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    辽宁省抚顺市顺城区2021年中考数学试题含答案(附解析)-

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    辽宁省抚顺市顺城区2021年中考数学试题含答案（附解析）
    一、单选题
    1、如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是（ ）

    A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案． 【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1， ∴点B表示的数是：3． 故选：D．
    【点评】此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键． 2、如果收入100元记作+100元，那么支出100元记作（ ） A．﹣100元
    B．+100元
    C．﹣200元
    D．+200元
    【分析】根据正数与负数的意义，支出即为负数； 【解答】解：收入100元+100元，支出100元为﹣100元， 故选：A．
    【点评】本题考查正数与负数的意义；能够理解正数与负数的实际意义是解题的关键． 3、如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ）

    A． B．

    C． D．
    【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案． 【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示．
    故选：A．

    【点评】此题考查了简单几何体的三视图，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
    4、如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是（ ）

    A．点M
    B．点N
    C．点P
    D．点Q
    【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，即可求解；
    【解答】解：由已知可知函数y＝关于y轴对称，
    所以点M是原点； 故选：A．
    【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键． 5、已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（ ） A．b＞0，b2﹣ac≤0 C．b＞0，b﹣ac≥0 2B．b＜0，b2﹣ac≤0 D．b＜0，b﹣ac≥0 2
    【分析】根据a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b﹣ac的正负情况，本题得以解决．
    【解答】解：∵a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0， ∴a+c＝2b，b＝，
    2∴a+2b+c＝（a+c）+2b＝4b＜0， ∴b＜0， ∴b2﹣ac＝即b＜0，b﹣ac≥0， 故选：D．
    【点评】本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b和b﹣ac的正负22＝﹣ac＝＝≥0，

    情况．
    6、下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ）
    A． B．

    C． D．
    【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
    【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
    B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误．
    故选：C．
    【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 7、在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（ ） A．0 B．2 C．﹣3 D．﹣
    【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
    【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得 ﹣3＜﹣＜0＜2， 所以最小的数是﹣3． 故选：C．
    【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
    8、若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
    A．y1＜y2＜y3
    B．y1＜y3＜y2
    C．y3＜y2＜y1
    D．y2＜y3＜y1

    【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；
    【解答】解：∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n）， ∴二次函数的对称轴x＝， ∵B（0，y1）、D（∵|a|＞0， ∴y1＞y3＞y2； 故选：D．
    【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键． 9、如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
    ＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）

    A．25m
    B．24m
    C．30m
    D．60m
    【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
    【解答】解：∵OC⊥AB， ∴AD＝DB＝20m，
    在Rt△AOD中，OA＝OD+AD， 设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202， 解得：r＝25m， ∴这段弯路的半径为25m 故选：A．
    【点评】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
    10、﹣的绝对值是（ ）
    2    2    2
    A．﹣5 B． C．5 D．﹣
    【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣|＝， 故选：B．
    【点评】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是掌握绝对值的性质． 二、填空题
    1、将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为 y＝（x﹣2）2+1 ． 【分析】利用配方法整理即可得解．
    【解答】解：y＝x﹣4x+5＝x﹣4x+4+1＝（x﹣2）+1， 所以，y＝（x﹣2）+1． 故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
    【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
    （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．
    2、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
    22    2    2示例：即4+3＝7 则（1）用含x的式子表示m＝ 3x ； （2）当y＝﹣2时，n的值为 1 ．

