马鞍山市2019-2020学年中考数学模拟试卷

一、选择题

1．一种巧克力的质量标识为“25±0.25千克”，则下列哪种巧克力是合格的（ ）

A．25.30千克 B．24.70千克 C．25.51千克 D．24.80千克

2．已知二次函数y＝x2﹣6x+m的最小值是1，那么m的值等于（　　）

A．10 B．4 C．5 D．6

3．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，89分，则该同学这6次成绩的中位数是（　　）

A.94 B.95分 C.95.5分 D.96分

4．下列计算的结果是a6的为（　　）

A．a12÷a2 B．a7﹣a C．a2•a4 D．（﹣a2）3

5．下列方程中，没有实数根的是( )

A． B．

C． D．

6．已知函数：①；②；③；④，其中，y随x增大而增大的函数有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图所示，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则的长为（ ）

A． B． C． D．

8．下列形状的地砖中，不能把地面作既无缝隙又不重叠覆盖的地砖是（ ）

A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．长方形

9．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，且交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝86°，则∠BDE的度数为(　　)

A．26° B．30° C．34° D．52°

10．如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于（ ）

A． B． C． D．

11．我国古代伟大的数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若a＝3，b＝4，则该三角形的面积为（　　）

A．10 B．12 C． D．

12．在4, 5, 6, 6, 9这组数据中，去掉一个数后，余下的数据的中位数不变，且方差减小，则去掉的数是( )

A．4 B．5 C．6 D．7

二、填空题

13．如图，线段BD、CE相交于点A，DE∥BC．如果AB＝4，AD＝2，DE＝1.5，那么BC的长为_____．

14．如图，△ABC的中线AD，BE相交于点F．若△ABF的面积是4，则四边形CEFD的面积是_____．

15．已知，则xy=_____．

16．如图，四边形ABCD是平行四边形，⊙O经过点A，C，D，与BC交于点E，连接AE，若∠D=72°，则∠BAE=______°．

17．如图，在□ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC＝30°，AC＝12，则AE的长为_____．

18．如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是_____．

三、解答题

19．计算：（1）； （2）x2-4x=-3

20．夏季多雨，在山坡CD处出现了滑坡，为了测量山体滑坡的坡面长度CD，探测队在距离坡底C点米处的E点用热气球进行数据监测，当热气球垂直升腾到B点时观察滑坡的终端C点，俯视角为60°，当热气球继续垂直升腾90米到达A点，此时探测到滑坡的始端D点，俯视角为45°，若滑坡的山体坡角∠DCH为30°，求山体滑坡的坡面长度CD的长．（计算保留根号）

21．一次函数y＝kx+b的图象经过（﹣4，﹣2），（1，8）两点．

（1）求该一次函数的表达式；

（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A，B，与y轴交于点C，且AB＝BC，求m的值．

22．观察下列等式：

①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…根据等式所反映的规律，解答下列问题：

（1）直接写出：第⑤个等式为　 　；

（2）猜想：第n个等式为　 　（用含n的代数式表示），并证明．

23．如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1，图2的正方形网格内按下列要求画一个格点三角形．

（1）在图1中，以AB为边画直角三角形△ABD（D与C不重合），使它与△ABC全等．

（2）在图2中，以AB为边画直角三角形△ABE，使它的一个锐角等于∠B，且与△ABC不全等．

24．计算：．

25．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设D为抛物线的顶点，连接DA、DB，试判断△ABD的形状，并说明理由；

（3）设P为对称轴上一动点，要使PC﹣PB的值最大，求出P点的坐标．

【参考答案】***

一、选择题

二、填空题

13．3

14．4

15．6

16．36

17．

18．16

三、解答题

19．（1）10；（2）x1=1，x2=3．

【解析】

【分析】

（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项运用负整数指数幂运算法则进行计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；

（2）方程移项后，运用因式分解法求解即可.

【详解】

（1）

（2) ∵x2-4x=-3

∴x2-4x+3=0

∴（x-1）（x-3）=0

∴x1=1，x2=3

【点睛】

此题考查了实数的运算和运用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．山体滑坡的坡面长度CD的长为（570﹣810）米．

