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    新疆维吾尔自治区普通2022高考数学第一次适应性检测(文)(解析版)-

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    2022届新疆维吾尔自治区普通高考高三第一次适应性检测数学（文）试题
    一、单选题
    1．已知集合Axx3n1,nN，Bx2x10，则集合AB中元素的个数为（ ） A．2 【答案】A 【分析】利用交集的概念得出AB，从而得到集合AB元素个数． 【详解】∵集合Axx3n1,nN，Bx2x10， AB{4,7}
    B．3 C．4 D．5 即集合AB中共有2个元素． 故选：A．
    2．若复数z的共轭复数是z，且zz6，z5，则z（ ） A．34i 【答案】C 【分析】根据复数的四则运算法则以及共轭复数的概念计算即可. 【详解】由题意，不妨假设zabi ，则zabi ，且a2b25 ，
    B．34i
    C．34i
    D．43i
    zz2a6 ，a3 ，b4 ； 故选：C. 3．已知，是平行四边形的两个内角，则“”是“sinsin”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性. 【详解】由题意知，、(0,， 若“”，则“sinsin”必成立；
    但是“sinsin”，有“”或“”， 所以“”是“sinsin”成立的充分不必要条件. 故选：A. B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
    第1页

    4．下列函数中，其图象关于原点中心对称的是（ ） sinxA．y
    xxxC．y22cosx
    x3B．yx x22xD．yx
    22x【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义判断出函数的奇偶性即可得答案. 【详解】解：对A：因为yf(xsinx定义域为,0x0,，且f(xsinxxsinxf(x，所以函x数f(x为偶函数，其图象关于y轴对称，故选项A错误； x3对B：因为yf(xx定义域为,022x0,，且f(xx2xx3所以函数f(x为xf(x，xx2223偶函数，其图象关于y轴对称，故选项B错误；
    xxxxxx对C：因为yf(x22cosx定义域为R，且f(x22cosx22cosxf(x，所以函数f(x为奇函数，其图象关于原点中心对称，故选项C正确； 对D：因为yf(xx22xx定义域为R，且f(xx2x2xx22xxf(x，所以函数f(x为偶函数，其图象关于y轴对称，故选项D错误. 故选：C. 5．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵，鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一部分，若用接下来的一段圆弧所对应的扇形作圆锥的侧面，则该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为（ ）

    A．215
    15B．15
    4C．15
    151D．
    4【答案】D 【分析】根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，可得圆锥的母线长及底面半径，即求．
    第2页

    【详解】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， 即接下来的圆弧对应的圆面半径是5813， 圆锥的母线长为13，
    113对应的弧长是213，
    42设圆锥底面半径为r，则2r1313，解得r， 2413所以该圆锥的母线与底面所形成角的余弦值为41. 134故选：D．
    6．如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）

    A．5 【答案】B B．6 C．7 D．8 【分析】分类分步排列即可. 【详解】由题意1和7是不能漏掉的，所以由以下路线：
    （1,3,5,6,7），（1,3,4,6,7），（1,3,4,5,7），（1,2,4,6,7），（1,2,4,5,7），（1,2,3,5,7）共6条， 故选：B. 7．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一．以其命名的函数1,x为有理数fx，称为狄利克雷函数，则关于函数fx，下列说法正确的是（ ）
    0,x为无理数A．fx的定义域为0,1 B．fx的值域为0,1 C．xR，ffx0
    D．任意一个非零有理数T，fxTfx对任意xR恒成立
    第3页

    【答案】D 【分析】根据函数解析式一一判断即可；
    1,x为有理数【详解】解：因为fx，所以函数的定义域为R，值域为0,1，故A、B错误；
    0,x为无理数因为fx0或fx1且0与1均为有理数，所以ffxf01或ffxf11，故C错误； 对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，则xT也为有理数，则fxTfx1； 若x为无理数，则xT也为无理数，则fxTfx0； 综上可得任意一个非零有理数T，fxT故选：D 8．如图，若在正六边形ABCDEF内任取一点，则该点恰好取自图中阴影部分的概率是（ ）
    fx对任意xR恒成立，即D正确；

    1A．
    4【答案】B 1B．
    3C．
    233D．
    4【分析】设AIBI1，在△ABI中，利用余弦定理可求得AB，进而可求得六边形ABCDEF和IJKLMN的面积，由几何概型概率公式可求得结果. 【详解】记阴影部分为六边形IJKLMN，则六边形IJKLMN为正六边形，

