2020年湖北省天门市中考数学试卷

（考试时间：120分钟 满分：120分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）

1．下列各数中，比﹣2小的数是（　　）

A．0 B．﹣3 C．﹣1 D．|﹣0.6|

2．如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A． B． C． D．

3．我国自主研发的“北斗系统”现已广泛应用于国防、生产和生活等各个领域，多项技术处于国际领先地位，其星载原子钟的精度，已经提升到了每3000000年误差1秒．数3000000用科学记数法表示为（　　）

A．0.3×106 B．3×107 C．3×106 D．30×105

4．将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°

5．下列说法正确的是（　　）

A．为了解人造卫星的设备零件的质量情况，选择抽样调查

B．方差是刻画数据波动程度的量

C．购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件

D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为1

6．下列运算正确的是（　　）

A．＝±2 B．（）﹣1＝﹣2 C．a+2a2＝3a3 D．（﹣a2）3＝﹣a6

7．对于一次函数y＝x+2，下列说法不正确的是（　　）

A．图象经过点（1，3）

B．图象与x轴交于点（﹣2，0）

C．图象不经过第四象限

D．当x＞2时，y＜4

8．一个圆锥的底面半径是4cm，其侧面展开图的圆心角是120°，则圆锥的母线长是（　　）

A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm

9．关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，且α2+β2＝12，那么m的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣4 C．﹣4或1 D．﹣1或4

10．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，BD，CE交于点F，连接AF．下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④∠AFE＝45°．其中正确结论的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）

11．已知正n边形的一个内角为135°，则n的值是　 　．

12．篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队14场比赛得到23分，则该队胜了　 　场．

13．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为　 　海里．

14．有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为　 　．

15．某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为　 　元．

16．如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝﹣x和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2020的横坐标为　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，满分72分.）

17．（12分）（1）先化简，再求值：÷，其中a＝﹣1．

（2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

18．（6分）在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．

（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点；

（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点．

19．（7分）5月20日九年级复学啦!为了解学生的体温情况，班主任张老师根据全班学生某天上午的《体温监测记载表》，绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．

学生体温频数分布表

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）频数分布表中a＝　 　，该班学生体温的众数是　 　，中位数是　 　；

（2）扇形统计图中m＝　 　，丁组对应的扇形的圆心角是　 　度；

（3）求该班学生的平均体温（结果保留小数点后一位）．

20．（8分）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．

（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；

（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；

（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．

21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．

22．（9分）如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点，已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．

（1）填空：反比例函数的关系式为　 　；

（2）求直线AB的函数关系式；

（3）动点P在y轴上运动，当线段PA与PB之差最大时，求点P的坐标．

23．（10分）实践操作：

第一步：如图1，将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，然后把纸片展平．

第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点E的直线折叠，点C恰好落在AD上的点C′处，点B落在点B'处，得到折痕EF，B'C′交AB于点M，C′F交DE于点N，再把纸片展平．

问题解决：

（1）如图1，填空：四边形AEA'D的形状是　 　；

（2）如图2，线段MC′与ME是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

（3）如图2，若AC′＝2cm，DC'＝4cm，求DN：EN的值．

24．（12分）小华端午节从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小华到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟），图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段AB表示小华和商店的距离y1（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题：

（1）填空：妈妈骑车的速度是　 　米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是　 　分钟，点M的坐标是　 　．

（2）直接写出妈妈和商店的距离y2（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并在图2中画出其函数图象；

