2019年内蒙古省包头市中考数学试卷

考试时间：120分钟满分：120分

一、选择题：本大题共 12小题，每小题 3分，合计36分．

1．（2019年包头）计算的结果是

A．0 B． C． D．6

答案：D

解析：本题考查了算术平方根、绝对值及负整数指数幂，因为原式＝3+3＝6，因此本题选D．

{分值}3

2．（2019年包头）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是

A．a>b B．a>-b C．－a>b D．－a<b

答案：C

解析：本题考查了相反数在数轴上的表示及实数大小比较的方法，先在数轴上把a、b的相反数在数轴上表示出来，利用在向右方向的数轴上，右边的点总比左边的点所表示的数要大，知－a>b ，因此本题选C．

3．（2019年包头）一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是

A．4 B． C．5 D．

答案：B

解析：本题考查了众数、中位数的概念与中位数的求法，由众数是4，知x=4，把数据重排为2，3，4，4，5，6，7，9，中间两个数的平均数，就是这组数据的中位数，因此本题选B．

4．（2019年包头）一个圆柱体的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱体的体积为

A．24 B．24 C．96 D．96

答案：B

解析：本题考查了根据三视图的数据计算，由三视图知圆柱体的底面圆的直径为4，所以底面圆的面积为4，高为6，根据体积＝底面积×高知体积为24，因此本题选B．

5．（2019年包头）在函数y=中，自变量x的取值范围是

A．x>－1 B．x≥－1 C．x>－1且x≠2 D．x≥－1且x≠2

答案：D

解析：本题考查了函数自变量取值范围的求法，根据题意x必须满足，解得x≥-1且x≠2 ，因此本题选D．

6．（2019年包头）下列说法正确的是

A．立方根等于它本身的数一定是1和0

B．顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形

C．在函数y=kx+b(k≠0)中，y的值随着x的增大而增大

D．如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等

答案：B

解析：本题考查了立方根、矩形的判定、一次函数的性质与圆周角性质，由于立方根等于它本身的数是+1，-1和0，所以A错误；顺次连接菱形四边中点得到的四边形四个角都是直角，是矩形，所以B正确；函数y=kx+b(k≠0)中k的符号不定，所以y的值随着x的变化也不定，C错误；两个圆不是同圆或等圆，即使圆周角相等同，弧长不一定相等，D错误．因此本题选B．

7．（2019年包头）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB于点D、E，再分别过点D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC=4，则△ACG的面积是

A．1 B． C．2 D．

答案：C

解析：本题考查了角平分线的尺规作图，角平分线性质的应用及三角形面积的计算，由尺规作图知，AF是∠BAC的角平分线，所以△ACG边AC上的高即是点G到AC的距离＝BG，故其面积为×BG×AC=×1×4=2，因此本题选C．

8．（2019年包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝900，AC=BC=2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是

A．-1 B．4- C． D．2

答案：D

解析：本题考查了三角形、扇形面积的计算，连接OD，可证OD∥AC，点D是半圆弧的中点，扇形COD的面积＝扇形BOD的面积，由图知阴影部分的面积＝直角三角形ABC的面积-直角三角形BOD的面积-扇形COD的面积+（扇形BOD的面积-直角三角形BOD的积）＝直角三角形ABC的面积-2直角三角形BODR面积＝4-2＝2，因此本题选D．

9．（2019年包头）下列命题

若x2+kx+是完全平方式，则k＝1．

若A（2，6），B(0，4)，C(1，m)三点在一条直线上，则m=5．

等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴．

一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是六边形．

其中真命题个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

答案：B

解析：本题考查了完全平方公式、一次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、多边形的内角和与外角和及命题的真假，当k2-4×1×=0，即k＝1时，x2+kx+是完全平方式，所以错误；由A、B两点的坐标利用待定系数法，求得过这两点的一次函数解析式为：y=x+4，把点P的坐标代入，得m＝5，正确；等腰三角形底边上才有三线合一，所以错误；一个多边形的内角和是它外角和的2倍，即内角和等于720度，所以（n-2）×1800=7200，解得n＝6，正确．因此本题选B．

