2013硕士研究生入学考试数学三真题

1. 当x0时，用“o（x）”表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是

A. x·o（x2）=o(x3) B.o(x)·o(x2)=o(x3)

C.o(x2)+o(x2)= o(x2) D.o(x)+ o(x2)= o(x2)

2. 函数f(x)=的可去间断点的个数为

A.0 B.1 C.2 D.3

3. 设Dk是圆域D={(x,y)|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，记Ik=（k=1,2,3,4），则

A.I1>0, B. I2>0, C. I3>0, B. I4>0

4. 设｛an｝为正项数列，下列选项正确的是

A. 若an > an+1, 则收敛

B. 若收敛，则an>an+1

C. 若收敛，则存在常数p>1，使npan存在

D. 若存在常数p>1，使npan存在,则收敛

5. 设A,B,C均为n阶短阵，若AB=C,且B可逆，则

A. 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价

B. 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价

C. 矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价

D. 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

6. 矩阵与相似的充分必要条件为（ ）

A. a=0,b=2 B. a=0,b为任意常数

C. a=2,b=0 D. a=2,b为任意常数

7. 设x1, x2, x3是随机变量，且x1~N(0,1),x2~N(0,22),x3~N(5,32),Pj=P{-2≤xj≤2}(j=1,2,3),则A.P1>P2>P3 B.P2>P1>P3 C.P3>P1>P2 D.P1>P3>P2

8. 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为

则P{X+Y=2}=

A. B. C. D.

9. 设曲线y=f(x)与y=x2-x在点（1，0）处有公共切线，则nf= .

10. 设函数z=z(x,y)由方程（z+y）x=xy确定，则= .

11. = .

12. 微分方程的通解为y= .

13. 设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若aij+ Aij=0(i，j=1,2,3)，则｜A｜= .

14. 设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），则E() = .

三、解答题

15.当时，与为等价无穷小，求n与a的值。

16.设D是由曲线，直线及x轴所围成的平面图形，分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求a的值。

17.设平面区域D由直线及围成，计算。

18.设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为,(P是单价，单位：元，Q是销量，单位：件)，已知产销平衡，求：

（1）该商品的边际利润；

（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义；

（3）使得利润最大的定价P。

19.设函数f(x)在上可导，，且，证明

（1）存在，使得；

（2）对（1）中的a，存在，使得。

20. 设，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。

21. 设二次型，记，。

（1） 证明二次型f对应的矩阵为；

（2） 若正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。

22.设（X,Y）是二维随机变量，X的边缘概率密度为在给定的条件下，Y的条件概率密度为

（1）求的概率密度；

（2）求Y的边缘概率密度。

（3）求.

23. 设总体X的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本。

（1） 求的矩估计量；

（2） 求的最大似然估计量。