（3）求t为何值时，两人相距360米．

参考答案与试题解析

一、选择题

1．【解答】解：∵|﹣0.6|＝0.6，

∴﹣3＜﹣2＜﹣1＜0＜|﹣0.6|．

故选：B．

2．【解答】解：俯视图就是从上面看到的图形，因此选项C的图形符合题意，

故选：C．

3．【解答】解：3000000＝3×106，

故选：C．

4．【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，

∴∠ACB＝45°．

∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，

∴∠DEF＝30°．

∵EF∥BC，

∴∠EDC＝∠DEF＝30°，

∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．

故选：A．

5．【解答】解：为了解人造卫星的设备零件的质量情况，应选择全面调查，即普查，不宜选择抽样调查，因此选项A不符合题意；

方差是刻画数据波动程度的量，反映数据的离散程度，因此选项B符合题意；

购买一张体育彩票中奖，是可能的，只是可能性较小，是可能事件，因此选项C不符合题意；

掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，因此选项D不符合题意；

故选：B．

6．【解答】解：A．因为＝2，

所以A选项错误；

B．因为（）﹣1＝2，

所以B选项错误；

C．因为a与2a2不是同类项，不能合并，

所以C选项错误；

D．因为（﹣a2）3＝﹣a6，

所以D选项正确．

故选：D．

7．【解答】解：∵一次函数y＝x+2，

∴当x＝1时，y＝3，

∴图象经过点（1，3），故选项A正确；

令y＝0，解得x＝﹣2，

∴图象与x轴交于点（﹣2，0），故选项B正确；

∵k＝1＞0，b＝2＞0，

∴不经过第四象限，故选项C正确；

∵k＝1＞0，

∴函数值y随x的增大而增大，

当x＝2时，y＝4，

∴当x＞2时，y＞4，故选项D不正确，

故选：D．

8．【解答】解：圆锥的底面周长为2π×4＝8πcm，即为展开图扇形的弧长，

由弧长公式得，＝8π，

解得，R＝12，即圆锥的母线长为12cm．

故选：B．

9．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0有两个实数根，

∴△＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣m）＝﹣4m+4≥0，

解得：m≤1．

∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，

∴α+β＝﹣2（m﹣1），α•β＝m2﹣m，

∴α2+β2＝（α+β）2﹣2α•β＝[﹣2（m﹣1）]2﹣2（m2﹣m）＝12，即m2﹣3m﹣4＝0，

解得：m＝﹣1或m＝4（舍去）．

故选：A．

10．【解答】解：如图，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴EC＝BD，∠BDA＝∠AEC，故①正确

∵∠DOF＝∠AOE，

∠DFO＝∠EAO＝90°，

∴BD⊥EC，故②正确，

∵△BAD≌△CAE，AM⊥BD，AN⊥EC，

∴AM＝AN，

∴FA平分∠EFB，

∴∠AFE＝45°，故④正确，

若③成立，则∠AEF＝∠ABD＝∠ADB，推出AB＝AD，显然与条件矛盾，故③错误，

故选：C．

二、填空题

11．【解答】解：∵正n边形的一个内角为135°，

∴正n边形的一个外角为180°﹣135°＝45°，

∴n＝360°÷45°＝8．

故答案为：8．

12．【解答】解：设该队胜了x场，负了y场，依题意有

，

解得．

故该队胜了9场．

故答案为：9．

13．【解答】解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，

根据题意可知：

∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝20，

在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB•sin45°＝20×＝10，

在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，

∴AD＝2AC＝20（海里）．

答：此时轮船与小岛的距离AD为20海里．

故答案为：20．

14．【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次取出的数字之和是奇数的有4种结果，

∴两次取出的数字之和是奇数的概率为，

故答案为：．

15．【解答】解：设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，

w＝（x﹣50）[200+（80﹣x）×20]＝﹣20（x﹣70）2+8000，

∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000，

故答案为：70．

16．【解答】解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上，

∴P1（1，1），

∵P1P2∥x轴，

∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1，

∵P2在直线y＝﹣x上，

∴1＝﹣x，

∴x＝﹣2，

∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21，

同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24…，

∴P4n＝2，

∴P2020的横坐标为2＝21010，

故答案为：21010．

三、解答题

17．【解答】解：（1）原式＝•

＝，

当a＝﹣1时，原式＝＝2；

（2），

∵解不等式①得：x＞﹣2，

解不等式②得：x≤4，

∴不等式组的解集是：﹣2＜x≤4，

在数轴上表示为：．

18．【解答】解：（1）如图1，F点就是所求作的点：

（2）如图2，点N就是所求作的点：

19．【解答】解：（1）20÷50%＝40（人），a＝40×25%＝10；

36.5出现了20次，次数最多，所以众数是36.5；

40个数据按从小到大的顺序排列，其中第20、21个数据都是36.5，所以中位数是（36.5+36.5）÷2＝36.5．

故答案为：10，36.5，36.5；

（2）m%＝×100%＝15%，m＝15；

360°×＝36°．

故答案为：15，36；

（3）该班学生的平均体温为：＝36.455≈36.5（℃）．

20．【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，

∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，

∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．

（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：

∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，

∴函数的最小值为﹣3，

∵﹣6＜﹣3，

∵动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；

（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，

∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，

∴当x＜3时，y随x的增大而减小，

∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，

∴y1＞y2．

21．【解答】解：（1）连接OD，AD，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴∠BAC＝2∠BAD，

