2019年辽宁省抚顺市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．3的相反数是（　　）

A．3 B． C．﹣3 D．﹣

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．下列运算正确的是（　　）

A．4x•2x＝8x B．2m+3m＝5m C．x9÷x3＝x3 D．（﹣a3b2）2＝﹣a6b4

4．如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（　　）

A． B． C． D．

5．一组数据1，3，﹣2，3，4的中位数是（　　）

A．1 B．﹣2 C． D．3

6．下列调查中，最适合采用全面调查的是（　　）

A．对全国中学生视力和用眼卫生情况的调查 B．对某班学生的身高情况的调查

C．对某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数的调查 D．对某池塘中现有鱼的数量的调查

7．若一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则第三边的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．2或4

8．一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，∠F＝45°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．25° C．45° D．60°

9．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是（　　）

A．AB＝CD，AB⊥CD B．AB＝CD，AD＝BC C．AB＝CD，AC⊥BD D．AB＝CD，AD∥BC

10．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，CH是AB边上的高，正方形DEFG的边DE在高CH上，F，G两点分别在AC，AH上．将正方形DEFG以每秒1cm的速度沿射线DB方向匀速运动，当点G与点B重合时停止运动．设运动时间为ts，正方形DEFG与△BHC重叠部分的面积为Scm2，则能反映S与t的函数关系的图象（　　）

A．B．C．D．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11．据报道，某节日期间某市地铁二号线载客量达到17340000人次，再创历史新高．将数据17340000用科学记数法表示为　 　．

12．不等式组的解集是　 　．

13．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是　 　．

14．如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的面积是　 　．

15．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　 　．

16．如图，矩形ABCD的顶点A，C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，若点A的坐标为（3，4），AB＝2，AD∥x轴，则点C的坐标为　 　．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，D是△ABC所在平面内一点，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则BD的长为　 　．

18．如图，直线l1的解析式是y＝x，直线l2的解析式是y＝x，点A1在l1上，A1的横坐标为，作A1B1⊥l1交l2于点B1，点B2在l2上，以B1A1，B1B2为邻边在直线l1，l2间作菱形A1B1B2C1，分别以点A1，B2为圆心，以A1B1为半径画弧得扇形B1A1C1和扇形B1B2C1，记扇形B1A1C1与扇形B1B2C1重叠部分的面积为S1；延长B2C1交l1于点A2，点B3在l2上，以B2A2，B2B3为邻边在l1，l2间作菱形A2B2B3C2，分别以点A2，B3为圆心，以A2B2为半径画弧得扇形B2A2C2和扇形B2B3C2，记扇形B2A2C2与扇形B2B3C2重叠部分的面积为S2………按照此规律继续作下去，则Sn＝　 　．（用含有正整数n的式子表示）

三、解答题（本大题共2小题，共22分）

19．（10分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝2，b＝2﹣．

20．（12分）为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．

学生选修课程统计表

根据以上信息，解答下列问题：

（1）m＝　 　，b＝　 　．

（2）求出a的值并补全条形统计图．

（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．

（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．

四、解答题（本大题共2小题，共24分）

21．（12分）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．

（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？

（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？

22．（12分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．

五、解答题（本大题共1小题，共12分）

23．（12分）如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）

（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）

六、解答题（本大题共1小题，共12分）

24．（12分）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．

（1）求y与x之间的函数关系式．

（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？

七、解答题（本大题共1小题，共12分）

25．（12分）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE＝CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．

（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为　 　．

（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．

八、解答题（本大题共1小题，共14分）

26．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）点N是y轴负半轴上的一点，且ON＝，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO，QO与抛物线的对称轴交于点M，连接MN，当MN平分∠OMD时，求点Q的坐标．

（3）直线BC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，请直接写出△PCE与△ACD全等时点P的坐标．