    设AIBI1，AIB120，
    第4页

    1222在△ABI中，由余弦定理得：ABAIBI2AIBIcos1201123，
    2AB3，
    32331393，S六边形IJKLMN6， S六边形ABCDEF633122242故所求概率PS六边形IJKLMNS六边形ABCDEF3312. 9332故选：B. 19．将函数ysin2x的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数解析式为（ ）
    64A．ysin2x B．ysin2x C．ysin2x D．ysin2x
    3443【答案】A 【分析】首先求出函数的最小正周期，再根据三角函数的平移变换规则计算可得；
    2，将将函数ysin2x的图象向右平【详解】解：因为ysin2x，所以函数的最小正周期T662移1个周期，即向右平移个单位得到ysin2xsin2x；
    46344故选：A 10．若直线yaxa与曲线ylnx2相切，则a（ ） A．4 【答案】D 【分析】对曲线求导有y【详解】由题设，y所以y|x1aB．3 C．2 D．1 11，根据导数的几何意义及切线斜率求得切点为(,1a，代入曲线求参数a即可. xa111，根据a知：x， xxa1a1，即切点为(,1a，
    a    1则1aln2，可得a1. a故选：D x2y211．若双曲线C:221a0,b0的左右焦点分别为F1，F2，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲ab第5页

    线的一条渐近线，PQl，垂足为Q．当PF2PQ的最小值为6时，F1Q的中点在双曲线C上，则C的方程为（ ） A．xy2 【答案】B 2a，再利用焦点到渐近线的距【分析】由双曲线定义|PF2||PF1|2a得到PF2PQPF1PQ2aFQ122B．xy4
    22y2C．x1
    162x2y2D．1
    24离为b求得b2a6，设出渐近线方程求得F1Q的中点坐标代入双曲线方程联解求得a、b的解. 【详解】PF2PF12a，
    PF2|PQ|PF1|PQ|2aFQ2a， 1又F1c,0，F2c,0，
    双曲线的渐近线方程为：y即bxay0，
    bx，
    a焦点到渐近线的距离为bca2b2bcb，
    c即FQ的最小值为b， 1即b2a6， 不妨设直线OQ为：yF1QOQ，
    222aabacab点F1c,0，Q(,，F1Q的中点为(,，
    cc2c2cbx，
    a(a2c22a221， 将其代入双曲线C的方程，得：4a2c24ca2122即c2a1，
    4a4c2c2解得：c2a
    又b2a6，a2b2c2，
    2ab2，
    第6页

    故双曲线C的方程为x2y24． 故选：B. 12．已知a2ln32，bln551，c3ln2221，则a，b，c的大小关系是（ ） A．acb 【答案】A 【分析】构造f(xlnxx1，则af(9、bf(5、cf(8，利用导数研究其单调性，即可判断a，b，c的大小. 【详解】a2ln32ln991，bln551ln551，c3ln2221ln881，
    B．cba
    C．abc
    D．bca
    令f(xlnxx1且定义域为(0,，则f(x112x， x2x2x所以在(4,上f(x0，即f(x递减，故f(5f(8f(9，即bca. 故选：A 二、填空题
    x2y213．已知F为椭圆C:1的右焦点，P为C上的一点，若PF1，则点P的坐标为___________. 43【答案】2,0
    【分析】由椭圆方程知：椭圆上的点与F距离范围为[1,3]，结合已知即可确定P的坐标. 【详解】由题设，a2,c1，则ac1，ac3， 所以椭圆上点与F距离范围为[1,3]，又PF1， 所以P是椭圆的右顶点，即P的坐标为2,0. 故答案为：2,0
    14．若两个单位向量a，b满足ab1，则ab___________. 【答案】2 【分析】应用向量数量积的运算律有aba2abb，即可求ab. 【详解】由题设，aba2abb4， 所以ab2. 第7页
    2    2    2222
    故答案为：2 15．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，b2，sinBcosB2，则角A的大小为______． 【答案】30 6【分析】利用三角恒等变换，已知三角函数值求角可得B4，然后利用正弦定理即求. 【详解】由sinBcosB2sin(B2，得sin(B1，B0,，
    44所以B4，
    ab2sinasinB由正弦定理，得41，又ab,AB， sinAsinAsinBb22所以A= 5或（舍去） 666故答案为：. 三、双空题
    16．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的表面积为______；若该六面体内有一小球，则小球的最大表面积为______．

    【答案】 833 272【分析】（1）计算每个面的面积再乘以6，即可得到答案；
    （2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，求出球的半径R，再代入球的表面积公式可得答案. 133333. 【详解】（1）由题意知，因为S6(1，所以该六面体的表面积为2222（2）由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，
    第8页