10．（2019年包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b上是关于x的一元二次方程x2-12x+m+2＝0的两根，则m的值是

A．34 B．30 C．30或34 D．30或36

答案：A

解析：本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系及一元二次方程根的判别式，（1）若a≠b，则a、b必有一个等于4，即方程x2-12x+m+2＝0有一个根是4，所以16-48+m+2＝0，解得m＝30，代入原方程，求得另一个根为：8，而4、4、8不能组成三角形，此解无意义，舍去．（2）若a=b，则方程x2-12x+m+2＝0有两个相等的实数根，所以122-4×（m+2）=0，解得m＝34，因此本题选A．

11．（2019年包头）如图，在正方形ABCD中，AB=1，点E、F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF=600，则CF的长是

A． B． C． D．

答案：C

解析：本题考查了正方形的性质、等边三角形的判定、勾股定理的应用等．连接EF，则HL可证RtABE△≌Rt△ADF，所以BE=DF，EF=AE=AF，设CF=x，则DF=1-x，在直角三角形EFC中，EF2＝2x2，在直角三角形ADF中，AF2=1+(1-x)2，因此，2x2=1+(1-x)2，解得x=-1，负号不合题意，所以x＝-1+因此本题选C．

12．（2019年包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A(-3，-2)，B(0，-2)，C(-3，0)，点M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y=kx+b上，则b的最大值是

A． B． C．-1 D．0

答案：A

解析：本题考查了一次函数的图象，相似三角形的性质，最值的求法，连接AC，可证RtCAM△∽Rt△MBN，所以有，设MB=x（0≤x≤3），所以，BN＝，BN的最大值为，由图知，当BN有最大值时，b才有最大值，此时b＝-（2-）＝-，因此本题选A．

二、填空题：本大题共 8小题，每小题 3 分，合计24分．

13．（2019年包头）2018年我国国内生产总值（GDP）是900309亿元，首次突破93万亿，用科学记数法表示为． ．

答案：9×1013

解析：本题考查了科学记数法，先确定a=9，把原数写成90万亿＝90 0000 0000 0000，n=13，因此本题填为9×1013．

14．（2019年包头）已知不等式组的解集为x>－1，则k的取值范围是． ．

答案：k≤－2

解析：本题考查了一元一次不等组的解法及一元一次不等式组的解集的应用，解第一个方程得x>－1，解第二个方程得x>k+1，根据同大取大的原则，所以k+1≤－1，解得k≤－2，因此本题填k≤－2．

15．（2019年包头）化简：1-＝ ．

答案：

解析：本题考查了分式的加减乘除混合运算，原式＝1-＝，因此本题填．

16．（2019年包头）甲乙两班举行数学知识竞赛．参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：

某同学分析上表后得到如下结论：

甲乙两班学生的平均成绩相同．

乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数（竞赛得分≥85分为优秀）．

甲班成绩的波动比乙班小．

上述结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）

答案：

解析：本题考查了平均、中位数、方差．由表知两班平均成绩都是83分，正确；两班人数相等，由甲班中位数为86分，乙班中位数为84分，知乙班85分以上的人数少于甲班，正确；甲班方差比乙班方差小，所以甲班的波动小，正确，因此本题填．

17．（2019年包头）如图，在△ABC中，∠CAB=55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值是 ．

答案：1

解析：本题考查了旋转及特殊角的三角形值，由∠CAB=55°，∠ABC＝25°，得∠ACB=∠DEA＝100°，利用旋转知，∠EAC=70°，所以等腰三角形底角∠CEA=55°，故∠DEC＝45°，所以tan∠DEC的值是1，因此本题填1．

18．（2019年包头）如图，BD是⊙O的直径，A是⊙O外一点，点C在⊙O上，AC与⊙O相切于点C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，则弦BC的长为 ．

