2019年河南省高考理科数学模拟试题与答案

（一）

考试说明：

本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分；满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2．设集合

A．[0，3) B．{1，2} C．{0，l，2} D．{0，1，2，3}

3. 若某多面体的三视图（单位：）如右图所示，则此多面体的体积是

A.　

B.

C.　

D.

4. 设满足约束条件则的最大值为

A.4 B.8 C.12 D.16

5.《中国诗词大会》(第二季)亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有

A．144种 B．48种 C．36种 D．72种

6. 已知，则=

A. B. C. D.

7．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为A

A. B. C. D.

8. 当时，，则下列大小关系正确的是

A． B.

C. D.

9. 设函数，且其图象关于直线对称，则

A.的最小正周期为，且在上为增函数

B.的最小正周期为，且在上为减函数

C.的最小正周期为，且在上为增函数

D.的最小正周期为，且在上为减函数

10.一条渐近线的方程为的双曲线与抛物线的一个交点为A，已知(F为抛物线C的焦点)，则双曲线的标准方程为

A． B．

C． D．

11.设函数定义域为R，且满足f(-x)=f(x), f(x)=f(2-x),当时,f(x)=2x-1 , 则函数在区间上的所有零点的和为

A. B. C. D.

12．函数的图像大致为

第卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）

13. 已知数列的前n项和=n2+n，则a3 + a4＝ .

14．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参

加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）

15. 在中，，且（其中），且，若分别为线段中点，则线段的最小值为 ．

16．若圆关于直线对称，则的最小值为 ，

由点向圆所作两条切线，切点记为A,B，当|AB|取最小值时，外接圆的半径

为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

已知函数（），是偶函数．

（1）求的值；

（2）求函数在区间的最大值．

18．（本小题满分12分）

如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

图1 图2

19. （本小题满分12分）

大连市某企业为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

表中，.

根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

根据的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；

已知这种产品的年利润与、的关系为.根据的结果回答下列问题：

年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？

年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

，.

20. （本小题满分12分）

已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，交轴于点为坐标原点.

（1）若,求直线的方程；

（2）线段的垂直平分线与直线轴，轴分别交于点，求的最小值.

21.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x.

(1)若f(x)在x＝1处取得极值，求a的值；

(2)求函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值．

请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为，．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）在曲线C上求一点，使它到直线（为参数）的距离最短，写出点的直角坐标.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数，，且的解集为[-1，1].

（1）求的值；

（2）若是正实数，且，求证：.

参考答案

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.A 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.A 8.D 9.B 10.B 11.B 12.B

第卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）

13. 14 14. 30 15. 16.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.

17.（本小题满分12分）

（1）依题意，……………2分

．……………3分

因为是偶函数，所以．……………5分

又因为，所以．……………6分

（2）由（1）得，，．……………8分

．……………10分

时，，

故函数在区间的最大值为．……………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为 在△中，，分别为，的中点，

所以 ，．

所以 ，又为的中点，

所以． [ 1分]

因为 平面平面，且平面，

所以 平面， [ 3分]

所以 ． [ 4分]

（Ⅱ）取的中点，连接，所以 ．

由（Ⅰ）得 ，．

如图建立空间直角坐标系． [ 5分]

由题意得，，，，．

所以 ，，．

设平面的法向量为，

则 即

令，则，，所以 ． [ 7分]

设直线和平面所成的角为，

则 ．

所以 直线和平面所成角的正弦值为． [ 9分]

（Ⅲ）线段上存在点适合题意．

设 ，其中． [10分]

设 ，则有，

所以 ，从而 ，

所以 ，又，

所以 ． [12分]

令 ，

整理得 ． [13分]

解得 ，舍去．

所以 线段上存在点适合题意，且． [14分]

19. （本小题满分12分）

解：由散点图可以判断适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型.

令，先建立关于的线性回归方程

，

，

所以关于的线性回归方程为，

所以关于的线性回归方程为.

由知，当时，年销售量的预报值为，

年利润的预报值为.

根据的结果知，年利润的预报值

，

当，即时，年利润的预报值最大，

故年宣传费为46.24千元时，年利润预报值最大.

20．（本小题满分12分）

解：（1）设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得y2－4my－4＝0，

y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．

所以kOA＋kOB＝＋＝＝－4m＝4．

所以m＝－1，

所以l的方程为x＋y－1＝0．

（2）由（1）可知，m≠0，C(0，－)，D(2m2＋1，2m)．

则直线MN的方程为y－2m＝－m(x－2m2－1)，则

M(2m2＋3，0)，N(0，2m3＋3m)，F(1，0)，

S△NDC＝·|NC|·|xD|＝·|2m3＋3m＋|·(2m2＋1)＝，

S△FDM＝·|FM|·|yD|＝·(2m2＋2)·2|m|＝2|m| (m2＋1)，

则＝＝m2＋＋1≥2，

当且仅当m2＝，即m2＝时取等号．

所以，的最小值为2．

其它解法参考答案给分．

21.(本小题满分12分)

　(1)因为f(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x，所以函数的定义域为(0，＋∞)．

所以f′(x) ＝－2ax＋(a－2)＝＝.

因为f(x)在x＝1处取得极值，即f′(1) ＝－(2－1)(a＋1)＝0，解得a＝－1.

当a＝－1时，在(，1)上f′(x)<0，在(1，＋∞)上f′(x) >0，

此时x＝1是函数f(x)的极小值点，所以a＝－1.

(2)因为a2<a，所以0<a<1，f′(x) ＝－.

因为x∈(0，＋∞)，所以ax＋1>0，所以f(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．

①当0<a≤时，f(x)在[a2，a]上单调递增，所以f(x)max＝f(a)＝lna－a3＋a2－2a；

②当即<a<时，f(x)在(a2，)上单调递增，在(，a)上单调递减，

所以f(x)max＝f()＝－ln2－＋＝－1－ln2；

③当≤a2，即≤a<1时，f(x)在[a2，a]上单调递减，所以f(x)max＝f(a2)＝2lna－a5＋a3－2a2.

综上所述，当0<a≤时，函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值是lna－a3＋a2－2a；

当<a<时，函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值是－1－ln2；

当≤a<1时，函数y＝f(x)在[a2，a]上的最大值是2lna－a5＋a3－2a2.

22．（本小题满分10分）

解：（1）由，可得

曲线的直角坐标方程为 …………5分

（2）直线的参数方程为，消去得的普通方程为，

与相离，设点，且点到直线的距离最短，则曲线在点处的切线与直线平行，

，又

或，

点的坐标为 …………10分

23. （1）因为，所以等价于，

由有解，得，且其解集为.

又的解集为，故

（2）由（1）知，又是正实数，由均值不等式得：

，

当且仅当时取等号，所以.