2017年湖南省长沙市中考数学试卷

满分：120分 版本：人教版

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.(2017年湖南长沙)下列实数中，为有理数的是

A . B.∏ C. D.1

答案：D，解析：开方开不尽的数、化简后式子中含有∏的数都是无理数；整数和分数统称为有理数，1是整数，是有理数。

2. (2017年湖南长沙)下列计算正确的是

A. B.a+2a=2a2 C.x(1+y)=x+xy D.(mn2)3=mn6

答案：C，解析：A不是同类二次根式不好相加，错；B同类项相加，系数相加减，字母及字母的指数不变a+2a=3a2 ，错；C单项式与多项式相乘，把单项式与多项式中的每一项相乘，再把所得的积相加，对；D，积的乘方，积中的各个因式分别乘方，再把幂相乘，(mn2)3=m3n6，错。

3.(2017年湖南长沙)据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为

A.0.826×106 B.8.26×107 C.82.6×105 D.8.26×108

答案：C，解析：将一个大于10的数用科学计数法表示，其形式为a×10n其中1≤a<10,

4.在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A. B. C. D.

答案：C，解析：A既不是轴对称，也不是中心对称图形，错；B正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，错；C正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，对；D，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，错。

5.一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，刚这个三角形一定是

A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形

答案：B，解析：设内角分别为x度，2x度，3x度，由内角和180°=x+2x+3x，得x=30°，则3x=90°，所以是直角三角形。

6.下列说法正确的是

A.检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查

B.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生

C.数据3，5，4，1，-2的中位数是4

D.“367人中有2人同月同日生”为必然事件

答案：D，解析：A检测灯泡具有破坏性，所以应用抽查，错；B可能性是1%的事件是随机事件，可能发生，错；C从小到大依次排序-2，1，3，4，5，中位数是3，错；D一年最多有366天，所以367人中必有2人同一天生日，对。

7. 某几何体的三视图如图所示，因此几何体是

A.长方体B.圆柱C.球D正三棱柱

答案：B，解析：长方体的俯视图不是圆，错；C球的三视图都是圆，对；D正三棱柱的主视图是三角形，错。

8.抛物线y=2(x-3)2+4的顶点坐标是

A. (3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(2,4)

答案：B，解析：抛物线的顶点式是y=a(x+h)2+K，坐标为（h，k），所以抛物线y=2(x-3)2+4

的顶点坐标是（-3，4）。

9.如图，已知直线a∥b直线c分别与a,b相交，∠1=1100，则∠2的度数为

A. 600 B.700 C.800 D.1100

答案：B，解析：a∥b可得∠1的补角70°，再由a∥b，可得同位角∠2是70°。

10.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm,8cm，则这处菱形的周长为

A. 5cm B. 10cm C. 14cm D.20cm

答案：D，解析：菱形ABCD的对角线AC,BD垂直且平分，所以OB=4、OC=3，由勾股定理得BC=5，所以菱形周长是4×BC=20cm。

11.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为

A. 24 里 B. 12里 C. 6里 D.3里

答案：C，解析：设第六天走的路程为x里，则第5天为2x里，依次往前推，可得方程x+2x+4x+8x+16x+32x=378，解得x=6，所以选C。

12.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合（H不与端点C,D重合）折痕交AD于点E，交BC于点F，边AB折叠后与边BC交于点G，设正方形ABCD的周长为 m,△CHG的周长为n，则的值为.

A. B. C. D. 随H点位置的变化而变化

答案：B，解析：

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

13.分解因式：2a2+4a+2=

答案：2（a+1）2，解析：提取公因式2得2（a2+2a+1）再借助完全平方式因式分解得2（a+1）2。

14.方程组的解是

答案：，解析：由①+②得4x=4，x=1；将x=1代入①得y=0.

15.如图，AB为圆O的直径，弦CDAB于点E，已知CD=6，EB=1，则圆O的半径为

答案：5，解析：连接OC，因为弦CDAB，所以CE=CD=3，设OC=x，则OE=x-1，由勾股定理得（x-1）2+32=x2，所以x=5

16.如图，ABO三个顶点的坐标分别为A（2,4）,B(6,0) ,C(0,0),以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到A、B、O，已知点B/的坐标是（3，0）则点A/的坐标是

答案：A1（1，2），解析：因为位似图形是相似图形，所以△ABO∽△A1B1O，相似比是，则A1是线段OA的中点，由中点坐标公式可得A1（1，2）。

17.甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好是1.6米，方差甲是=1.2，方差乙是=0.5，则在本次测试中， 同学的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）

答案：乙，解析：因为方差越小越稳定，方差甲>方差乙，所以乙成绩稳定。

18.如图，点M是函数y=x,与y=的图像在第一象限内的交点，OM=4，则k的值为

二、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

19.计算：+—2sin300+

解：原式=

解析：原式第一项利用绝对值的代数意义计算，第二项利用零指数幂计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果。

20.解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来

解：由（1）得，由（2）得

所以，原不等式组的解集是。

解析：本题 主要考察一元一次不等式组的解法，分别求出两个不等式的解，取两个不等式解的公共部分即为不等式组的解集，在数轴上表示出来即可。

21.为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表。请根据所给信息，解答以下问题：

（1）表中a= , b= ;

（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；

（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率。

解：（1），

（2）

（3）

解析：（1）首先根据A组频数及其频率可得总人数，再利用频数、频率之间的关系求得a,b；

（2）B组的频率乘以即可求得答案；

（3）列树形图后即可将所有情况全部列举出来，从而求得恰好抽中这两人的概率。

22.为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东600方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东300方向上。

（1）求∠APB的度数

（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

思路分析：（1）在中，求出∠PAB、∠PBA的度数即可解决问题；

(2)作PH⊥AB于H.求出PH的值即可判定；

解：（1）∠PAB=30°，∠ABP=120°，

∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°.