    【分析】（1）根据约定的方法即可求出m； （2）根据约定的方法即可求出n． 【解答】解：（1）根据约定的方法可得：
    m＝x+2x＝3x；

    故答案为：3x；
    （2）根据约定的方法即可求出n
    x+2x+2x+3＝m+n＝y．
    当y＝﹣2时，5x+3＝﹣2． 解得x＝﹣1．
    ∴n＝2x+3＝﹣2+3＝1． 故答案为：1．
    【点评】本题考查了列代数式和代数式求值，解题的关键是掌握列代数式的约定方法．
    3、“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为 40% ．（用百分数表示） 【分析】根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本题得以解决． 【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x， 20000（1+x）2＝39200，
    解得，x1＝0.4，x2＝﹣2.4（舍去）， ∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%， 故答案为：40%．
    【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出相应的增长率． 4、分解因式：ab﹣a＝ a（b+1）（b﹣1） ． 【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝a（b﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）， 故答案为：a（b+1）（b﹣1）
    【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 5、当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于 ﹣5 ． 【分析】把a、b的值代入代数式，即可求出答案即可．
    【解答】解：当a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5， 故答案为：﹣5．
    【点评】本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键． 6、命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 如果a，b互为相反数，那么a+b＝0 ． 【分析】根据互逆命题的定义写出逆命题即可．
    【解答】解：命题“如果a+b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为：
    2    2
    如果a，b互为相反数，那么a+b＝0；
    故答案为：如果a，b互为相反数，那么a+b＝0．
    【点评】本题考查的是命题与定理、互逆命题，掌握逆命题的确定方法是解题的关键． 三、解答题(难度：中等
    1、某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：
    售价x（元/件） 周销售量y（件） 周销售利润w（元）
    50 100 1000 60 80 1600 80 40 1600 注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）
    （1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
    ②该商品进价是 40 元/件；当售价是 70 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 1800 元． （2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m＞0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值． 【分析】（1）①依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；
    ②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝ax+bx+c：解方程组即可得到结论； （2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x+（280+2m）x﹣800﹣200m，由于对称轴是x＝根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）①依题意设y＝kx+b， 则有解得：

    2    2    ，所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200； ②该商品进价是50﹣1000÷100＝40， 设每周获得利润w＝ax2+bx+c：
    则有，
    解得：，

    ∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
    ∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元； 故答案为：40，70，1800；

    （2）根据题意得，w＝（x﹣40﹣m）（﹣2x+200）＝﹣2x2+（280+2m）x﹣8000﹣200m， ∵对称轴x＝∴①当，
    ＜65时（舍），②当≥65时，x＝65时，w求最大值1400，
    解得：m＝5．
    【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
    2、如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．

    【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE． 【解答】证明：∵FC∥AB， ∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F， 在△ADE与△CFE中：
    ∵，
    ∴△ADE≌△CFE（AAS）．
    【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS．
    3、解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集．

    【分析】分别解两个不等式得到x＜3和x≥﹣2，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．然后利用数轴
    表示其解集． 【解答】解：解①得x＜3， 解②得x≥﹣2，
    所以不等式组的解集为﹣2≤x＜3． 用数轴表示为：


    【点评】本题考查了一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 4、先化简（1﹣）÷，再将x＝﹣1代入求值．
    【分析】直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案． 【解答】解：原式＝＝x+2，
    将x＝﹣1代入得： 原式＝x+2＝1．
    【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键． 5、解方程组．
    ×
    【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
    【解答】解：，
    ①+②得：3x＝9，即x＝3， 把x＝3代入①得：y＝﹣2，
    则方程组的解为．

    【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 6、已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：四边形AECF是矩形．

    【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
    （2）证出∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC， ∵AE⊥BC，CF⊥AD，
    ∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°， 在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（AAS）； （2）证明：∵AD∥BC， ∴∠EAF＝∠AEB＝90°， ∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴四边形AECF是矩形．
    【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
    7、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝（1）求m，n的值与点A的坐标； （2）求证：△CPD∽△AEO； （3）求sin∠CDB的值．
    的图象相交于A，P两点． ，


    【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）； （2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
    （3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
    【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m， 解得：m＝﹣2，
    ∴正比例函数解析式为y＝﹣2x； 将点P（﹣1，2）代入y＝解得：n＝1，
    ∴反比例函数解析式为y＝﹣．
    ，得：2＝﹣（n﹣3），
    联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，
    解得：，，
    ∴点A的坐标为（1，﹣2）． （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD，
    ∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE． ∵AB⊥x轴，
    ∴∠AEO＝∠CPD＝90°，