【解析】

【分析】

作DG⊥AE于G，DF⊥EH于F，设DF＝a米，根据直角三角形的性质用a表示出CF、CD，根据正切的定义求出BE，根据题意列方程，解方程得到答案．

【详解】

解：作DG⊥AE于G，DF⊥EH于F，

则四边形GEFD为矩形，

∴GE＝DF，GD＝EF，

设DF＝a米，则GE＝a，

在Rt△DCF中，∠DCF＝30°，

∴CD＝2DF＝2a，CF＝a，

∴EF＝EC+CF＝120+a，

∵AM∥GD，

∴∠ADG＝∠MAD＝45°，

∴AG＝DE＝EF＝120+a，

∵BN∥EF，

∴∠BCE＝∠NBC＝60°，

在Rt△BEC中，tan∠BCE＝，

BE＝EC•tan60°＝120×＝360，

AG＝AB+BE﹣GE＝450﹣a，

∴450﹣a＝120+a，

解得，a＝285﹣405，

∴CD＝2a＝570﹣810，

答：山体滑坡的坡面长度CD的长为（570﹣810）米．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

21．（1）y＝2x+6；（2）m＝﹣4．

【解析】

【详解】

（1）应用待定系数法可求解；

（2）构造相似三角形，利用AB＝BC，得到相似比为1：2，表示点A、B坐标，代入y＝kx+b求解；

（1）把（﹣4，﹣2），（1，8）两点代入y＝kx+b

，，

∴一次函数解析式为：y＝2x+6；

（2）分别过点A、B作AE⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点D，

设点B坐标为（a，b），由已知ab＝m，

由y＝2x+6可知点C坐标为（0，6），则CD＝6﹣b，

∵AE∥BD，AB＝BC，

∴AE＝2a，CE＝2（6﹣b），

∴OE＝6﹣2（6﹣b）＝2b﹣6，

∴点A坐标为（2a，2b﹣6），

∴2a•（2b﹣6）＝m，

∵ab＝m

∴m＝4a，

∴ab＝4a，

∴b＝4，

则点B坐标化为（a，4）

∵点B在y＝2x+6图象上

∴a＝﹣1，

∴m＝ab＝﹣4．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．

22．（1）36﹣35＝2×35；（2）3n+1﹣3n＝2×3n．

【解析】

【分析】

由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第⑤个等式，以及第n个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n、n．

【详解】

解：（1）由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第⑤个等式36﹣35＝2×35；

故答案为：36﹣35＝2×35；

（2）由①32﹣31＝2×31；②33﹣32＝2×32；③34﹣33＝2×33；④35﹣34＝2×34…得出第n个等式的底数不变，指数依次分别是n+1、n、n，

即3n+1﹣3n＝2×3n．

证明：左边＝3n+1﹣3n＝3×3n﹣3n＝3n×（3﹣1）＝2×3n＝右边，所以结论得证．

故答案为：3n+1﹣3n＝2×3n．

【点睛】

此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题．

23．（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

【分析】

（1）如图1，根据三边对应相等的两三角形全等作图即可；

（2）根据三组对应边成比例的两个三角形相似作图．

【详解】

解：（1）如图1，

∴△ACD为所求；

（2）如图2，

∴△ABD为所求．

【点睛】

本题考查了作图﹣应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．此题灵活应用相似三角形的判定与性质．

24．2+

【解析】

【分析】

先计算零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数、绝对值，再进行二次根式化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【详解】

解：原式=2﹣1﹣+2+1﹣

=2+．

【点睛】

考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算.

25．（1）抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）△ADB是等腰直角三角形；理由见解析；（3）P（2，﹣3）．

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．由韦达定理易求b、c的值；

（2）先求出顶点D的坐标，再由勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，再由对称得AD＝BD，进而得△ABD是等腰直角三角形；

（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，此时P点就是PC﹣PB的值最大的点，求出直线AC的解析式，再求直线AC与直线x＝2的交点坐标便可．

【详解】

（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2．

∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．

∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，

∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根．

由韦达定理，

1+3＝﹣b，1×3＝c，

∴b＝﹣4，c＝3，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴D（2，﹣1），

∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，

∵AB2＝22＝4，

∴AD2+BD2＝AB2，

∴△ADB是直角三角形，

由对称性有AD＝BD，

∴△ADB是等腰直角三角形；

（3）连接CA，延长CA与直线x＝2交于点P，连接BP，如图2，

∵A、B两点关于直线x＝2对称，

∴PB＝PA，

∴PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC其值最大（∵另取一点P′，有P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），

令x＝0，得y＝x2﹣4x+3＝3，

∴C（0，3），

∵A（1，0），

∴易求直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3，

当x＝2时，y＝﹣3x+3＝﹣3，

∴P（2，﹣3）．

【点睛】

考查了二次函数综合题，待定系数法求抛物线的解析式，等腰直角三角形，勾股定理的应用，待定系数法求直线的解析式，解题关键在于作辅助线