（2）作PH⊥AB于H.

∠BAP=∠BPA=30°，

BA=BP=50,

在RtPBH中，PH=PBsin60°=50=，

>25，

海监船继续向正东方向航行是安全的.

23.如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D,E,CD=CE

（1）求证：OA=OB

（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积。

思路分析：(1)连接OC,由切线的性质可以知道∠ACO=90°,因为 ,所以∠AOC=∠BOC,从而可证明∠A=∠B,从而可以知道OA=OB.

(2)由(1)可以知道: AOB是等腰三角形,所以,从可求出扇形OCE的面积以及OCB的面积.

解:(1)连接OC, 

与⊙O相切于点C 

∠ACO=90°，



∠AOC=∠BOC，

∠A=∠B

OA=OB，

(2)由(1)可以知道: OAB是等腰三角形，

，

sin∠COB=,

∠COB=60°，

 ∠B=30°，

,

 扇形OCE的面积为:，

OCB的面积为:

S阴影=

24.自从湖南与欧洲的“湘欧快线”开通后，我省与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商在湖南采购一批特色商品，经调查，从16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元。

（1）求一件A,B型商品的进价分别为多少元？

（2）在（2）的条件下，欧洲客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元，求该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益。

思路分析：（1）通过两个等量关系设未知数，列分式方程；（2）通过题意列代数式及不等式组；（3）列出收益的代数式，并通过分析k，分析在m的范围内的最大收益。

解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品进价为（10+x）元。

由题意得：

解得：

经检验，为原方程的解

答：一件A型商品进价160元，一件B型商品进价150元。

（2） 由题意得：

化简得：

由题意得：

解得：

（3）设该客商售完所有商品并捐献慈善资金后获得的最大收益为W

由题意得：

整理得：

当0≤a<10时，10-a>0，m=125时有最大利润，Wmax=18750-125a；

当a=10时，10-a=0，Wmax=17500；

当a>10时，10-a<0，m=80时有最大利润，Wmax=18300-80a。

25.若三个非零实数x,y,z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，刚称这三个实数x,y,z构成“和谐三数组。”

（1）实数1，2，3可以“和谐三数组”

（2）若M(t,y1),N(t+1,y2),R(t+3,y3)三点均在函数（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1,y2,y3构成“和谐三数组”，求实数t的值；

（3）若直线 y=2bx+2c（bc≠0）与x 轴交于点A（x1,0）与抛物线y=ax2+3bx+3c（a≠0）交于B点P（x2,y2）,C（x3,y3）两点。

①求证：A,B,C三点的横坐标x1,x2,x3 构成“和谐三数组”

② 若a＞2 b＞3c,x2=1,求点P（）与原点O的距离OP的取值范围。

思路分析：（1）通过题意分析，验证与的和是否与1相等；（2）通过定义分类讨论，列式求t；（3） 用b,c表示，并通过韦达定理计算出，两者相同，利用定义说明； 由条件可得a+b+c=0，得c=-(a+b)，由a>2b>3c得取值，利用两点间距离公式可得OP2，利用二次函数性质求OP2取值，从而求OP取值。

解：（1）1,2,3的倒数分别为1，，，且1>>

又

1,2,3不可以为“和谐三数组”

（2）M(t,)，N(t+1,)，R(t+3,)，且，，组成“和谐三数组”

若，得2t+4=t，得t=-4；

若，得2t+3=t+1，得t=-2；

若，得2t+1=t+3，得t=2.

综上，t的值为-4，-2，2

（3） 令y=2bx+2c=0,则x1=；

联立

整理得：ax2+bx+c=0

A,B,C三点的横坐标x1,x2,x3 构成“和谐三数组”

x2=1

a+b+c=0

c=-a-b

a>2b>3c

a>2b>3(-a-b)，且a>0

令，则

2>0

当时，OP2随m增大而减小，当时，OP2有最大值，当时，OP2有最小值

当时，OP2随m增大而增大，当时，OP2有最小值，当时，OP2有最大值

26.如图 ，抛物线y=mx2-16mx+48m（m＞0）与x轴交于A,B两点（点B在点A左侧），与 y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD延长AD交y轴于点E.

（1）若OAC为等腰直角三角形，求m的值；

（2）若对任意m＞0，C,E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含有m的式子表示）

（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD,且点D为线段AE的中点，此时对于该抛物线上任意一点P（x0,y0）总有 成立，求实数n的最小值。

答案（1）（2）C（0,48m）E（0，-48m）（3）

解析：（1）于是B（4,0）A（12,0）则OC=OA=12所以C（0.12）即48m=12，（2）设直线AE解析式为y=kx+b则得所以直线AE为y=4mx-48m，联立解得或所以D（8，-16m）（3）D为AE中点，A、E的横坐标分别为12、0故D点横坐标为6代入抛物线解析式，D（6，-16m）又由∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD得△OBD∽△ODA所以即解得带回抛物线解析式为又可化为故P点纵坐标==对称轴为而要使对任意P点总成立，则，即故所求实数的最小值为