答案：2

解析：本题考查了圆周角定理、圆的切线性质及相似三角形的性质，连接OC，CD，利用切线的性质，先证明OC∥AB，推得∠OCB=∠OBC=∠CBA，利用BD是直径，推得∠DCB=90°，所以Rt△DCB∽Rt△CAB，所以，所以BC2＝AB×BD=24，所以BC=2，因此本题填2．

19．（2019年包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A（－1，0），B（0，2），将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC．若反比例函数y＝（x<0）的图象经过点C，则k= ．

答案：

解析：本题考查了翻折的性质，点的坐标的求法，反比例函数解析式的确定方法及勾股定理的应用，过点C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，设AD=a，CD＝b，所以有，解得a=，b=，OD=1+a＝，所以点C的坐标为（－，），点C在反比例函数图象上，所以k=，因此本题填．

20．（2019年包头）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，D为斜边AC的中点，连接BD，F是BC边上的动点（不与点B、C重合），过点B作BE⊥BD交DF延长线于点E，连接CE．下列结论：

若BF=CF，则CE2+AD2=DE2．

若∠BDE=∠BAC，AB=4，则CE=

△ABD和△CBE一定相似．

若∠A=30°，∠BCE=90°，则DE=．

其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）．

答案：

解析：本题考查了勾股定理、三角形相似的判定及应用、三角形全等、等腰三角形等．D是斜边AC的中点，且BF=CF，则可证明DE是BC的中垂线，所以∠2=∠ECB，∠DCE=∠DCB+∠ECB=∠DBC+∠EBC=∠DBE=90°，所以CE2+DC2=DE2，所以CE2+AD2=DE2，故正确；若∠BDE=∠BAC，所以∠BAC=∠ABD =∠EBC，所以∠EBC +∠DBF=90°，所以DE⊥BC，BF=CF，BE=CE，所以∠EBC＝∠ECB，所以△ADB∽△BCE，所以，BD=，BC=3，AB=4，则CE=，故正确；△ABD和△CBE不一定相似，错误；若∠A=30°，∠BCE=90°，所以∠2＝30°，BC=3，所以2，所以DE＝，则DE=正确，，因此本题填．

三、解答题：本大题共 6小题，合计60分．

21．（2019年包头）（本小道满分6分）某校为了解九年级学生的体育达标情况，随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试，测试成绩如下表，请根据表中的信息，解答下列问题

（1）该校九年级有450名学生，估计体育测试成绩为25分的学生人数．

（2）该校体育老师要对本次抽测成绩为13分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率（用列表或树状图方法解答）

解析：本题考查了样本估计总体及列举法求概率．（1）用样本中成绩25的频率估计总体频率，估计九年级25分的人数．（2）列表或画树状图列举所有可能事件，找到符合条件的事件数，求符合条件事件的概率．

答案：解：（1）450×＝160（人），

所以九年级450名学生的体育测试成绩为25分的学生人数约为162人（3分）；

（2）列表

或画树状图为：

所有可能出现的结果共有12种，其中，甲和乙恰好分在同一组的结果有2种，所以甲和乙恰好分在同一组的概率P＝．（6分）

22．（2019年包头）（本小道满分8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=BC，∠BAD=90°，AC交BD于点E，∠ABD=30°，AD=，求线段AC和DE的长．（注：）

解析：本题考查了锐角三角形函数及相似三角形的性质的综合运用．先解直角三角形ABD求出AB，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求AC．再利用AD∥BC，证明△ADE∽△CBE，利用对应边成比例，列出比例式求BD，DE．

答案：解：在Rt△ABD中，∵∠BAD=90°，∠ABD=30°，AD=，

∴tan∠ABD=，∴，∴AB=3．

∵AD∥BC，

∴∠BAD+∠ABC=180°．

∴∠ABC=90°．

在Rt△ABC中，∵AB=BC=3，∴AC=．(4分)

∵AD∥BC ，∴△ADE∽△CBE．

∴，∴．

设DE=x，则BE＝3x，∴BD=DE+BE=(+3)x，∴．

∵在Rt△ABD中，∠ABD=30°，∴BD=2AD=2，

∴DE=2×，∴DE=3－．(8分)