2019年辽宁省抚顺市中考数学试卷答案

1． C．2． D．3． B．4． A．5． D．6． B．7． C．8． A．9． A．10． B．

11． 1.734×107．12． x≥4．13． k≠0且k≤1；14． 9．15． ．16．（6，2）．17． 2或2

18．（﹣）×（）2n﹣2．

19．解：原式＝÷＝•＝，

当a＝2，b＝2﹣时，

原式＝＝．

20．解：（1）m＝8÷16%＝50，b%＝×100%＝28%，即b＝28，故答案为：50、28；

（2）a＝50×24%＝12，补全图形如下：

（3）估计选修“声乐”课程的学生有1500×28%＝420（人）．

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，

则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为＝．

21．解：（1）设该社区种植甲种花卉1m2需x元，种植乙种花卉1m2需y元，

依题意，得：，解得：．

答：该社区种植甲种花卉1m2需80元，种植乙种花卉1m2需90元．

（2）设该社区种植乙种花卉mm2，则种植甲种花卉（75﹣m）m2，

依题意，得：80（70﹣m）+90m≤6300，

解得：m≤30．

答：该社区最多能种植乙种花卉30m2．

22．解：（1）DE是⊙O的切线；理由：连接OD，

∵∠ACB＝90°，CA＝CB，

∴∠ABC＝45°，

∴∠COD＝2∠ABC＝90°，

∵四边形GDEC是平行四边形，

∴DE∥CG，

∴∠EDO+∠COD＝180°，

∴∠EDO＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线

（2）连接OB，

∵点B是的中点，

∴＝，

∴∠BOC＝∠BOD，

∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，

∴的长＝＝π．

23．解：能，理由如下：延长EF交CH于N，

则∠CNF＝90°，

∵∠CFN＝45°，

∴CN＝NF，

设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，

∴EN＝5+（x+3）＝x+8，

在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，

则DN＝EN•tan∠DEN，

∴x≈0.6（x+8），

解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），

答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．

24．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，

根据题意得，，解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700；

（2）设利润为w元，

∵x≤30×（1+60%）＝48，

∴x≤48，

根据题意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，

∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，

∴当x＝48时，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960，

答：当销售单价为48时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．

25．解：（1）BP+QC＝EC；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC＝CD，∠BCD＝90°，

由旋转的性质得：∠PEG＝90°，EG＝EP，

∴∠PEQ+∠GEH＝90°，

∵QH⊥GD，

∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°，

∴∠PEQ＝∠G，

又∵∠EPQ+∠PEC＝90°，∠PEC+∠GED＝90°，

∴∠EPQ＝∠GED，

在△PEQ和△EGD中，，

∴△PEQ≌△EGD（ASA），

∴PQ＝ED，

∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，

即BP+QC＝EC；

故答案为：BP+QC＝EC；

（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：

由题意得：∠PEG＝90°，EG＝EP，

∴∠PEQ+∠GEH＝90°，

∵QH⊥GD，

∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°，

∴∠PEQ＝∠G，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCB＝90°，BC＝DC，

∴∠EPQ+∠PEC＝90°，

∵∠PEC+∠GED＝90°，

∴∠GED＝∠EPQ，

在△PEQ和△EGD中，，

∴△PEQ≌△EGD（ASA），

∴PQ＝ED，

∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，

即BP+QC＝EC；

（3）分两种情况：

①当点P在线段BF上时，点Q在线段BC上，

由（2）可知：BP＝EC﹣QC，

∵AB＝3DE＝6，

∴DE＝2，EC＝4，

∴BP＝4﹣1＝3；

②当点P在射线FC上时，点Q在线段BC的延长线上，如图3所示：

同（2）可得：△PEQ≌△EGD（AAS），

∴PQ＝ED，

∵BC＝DC，DC＝EC+DE，

∴BP＝BC+PC＝DC+PC＝EC+DE+PC＝EC+PQ+PC＝EC+QC，

∴BP＝QC+EC＝1+4＝5；

综上所述，线段BP的长为3或5．

26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴，解得：，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3．

（2）如图1，设对称轴与x轴交于点H，

∵MN平分∠OMD，

∴∠OMN＝∠DMN，

又∵DM∥ON，

∴∠DMN＝∠MNO，

∴∠MNO＝∠OMN，

∴OM＝ON＝．

在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OH＝1．

∴，

∴M1（1，1）；M2（1，﹣1）．

①当M1（1，1）时，直线OM解析式为：y＝x，

依题意得：x＝x2﹣2x﹣3．

解得：，，

∵点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，

∴Q点纵坐标y＝．

∴，

②当M2（1，﹣1）时，直线OM解析式为：y＝﹣x，

同理可求：，

综上所述：点Q的坐标为：，，

（3）由题意可知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），D （1，﹣4），

∴AC＝，

AD＝，

CD＝，

∵直线BC经过B（3，0），C（0，﹣3），

∴直线BC解析式为y＝x﹣3，

∵抛物线对称轴为x＝1，而直线BC交对称轴于点E，

∴E坐标为（1，﹣2）；

∴CE＝，

设P点坐标为（x，y），则CP2＝（x﹣0）2+（y+3）2，

则EP2＝（x﹣1）2+（y+2）2，

∵CE＝CD，若△PCE与△ACD全等，有两种情况，

Ⅰ．PC＝AC，PE＝AD，即△PCE≌△ACD．

∴，解得：，，

即P点坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6）．

Ⅱ．PC＝AD，PE＝AC，即△PCE≌△ACD．

∴，解得：，，

即P点坐标为P3（2，1），P4（4，﹣1）．

故若△PCE与△ACD全等，P点有四个，坐标为P1（﹣3，﹣4），P2（﹣1，﹣6），P3（2，1），P4（4，﹣1）．