    每个三角形面积是3326 ，正四面体的高为1(2，4233221362. 故正四面体的体积为，所以六面体体积是212634312由于图像的对称性，内部的小球要是体积最大，就是球要和六个面相切，连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，设球的半径为R，
    821362，所以球的表面积S4R. 6(RR276349833故答案为： ；. 272所以四、解答题
    17．某学校为了解学生中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在较好的线性关系，搜集了7位男生的数据，得到如下表格：
    序号 身高x（cm） 体重y（kg）

    根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为ybx136.55 (1求b；
    1 166 57 2 173 62 3 174 59 4 178 71 5 180 67 6 183 75 7 185 78 (2已知R12i1ni1nyiyi2yy2，且当R20.9时，回归方程的拟合效果非常好；当0.8R20.9时，回归方程的拟合效果良好．判断该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好，说明你的理由（R2的结果保留到小数点后两位）．
    参考数据：yiyi17252.36
    【答案】(1b1.15；
    (2该线性回归方程的拟合效果是良好的；理由见解析．
    【分析】（1）根据给定数表，求出样本的中心点，再代入计算作答. 第9页

    （2）由（1）及已知求出i17yiy2，进而求出R2比较作答. (1 由题中数据可得：x166173174178180183185177，
    7y5762597167757867，于是得67b177136.55，解得b1.15，
    7所以b1.15. (2 由（1）知，yiyi172105842082112390，
    2222则有R152.360.87，即0.8R20.9，
    390所以该线性回归方程的拟合效果是良好的. 18．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上异于A､B的一点，AD平面PAB，BC//AD，ABAD2BC.
    (1求证：平面PBC平面PAD；
    (2若BCPA2，求三棱锥CPBD的体积. 【答案】(1证明见解析； (243. 3【分析】（1）由线面垂直及圆的性质可得ADPB、PAPB，根据线面垂直的判定可得PB平面PAD，最后由面面垂直的判定即可证结论. （2）在平面PAB内过P作PEAB于E，利用线面垂直的性质和判定可知PE是三棱锥PBCD的高，进而求PE，再根据VCPBDVPBCD及棱锥的体积公式求三棱锥CPBD的体积即可. (1 因为AD平面PAB，PB平面PAB，所以ADPB. 因为AB是⊙O的直径，点P是⊙O圆周上不同于A､B的一点，
    第10页

    所以APB90，即PAPB，又ADPAA，AD、PA平面PAD， 所以PB平面PAD，又PB平面PBC， 所以平面PBC平面PAD. (2 在平面PAB内过P作PEAB于E.

    因为AD平面PAB，PE平面PAB，所以ADPE. 因为ABADA，所以PE平面ABCD， 所以PE是三棱锥PBCD的高. 在RtPAB中AB2BC2PA，所以PAB60， 所以PEPAsinPAB2sin603. 因为四边形ABCD是直角梯形，BC2，ABAD2BC4， 所以SABCDBCADAB24412，S22△ABDADAB448. 221所以VCPBDVPBCDS3143. PE1283BCD3319．在数列an中，a11，a22，且an23an14an. (1证明：an1an是等比数列； (2求数列an的通项公式. 【答案】(1证明见解析；
    3n12(2an4n11. 55【分析】（1）由递推关系得an2an14an1an，结合已知及等比数列定义即可证结论. 第11页


    n1n1（2）由（1）得an2an94，当n为奇数，应用累加法求an，当n为偶数，结合an1an34求an，即可确定an的通项公式. (1 由an23an14an得：an2an14an1an，且an1an0， an2an14，又a2a13，
    则an1an所以数列an1an是首项为3，公比为4的等比数列. (2 n1n1nn1由（1）知：an1ana2a1434，又an2an134，则an2an94，
    当n为奇数时，ana1a3a1anan2191424n314n3423n1219142545，
    3n12n1 当n为偶数时，an34an14·553n1n12 综上，an41·55120．已知实数a0，设函数fxexae2a2x，f2(1当a1时，求函数fx的单调区间； (2证明：fx是函数fx的导函数. x存在唯一零点，并求零点的最大值. 【答案】(1在,1ln2上单调递减，在1ln2,上单调递增； (2证明见解析，零点的最大值为ln2. 【分析】（1）对fx求导，根据其导函数的符号确定单调区间即可. x（2）对fx求导，构造xeex利用导数研究其单调性并确定ex,ex的大小关系，再利用所得关系，结合放缩法、零点存在性定理及fx的单调性判断fx的零点存在性和唯一性，令fx0得x022lnaln2a，构造ta22lnaln2a并研究单调性求其最值即可. (1 1212xex1x1当a1时，fxeex，则fxeeee，
    222令fx0得：x1ln2，
    第12页

