt△MNO中，(23－32＋m2＝(m＋32，解得：m＝2－23；
    当n＝23＋3时，在Rt△MNO中，(23＋32＋m2＝(m＋32，解得：m＝2＋23；
    又－3＜m≤1，∴m＝2＋23不合题意，舍去．∴m＝2－23，此时n＝23－3，
    ∴N(0，23－3．
    当点M在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
    此时M与O重合，在Rt△AGM中，AG＝2，GM＝23，
    AG3∴tan∠AMG＝ ＝，∴∠AMG＝GM330°，
    ∴∠AMC＝∠AMN＝∠NMB＝60°， 过点N作NP⊥x轴于P，在Rt△NMP中，MN＝CM＝3，


    333333∴NP＝，OP＝，∴N(，．
    22223综上所述，点N的坐标为(0，23－3或(，233． 2yAGAyGNCMONBxCOMBx
    432343（3）E1(－1，－，F1(0，；E2(－1，－，333103F2(－4，．
    3

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