    ∴△CPD∽△AEO．
    （3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2）， ∴AE＝2，OE＝1，AO＝∵△CPD∽△AEO， ∴∠CDP＝∠AOE， ∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．
    ＝．

    【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，n的值；（2）利用菱形的性质，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相似三角形的性质，找出∠CDP＝∠AOE．
    8、为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）

    【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题． 【解答】解：连接BD，作DM⊥AB于点M，

    ∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH， ∴AB∥CD，AB＝CD，
    ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠ABD，AC＝BD， ∵∠C＝65°，AC＝900， ∴∠ABD＝65°，BD＝900，
    ∴BM＝BD•cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD•sin65°＝900×0.906≈815， ∵381÷3＝127，120＜127＜150， ∴该中学楼梯踏步的高度符合规定， ∵815÷3≈272，260＜272＜300， ∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
    由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．

    【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答． 9、如图，已知抛物线y＝ax+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，2DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．
    （1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
    （2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；
    （3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．


    【分析】（1）将点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y＝ax2+bx+c即可求出该二次函数表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y＝4，求出x的值，即可写出点D坐标；
    （2）设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FA1O1，求出GH的长，因为Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG，所以S重叠部分＝﹣S△FGH，即可求出结果；
    ＝OO2（3）当0＜t≤3时，设O2C2交OD于点M，证△OO2M∽△OED，求出O2M＝t，可直接求出S＝×O2M＝t2；当3＜t≤6时，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N，分别求出直线OD与直线A2C2的解析式，再求出其交点M的坐标，证△DC2N∽△DCO，求出C2N＝（6﹣t），由S＝可求出S与t的函数表达式．
    【解答】解：（1）∵抛抛线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4）， ∴抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣9）， ∵点C（0，4）在抛物线上， ∴4＝﹣27a， ∴a＝﹣，
    （x+3）（x﹣9）＝﹣＝﹣
    ∴抛物线的解析式为：y＝﹣∵CD垂直于y轴，C（0，4），
    令﹣x2+x+4，
    x2+x+4＝4，
    解得，x＝0或x＝6， ∴点D的坐标为（6，4）；

    （2）如图1所示，设A1F交CD于点G，O1F交CD于点H， ∵点F是抛物线y＝﹣x2+x+4的顶点，

    ∴F（3，∴FH＝）， ﹣4＝，
    ∵GH∥A1O1， ∴△FGH∽△FA1O1，
    ∴，
    ∴，
    解得，GH＝1，
    ∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形A1O1HG， ∴S重叠部分＝﹣S△FGH
    ＝A1O1•O1F﹣GH•FH ＝＝
    （3）①当0＜t≤3时，如图2所示，设O2C2交OD于点M， ∵C2O2∥DE， ∴△OO2M∽△OED，
    ∴，
    ；

    ∴，
    ∴O2M＝t， ∴S＝
    ②当3＜t≤6时，如图3所示，设A2C2交OD于点M，O2C2交OD于点N， 将点D（6，4）代入y＝kx，
    ＝OO2×O2M＝t×t＝t2；

    得，k＝， ∴yOD＝x，
    将点（t﹣3，0），（t，4）代入y＝kx+b，
    得，，
    解得，k＝，b＝﹣t+4，
    ∴直线A2C2的解析式为：y＝x﹣t+4， 联立yOD＝x与y＝x﹣t+4， 得，x＝x﹣t+4， 解得，x＝﹣6+2t，
    ∴两直线交点M坐标为（﹣6+2t，﹣4+t）， 故点M到O2C2的距离为6﹣t， ∵C2N∥OC， ∴△DC2N∽△DCO，
    ∴，
    ∴，
    ∴C2N＝（6﹣t）， ∴S＝＝﹣
    ＝OA•OC﹣C2N（6﹣t）
    ＝×3×4﹣×（6﹣t）（6﹣t） ＝﹣t2+4t﹣6；

    ∴S与t的函数关系式为：S＝．



    【点评】本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积和或差来求出．

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