    又fx在R上单调递增且f1ln20，
    x0；x1ln2,时fx0
    故x,1ln2时f所以fx在区间,1ln2上单调递减，在区间1ln2,上单调递增. (2 122122xaxa由fxeeax得：fxeea，且f22xx设xeex，则xee，
    x在R上单调递增. 当x,1时x0，x单调递减， 当x1,时x0，x单调递增， 所以x10，即exex，
    122e22122122e2222a22又flnaaaea1a0，f2aaeea2eaea2ea0. 22222221x在lna2a,2a2a上存在唯一零点x0使得ex0ae2a2，解得x022lnaln2a. 22设ta22lnaln2a，a0,，则ta1，
    a    2令ta10得：a2，
    a所以f当a0,2时ta0，则ta单调递增； 当a2,时ta0，则ta单调递减； 所以tamaxt2ln2，故fx的零点的最大值为ln2. x单调性x【点睛】关键点点睛：第二问，构造xeex并研究单调性判断ex,ex的大小，利用此关系及f求证零点的存在性和唯一性，再求fx的零点关于参数a的表达式，再构造函数求最值. 21．圆心为4,0的圆与抛物线y22x相交于A，B，C，D四个点． (1求圆的半径r的取值范围；
    (2当四边形ABCD面积最大时，求对角线AC与BD的交点P的坐标． 【答案】(17,4
    第13页

    (21,0
    【分析】（1）联立圆与抛物线的方程，保证由两个解即可；
    （2）由圆与抛物线关于x轴对称的特点，用韦达定理表示出梯形面积公式，求其最大时P的坐标即可. (1 设圆的方程为x4y2r2r0，
    2x4y2r2联立2得x26x16r20（）
    y2x2故当x0时x26x16r20有两个不相等实数根
    2即r2x26x16 ，即直线yr2 与函数gxx6x16 有两个交点，
    函数gx 图像如下：

    7r216 ，7r4 ；
    (2 如图，设Ax1,y1，Dx2,y2，M、N分别为AB、CD与x轴的交点．

    第14页


    由AB，CD关于x轴对称，所以点P在x轴上， B，C点的坐标分别为Bx1,y1,Cx2,y2 ， 直线AC的方程为：yy1y1y2xx1， x1x2令y0，整理得xx1x2，故Px1x2,0，
    S四边形ABCD2S梯形AMNDy1y2x2x1
    22x1x22x1x2x12x22x1x2
    26216r236416r2．
    2（其中由第（1）问（）式可知x1x26，x1x216r）
    令16r2tx1x2，t0,3，即S四边形ABCD262t364t2，
    22令ft62t364t，则ft24t2t324t1t3，
    当t0,1时，ft0，则ft单调递增； 当t1,3时，ft0，则ft单调递减；
    因此当t1时，ft有最大值，即四边形ABCD面积最大，此时P1,0；
    故答案为：    7,4 ，1,0
    .     22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为26（其中0）．
    2sin2(1求曲线C的直角坐标方程；
    (2若Mx,y为曲线C上一点，当xy取得最大值时，求点M的坐标． x2y210y2； 【答案】(1323525(25,5. 【分析】（1）根据极坐标和直角坐标互化公式即可求出；
    （2）设x3cos，y2sin，0,，可得xy3cos2sin5sin，再利用三角函数第15页

    的性质即得. (1 2由6得222sin26，
    22sin又2x2y2，siny0， 则2x23y26，
    x2y2即10y2， 32x2y210y2. 所以曲线C的直角坐标方程为32(2 设x3cos，y2sin，0,，
    23sincos则xy3cos2sin55sin， 55其中满足cos32，sin．
    55时，xy取最大值．
    2535，y2sincos．
    55当2k2此时x3cos3sin3525所以点M的坐标为5,5．
    23．已知函数fxax2x1． (1当a4时，求不等式fx6的解集；
    (2若区间4,1为不等式fx2x1的解集的子集，求a的取值范围． 4【答案】(1,0；
    3(25,0. 【分析】（1）利用零点讨论法即得；
    a44xa2x12x1x4,12时，（）由题可得当恒成立，进而可得，即求. a41第16页

    (1 当a4时，函数fx4x2x1， 3x2,x1可表示为fxx6,1x4，
    3x2,x4x11x4x4fx6由，则或或，
    3x263x26x664解得：x,1或x1,0或x，
    34故不等式fx6的解集为,0．
    3(2 由区间4,1为不等式fx2x1的解集的子集， 即当x4,1时，xa2x12x1恒成立，
    又x4,1时，x10，x10，故x1x1，x11x， 不等式fx2x1等价于xa4，解得a4xa4，
    a44又因为当x4,1时不等式恒成立，所以，解得5a0．
    a41故a的取值范围为5,0．

    第17页

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