23．（2019年包头）（本小道满分10分）某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未租出，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．

（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金是多少元？

（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？

解析：本题考查了分式方程的应用及利用二次函数求实际问题的最值．（1）等量关系是：旺季每辆货车的日租金比淡季上涨，列出方程．（2）先求利润关于日租金上涨量的二次函数关系式，化成顶点式，验证顶点在自变量的取值范围内，则当自变量取顶点的横坐标时，利润有最值．

答案：解：（1）设货车出租公司对外出租的货车共有x辆，

根据题意，得．

解得x＝20，

经检验：x＝20是所列方程的解．

∴1500÷（20-10）＝150（元）．

答：货车出租公司对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金是150元．（5分）

设当旺季每辆货车的日租金上涨a元时，货车出租公司的日租金总收入为w元，

根据题意，得W=

∴W=，

∵-<0，∴当a＝100时，W有最大值．

答：当旺季每辆货车的日租金上涨100元时，货车出租公司的日租金总收入最高．（10分）

24．（2019年包头）（本小题满分10分）如图，在⊙O 中，B是⊙O上一点，∠ABC＝120°，弦AC=2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．

（1）求⊙O半径的长．

（2）求证：AB+BC=BM．

解析：本题考查了垂径定理、等边三角形、三角形全等的判定与性质．（1）作弦AV的垂径，利用余弦求半径（2）利用长截短的思路，在MB上截BE=BC，连接CE，证明三角形MEC全等于三角形ABC，证明ME=AB．

答案：解：（1）∵∠ABC=120°，BM平分∠ABC，∴∠MBA=∠MBC=∠ABC=60°．

∴∠ACM=∠ABM=60°，∠MAC=∠MBC=60°．

∴在△AMC中，∠AMC＝60°．

∴△AMC是等边三角形

连接OA、OC，

∴AO=CO，∠AOC=2∠AMC=120°．

∴∠OAC=∠OCA=30°，作OH⊥AC于点H．

∴AH=CH=AC=，

∴在Rt△AOH中，cos∠OAH=，

∴，∴AO=2，

∴⊙O的半径为2．（4分）

（2）证明：

在BM上截取BE＝BC，连接CE，∵∠MBC=60°．∵BE=BC，

∴△EBC为等边三角形，

∴CE=CB=BE，∠BCE=60°．

∴∠BCD+∠DCE=60°，∵∠ACM=60°，∴∠ECM+DCE=60°，，

∴∠ECM=∠BCD，

∵△AMC为等边三角形，∴AC=MC，∴△ACB≌△MCE，∴AB=ME，

∵ME+EM=BM，∴AB+BC=BM ．(10分)

25．（2019年包头）（本小道满分12分）如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是对角线BD上的一个动点（0<DM<BD），连接AM，过点M作MN⊥AM交边BC于N．

（1）如图(1)，求证MA=MN；

（2）如图（2），连接AN，O为AN的中点，MO的延长线交边AB于点P，当时，求AN和PM的长．

（3）如图（3），过点N作NH⊥BD于H，当AM=2时，求△HMN的面积．

解析：本题考查了正方形的性质，三角形全等、三角形相似的判定与性质、勾股定理等（1）过点M作分别作AB、BC垂线，构造直角三角形全等（2）先证Rt△AMN∽Rt△BCD，利用面积之比等于相似比的平方，构造方程求AN、PM的长（3）过点A作AF⊥BD于F，构造与Rt△MNH全等的直角三角形AMF，求出AF，MH，HN，利用面积公式求三角形的面积．

答案：解：(1)如图，过点M作MF⊥AB于F，作MG⊥BC于G．

∴∠MFB=∠BGM=90°．

∵正方形ABCD，∴∠DAB=90°，AD=AB．

∴∠ABD=45°．

同理可证，∠DBC=45°，∴∠ABD=∠DBC．

∵MF⊥AB，MG⊥BC，∴MF=MG．

∵正方形ABCD，∴∠ABN=90°，

∵∠MFB=∠FBG=∠BGM=90°，

∴∠FMG=90°，∴∠FMN+∠NMG=90°．

∵MN⊥AM，∴∠NMA=90°，∴∠AMF+∠FMN=90°．

∴∠AMF=∠NMG，∴MF⊥AB，∴∠AFM=90°，

∴∠AFM=∠NGM=90°，∴△AMF≌△NMG，∴MA=MN ． (3分)

