第四节　合情推理与演绎推理

————————————————————————————————

[考纲传真]　1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．

1．合情推理

2.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(　　)

(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)

(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　　)

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×

2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是(　　)

A．归纳推理 B．类比推理

C．演绎推理 D．以上都不是

B　[类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理，选B.]

3．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)

A．an＝3n－1 B．an＝4n－3

C．an＝n2 D．an＝3n－1

C　[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]

4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(　　)

A．大前提错误导致结论错误

B．小前提错误导致结论错误

C．推理形式错误导致结论错误

D．大前提和小前提错误导致结论错误

A　[“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]

5．(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

A　[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]

　(1)(2016·武汉4月调研)数列，，，，，，…，，，…，，…的第20项是(　　)

A.　　 B.　　

C.　　 D.

(2)(2016·山东高考)观察下列等式：

－2＋－2＝×1×2；

－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；

……

照此规律，

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.

(1)C　(2) n(n＋1)　[(1)数列在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝项，当m＝5时，即是数列中第15项，则第20项是，故选C.

(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．]

[规律方法]　1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：

(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；

(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

2．归纳推理的一般步骤：

(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；

(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．

[变式训练1]　(1)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.

(2)下面图形由小正方形组成，请观察图6­4­1(1)至图(4)的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是__________. 【导学号：31222221】

图6­4­1

(1)nn(n∈N*)　(2) (n∈N*)　[(1)第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.

(2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n.所以总个数为(n∈N*)．]

　(1)(2016·陕西师大附中模拟)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)

A．dn＝　　　 B．dn＝

C．dn＝ D．dn＝

(2)(2016·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图6­4­2)，DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．

图6­4­2

(1)D　(2)＝　[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.

法二：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝

c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.

(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.]

[规律方法]　1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．

2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．

[变式训练2]　给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0⇒a＝c”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；

③“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”；

④“若x∈R，则|x|<1⇒－1<x<1”类比推出“若z∈C，则|z|<1⇒－1<z<1.”

其中类比结论正确的个数为(　　)

A．1　 B．2

C．3 D．4

B　[类比结论正确的有①②.]

　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：

(1)数列是等比数列；

(2)Sn＋1＝4an. 【导学号：31222222】

[证明]　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.2分

∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)

故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)

(大前提是等比数列的定义，这里省略了)5分

(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，

∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1

＝4an(n≥2)，(小前提)8分

又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)

∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)

(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)12分

[规律方法]　演绎推理的一般模式为三段论，三段论推理的依据是：如果集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提，小前提，然后再找结论．

[变式训练3]　如图6­4­3所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：ED＝AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．

图6­4­3

[证明]　(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)

所以DF∥EA.(结论)5分

(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)

DE∥BA且DF∥EA，(小前提)

所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)8分

(3)平行四边形的对边相等，(大前提)

ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)

所以ED＝AF.(结论)

上面的证明可简略地写成：

⇒

四边形AFDE是平行四边形⇒ED＝AF.12分

[思想与方法]

1．合情推理的过程概括为

→→→

2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．

[易错与防范]

1．在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．

2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．

3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严谨性，书写格式的规范性．

课时分层训练(三十五)　

合情推理与演绎推理

A组　基础达标

(建议用时：30分钟)

一、选择题

1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)

A．结论正确　　　　　 B．大前提不正确

C．小前提不正确 D．全不正确

C　[因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．]

2．如图6­4­4，根据图中的数构成的规律，得a表示的数是(　　)

【导学号：31222223】

图6­4­4

A．12 B．48

C．60 D．144

D　[由题图中的数可知，每行除首末两数外，其他数都等于它肩上两数的乘积，所以a＝12×12＝144.]

3．某种树的分枝生长规律如图6­4­5所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为(　　)

【导学号：31222224】

图6­4­5

A．21 B．34

C．52 D．55

D　[因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.]

4．如图6­4­6所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当⊥时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(　　)

图6­4­6

A. B.

C.－1 D.＋1

A　[设“黄金双曲线”方程为－＝1，

则B(0，b)，F(－c,0)，A(a,0)．

在“黄金双曲线”中，

因为⊥，所以·＝0.

又＝(c，b)，＝(－a，b)．

所以b2＝ac.而b2＝c2－a2，所以c2－a2＝ac.

在等号两边同除以a2，得e＝.]

5．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)

A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数

B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数

C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数

D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数

B　[A中小前提不正确，C、D都不是由一般性结论到特殊性结论的推理，所以A、C、D都不正确，只有B的推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确．]

二、填空题

6．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝__________.

　[由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径为.]

7．观察下列不等式：

1＋<，

1＋＋<，

1＋＋＋<，

…

照此规律，第五个不等式为__________．

【导学号：31222225】

1＋＋＋＋＋<　[左边的式子的通项是1＋＋＋…＋，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.]

8．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．

丙　[如果丙说的是假话，则“甲得优秀”是真话，又乙说“我得了优秀”是真话，所以矛盾；若甲说的是假话，即“丙说的是真话”是假的，则说明“丙说的是假的”，即“甲没有得优秀”是假的，也就是说“甲得了优秀”是真的，这与乙说“我得了优秀”是真话矛盾；若乙说的是假话，即“乙没得优秀”是真的，而丙说“甲没得优秀”为真，则说明“丙得优秀”，这与甲说“丙说的是真话”符合．所以三人中说假话的是乙，得优秀的同学是丙．]

三、解答题

9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．

[解]　由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：

(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；4分

(2)四面体的体积V＝×底面积×高；8分

(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.12分

10．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. 【导学号：31222226】

[解]　f(0)＋f(1)＝＋

＝＋＝＋＝，2分

同理可得：f(－1)＋f(2)＝，

f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.

归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，

均有f(x1)＋f(x2)＝.6分

证明：设x1＋x2＝1，

f(x1)＋f(x2)＝＋

＝＝

＝＝＝.12分

B组　能力提升

(建议用时：15分钟)

1．给出以下数对序列：

(1,1)；

(1,2)(2,1)；

(1,3)(2,2)(3,1)；

(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)；

…

记第i行的第j个数对为aij，如a43＝(3,2)，则anm＝(　　)

A．(m，n－m＋1)　　　　　 B．(m－1，n－m)

C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)

A　[由前4行的特点，归纳可得：若anm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴anm＝(m，n－m＋1)．]

2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

1和3　[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.

若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；

若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．

故甲的卡片上的数字是1和3.

法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]

3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin13°cos 17°；

②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；

③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

[解]　(1)选择②式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°

＝1－＝.5分

(2)法一：三角恒等式为

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.7分

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)

＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α

＝sin2α＋cos2α＝.12分

法二：三角恒等式为

sin2 α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.7分

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)

＝＋－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)

＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α

＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α)

＝1－cos 2α－＋cos 2α＝.12分