∵∠BAC＝2∠BDE，

∴∠BDE＝∠BAD，

∵OA＝OD，

∴∠BAD＝∠ADO，

∵∠ADO+∠ODB＝90°，

∴∠BDE+∠ODB＝90°，

∴∠ODE＝90°，

即DF⊥OD，

∵OD是⊙O的半径，

∴DF是⊙O的切线．

（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD，

∵BO＝AO，

∴OD∥AC，

∴△EOD∽△EAF，

∴，

设OD＝x，

∵CF＝2，BE＝3，

∴OA＝OB＝x，

AF＝AC﹣CF＝2x﹣2，

∴EO＝x+3，EA＝2x+3，

∴＝，

解得x＝6，

经检验，x＝6是分式方程的解，

∴AF＝2x﹣2＝10．

22．【解答】解：（1）解：（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y＝，

得k＝1×6＝6，

则y＝，

故答案为：y＝；

（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，

设B（m，n），

∴mn＝6，

∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1，

∴S△ABE＝＝，

∵A、B两点均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴S△BOD＝S△AOC＝＝3，

∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣3﹣＝3n﹣m，

∵△AOB的面积为8，

∴3n﹣m＝8，

∴m＝6n﹣16，

∵mn＝6，

∴3n2﹣8n﹣3＝0，

解得：n＝3或﹣（舍），

∴m＝2，

∴B（2，3），

设直线AB的解析式为：y＝kx+b，

则，解得：，

∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4；

（3）如图，根据“三角形两这边之差小于第三边可知：

当点P为直线AB与y轴的交点时，PA﹣PB有最大值是AB，

把x＝0代入y＝﹣x+4中，得：y＝4，

∴P（0，4）．

23．【解答】解：（1）∵ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADC＝90°，

∵将矩形纸片ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD上的点A'处，得到折痕DE，

∴AD＝AD′，AE＝A′E，∠ADE＝∠A′DE＝45°，

∴∵AB∥CD，

∴∠AED＝∠A′DE＝∠ADE，

∴AD＝AD′，

∴AD＝AE＝A′E＝A′D，

∴四边形AEA′D是菱形，

∵∠A＝90°，

∴四边形AEA′D是正方形．

故答案为：正方形；

（2）MC′＝ME．

证明：如图1，连接C′E，由（1）知，AD＝AE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠EAC′＝∠B＝90°，

由折叠知，B′C′＝BC，∠B＝∠B′，

∴AE＝B′C′，∠EAC′＝∠B′，

又EC′＝C′E，

∴Rt△EC′A≌Rt△CEB′（HL），

∴∠C′EA＝∠EC′B′，

∴MC′＝ME；

（3）∵Rt△EC′A≌Rt△CEB′，

∴AC′＝B′E，

由折叠知，B′E＝BD，

∴AC′＝BE，

∵AC′＝2cm，DC′＝4cm，

∴AB＝CD＝2+4+2＝8（cm），

设DF＝xcm，则FC′＝FC＝（8﹣x）cm，

∵DC′2+DF2＝FC′2，

∴42+x2＝（8﹣x）2，

解得，x＝3，

即DF＝3cm，

如图2，延长BA、FC′交于点G，则∠AC′G＝∠DC′F，

∴tan∠AC′G＝tan∠DC′F＝，

∴，

∴，

∵DF∥EG，

∴△DNF∽△ENG，

∴．

24．【解答】解：（1）妈妈骑车的速度为120米/分钟，

妈妈在家装载货物时间为5分钟，

点M的坐标为（20，1200）．

（2），

其图象如图所示，

（3）由题意可知：小华速度为60米/分钟，妈妈速度为120米/分钟，

①相遇前，依题意有60t+120t+360＝1800，

解得t＝8分钟，

②相遇后，依题意有，

60t+120t﹣360＝1800，

解得t＝12分钟．

③依题意，当t＝20分钟时，妈妈从家里出发开始追赶小华，

此时小华距商店为1800﹣20×60＝600米，只需10分钟，

即t＝30分钟，小华 到达商店．

而此时妈妈距离商店为1800﹣10×120＝600米＞360米，

∴120（t﹣5）+360＝1800×2，

解得t＝32分钟，

∴t＝8，12或32分钟时，两人相距360米