(2)在Rt△AMN中，∵∠AMN=90°，MA=MN，

∴∠MAN=45°，

在Rt△BCD中，∵∠DBC=45°，∴∠MAN=∠DBC，

∴Rt△AMN∽Rt△BCD，∴．

∵在Rt△ABD中，AB=AD=6，∴BD=6．

∵，∴，∴AN=2．(6分)

∴在Rt△ABN中，BN=．

∵在Rt△AMN中，MA=MN，O是AN的中点，

∴OM=AO=ON=AN=，OM⊥AN，∴PM⊥AN．

∴∠AOP=90°，∴∠AOP=∠ABN=90°，又∵∠PAO=∠NAB．

∴△AOP∽△ABN，∴，∴，∴OP=．

∴PM=PO+OM=．(9分)

(3)如图，过点A作AF⊥BD于F，

∴∠AFM=90°，∴∠FAM+∠AMF=90°．

∵MN⊥AM，∴∠AMN=90°．

∴∠AMF+∠HMN=900，∴∠FAM=∠HMN．

∴NH⊥BD，∴∠NHM=90°，∴∠NHM=∠AFM．

∵MA=MN．∴△AFM≌△MHN，∴AF=MH，

在Rt△ABD是，AB=AD=6，∴BD=6．

∵AF⊥BD，∴AF=BD=3，∴MH=3．

∵AM=2，∴MN=2，

在Rt△MNH中，HN=．

∴S△HMN=，∴△HMN的面积是3．

26．（2019年包头）(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC．

（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴．

（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD，DB，若∠DCB=∠CBD，求点D的坐标．

（3）已知F（1，1），若E(x，y)是抛物线上一个动点（其是1<x<2），连接CE，CF，EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．

（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：本题考查了二次函数的解析式与点的坐标的求法、面积最大值等．（1）把A、B两点代入y=ax2+bx+2求出a、b．（2）根据等角对等边，得到CD=BD，根据勾股定理列出 方程求点D纵坐标．（3）用x的代数式表示三角形CEF的面积，利用二次函数的最值求三角形CEF的面积．（4）存在符合条件的M．

答案：解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)过A(－1，0)，B(3，0)两点．

∴，解得

∴抛物线的解析式为y=．

∴对称轴是直线x=1． (3分)

(2)过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，

设点D（1，y）．∵C(0，2)，B(3，0)，∴在Rt△CGD中，

CD2=CG2+GD2=(2－y)2+(1－0)2．

∴在Rt△BCD中，BD2=BH2+HD2=(3－1)2+(y－0)2．

在Rt△BHD中，∵∠DCB=∠CBD，∴CD=BD，∴CD2=BD2．

∴(2－y)2+(1－0)2=(3－1)2+(y－0)2，∴4y=1，∴y=．

∴点D的坐标是（1， ）． （6分）

（3）过点E作EQ⊥y轴于Q，过点F作直线FR⊥y轴于R．过点E作直线EP⊥FR于P．∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=900．∴四边形QRPE是矩形．

∵S△CEF=S矩形QRPE-S△EQC-S△CRF-S△EFP，∵E(x，y)，C(0，2)，F(1，1)，

∴S△CEF=EQ×QR－EQ×QC－CR×RF－FP×EP．

∴S△CEF=x(y－1)－x(y－2)－×1×1－×(x－1)×(y－1)．

∴y=，∴S△CEF=．

∴S△CEF=．

∵<0，1<<2，

∴当x=时，△CEF面积的最大值是

此时顶点E坐标为（，） （9分）

(4)存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为（2，2）或（4，）或（－2，）． （12分）