中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”2019年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．若，则的值为（ ）．

（A） （B） （C） （D）

解： 由题设得．

2．若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）．

（A）a≤ （B）a≥4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4

解．C

因为b是实数，所以关于b的一元二次方程

的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4．

3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，则AD边的长为（ ）．

（A） （B）

（C） （D）

解：D

如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．

由已知可得

BE=AE=，CF＝，DF＝2，

于是 EF＝4＋．

过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，根据勾股定理得

AD＝．

4．在一列数……中，已知，且当k≥2时，

（取整符号表示不超过实数的最大整数，例如，），则等于（ ）．

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解：B

由和可得

，，，，

，，，，

……

因为2019=4×502+2，所以=2．

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…， 则点P2019的坐标是（ ）．

（A）（2019，2） （B）（2019，）

（C）（2019，） （D）（0，2）

解：B由已知可以得到，点，的坐标分别为（2，0），（2，）．

记，其中．

根据对称关系，依次可以求得：

，，，．

令，同样可以求得，点的坐标为（），即（），

由于2019=4502+2，所以点的坐标为（2019，）．

二、填空题

6．已知a＝－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．

解：0

由已知得 (a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，于是

2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．

7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．

解：15

设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S千米，小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得

， ①

， ② ． ③

由①②，得，所以，x=30． 故（分）．

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．

解：

如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．

由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，

过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．

于是，直线即为所求的直线．

设直线的函数表达式为，则

解得,故所求直线的函数表达式为．

9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则 ．

解：

见题图，设．

因为Rt△AFB∽Rt△ABC，所以．

又因为 FC＝DC＝AB，所以即 ，

解得，或（舍去）．

又Rt△∽Rt△，所以， 即=．

10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足，则正整数的最小值为 ．

解： 因为为的倍数，所以的最小值满足

，

其中表示的最小公倍数．

由于

，

因此满足的正整数的最小值为．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： ．

证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径，所以

ED⊥BC， FD⊥BC，

因此D，E，F三点共线. …………（5分）

连接AE，AF，则

，

所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得

，

从而 ，

所以 . …………（20分）

12．如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.

（1）求实数a，b，k的值；

（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.

解：（1）因为点A（1，4）在双曲线上，

所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.

设点B（t，），，AB所在直线的函数表达式为，则有

解得，.

于是，直线AB与y轴的交点坐标为，故

，整理得，

解得，或t＝（舍去）．所以点B的坐标为（，）．

因为点A，B都在抛物线（a0）上，所以解得 …………（10分）

（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（，4），于是CO＝4. 又BO=2，所以.

设抛物线（a0）与x轴负半轴相交于点D， 则点D的坐标为（，0）.

因为∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.

（i）将△绕点O顺时针旋转，得到△.这时，点(，2)是CO的中点，点的坐标为（4，）.

延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件的点.

（ii）作△关于x轴的对称图形△，得到点（1，）；延长到点，使得＝，这时点E２（2，）是符合条件的点．

所以，点的坐标是（8，），或（2，）. …………（20分）

13．求满足的所有素数p和正整数m.

．解：由题设得，

所以，由于p是素数，故，或. ……（5分）

（1）若，令，k是正整数，于是，

，

故，从而.

所以解得 …………（10分）

（2）若，令，k是正整数.

当时，有，

，

故，从而，或2.

由于是奇数，所以，从而.

于是

这不可能.

当时，，；当，，无正整数解；当时，，无正整数解.

综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分）

14．从1，2，…，2019这2019个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

解：首先，如下61个数：11，，，…，（即1991）满足题设条件. …………（5分）

另一方面，设是从1，2，…，2019中取出的满足题设条件的数，对于这n个数中的任意4个数，因为

， ，

所以 .

因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分）

设，i=1，2，3，…，n.

由，得，

所以，，即≥11. …………（15分）

≤，

故≤60. 所以，n≤61.

综上所述，n的最大值为61. …………（20分）