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    2019年天津市高考数学试卷(理科)

    时间：2020-08-07    下载该word文档

    2019年天津市高考数学试卷（理科）
    一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
    1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（ ） A．{2}
    B．{2，3}
    C．{﹣1，2，3}
    D．{1，2，3，4}
    2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（ ）
    A．2 B．3 C．5 D．6
    3．（5分）设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充要条件
    B．必要而不充分条件

    D．既不充分也不必要条件
    4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）

    A．5
    B．8
    C．24
    D．29
    ﹣＝1（a＞0，b5．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（ ）
    第1页（共17页）



    A． B． C．2 D．
    6．（5分）已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜c＜b
    B．a＜b＜c
    C．b＜c＜a
    D．c＜a＜b
    7．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（A．﹣2
    B．﹣
    ）＝C．
    ，则f（）＝（ ） D．2
    若关于x的不等式f（x）≥08．（5分）已知a∈R．设函数f（x）＝在R上恒成立，则a的取值范围为（ ） A．[0，1]
    B．[0，2]
    C．[0，e]
    D．[1，e]
    二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）i是虚数单位，则|10．（5分）（2x﹣|的值为 ．
    ）8的展开式中的常数项为 ．
    的正方形，侧棱长均为    ．若圆柱的一个底面11．（5分）已知四棱锥的底面是边长为的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．
    12．（5分）设a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆为 ．
    13．（5分）设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则14．（5分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2CB的延长线上，且AE＝BE，则•的最小值为 ．
    ，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段（θ为参数）相切，则a的值＝ ．
    三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3csinB＝4asinC．
    （Ⅰ）求cosB的值；
    第2页（共17页）



    （Ⅱ）求sin（2B+）的值．
    16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
    （Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
    （Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
    17．（13分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．
    （Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
    （Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
    （Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．

    18．（13分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率． 19．（14分）设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2﹣2，b3＝2a3+4．
    （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
    第3页（共17页）



    （Ⅱ）设数列{cn}满足c1＝1，cn＝（i）求数列{a（ii）求（c﹣1）}的通项公式；
    其中k∈N*．
    aici（n∈N*）．
    20．（14分）设函数f（x）＝excosx，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0； ，2nπ+）内的零点，其中n∈N，（Ⅲ）设xn为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+证明2nπ+﹣xn＜．
    第4页（共17页）




    2019年天津市高考数学试卷（理科）
    参考答案与试题解析
    一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
    1．（5分）设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（ ） A．{2}
    B．{2，3}
    C．{﹣1，2，3}
    D．{1，2，3，4}
    【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}， 则A∩C＝{1，2}， ∵B＝{2，3，4}，
    ∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}； 故选：D．
    2．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（ ）
    A．2 B．3 C．5 D．6
    【解答】解：由约束条件作出可行域如图：

    联立，解得A（﹣1，1），
    化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5． 故选：C．
    第5页（共17页）



    3．（5分）设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充要条件
    【解答】解：∵x2﹣5x＜0，∴0＜x＜5， ∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2， ∵0＜x＜5推不出0＜x＜2， 0＜x＜2⇒0＜x＜5，
    ∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件， 即x2﹣5x＜0是|x﹣1|＜1的必要不充分条件． 故选：B．
    4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（ ）
    B．必要而不充分条件

    D．既不充分也不必要条件

    A．5
    B．8
    C．24
    D．29
    【解答】解：i＝1，s＝0；
    第一次执行第一个判断语句后，S＝1，i＝2，不满足条件； 第二次执行第一个判断语句后，j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件； 第三次执行第一个判断语句后，S＝8，i＝4，满足退出循环的条件； 故输出S值为8， 故选：B．
    第6页（共17页）



    5．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（ ） A．
    B．
    C．2
    D．
    【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l． ∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1， ∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点）， ∴|AB|＝∴c＝，|OF|＝1，∴＝，
    ．
    ，∴b＝2a，
    ∴双曲线的离心率为e＝故选：D．
    6．（5分）已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜c＜b
    B．a＜b＜c
    C．b＜c＜a
    D．c＜a＜b
    【解答】解：由题意，可知： a＝log52＜1， b＝log0.50.2＝c＝0.50.2＜1，
    ∴b最大，a、c都小于1． ∵a＝log52＝而log25＞log24＝2＞∴＜．
    ，c＝0.50.2＝，
    ＝    ＝．
    ＝＝log25＞log24＝2．
    ∴a＜c，
    第7页（共17页）



    ∴a＜c＜b． 故选：A．
    7．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g（x）的最小正周期为2π，且g（A．﹣2
    B．﹣
    ）＝C．
    ，则f（）＝（ ） D．2
    【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0， 则f（x）＝Asin（ωx）
    将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）． 即g（x）＝Asin（ωx） ∵g（x）的最小正周期为2π， ∴＝2π，得ω＝2，
    则g（x）＝Asinx，f（x）＝Asin2x， 若g（）＝，则g（）＝Asin＝A＝，即A＝2，
    ＝2×＝，
    则f（x）＝2sin2x，则f（故选：C．
    ）＝2sin（2×＝2sin8．（5分）已知a∈R．设函数f（x）＝在R上恒成立，则a的取值范围为（ ） A．[0，1]
    B．[0，2]
    C．[0，e]
    若关于x的不等式f（x）≥0D．[1，e]
    【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立； 当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥令g（x）＝2）≤﹣（2＝﹣＝﹣﹣2）＝0，
    ＝﹣恒成立，
    ＝﹣（1﹣x+﹣∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．
    第8页（共17页）



    当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立，
    令h（x）＝，则h′（x）＝＝，
    当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增， 当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减， ∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e， ∴a≤h（x）＝e，
    综上a的取值范围是[0，e]． 故选：C．
    二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）i是虚数单位，则|【解答】解：由题意，可知：
    ＝    ＝＝2﹣3i， |的值为
    ．
    ∴||＝|2﹣3i|＝．
    ＝．
    故答案为：10．（5分）（2x﹣）8的展开式中的常数项为 28 ．
    【解答】解：由题意，可知： 此二项式的展开式的通项为： Tr+1＝4r（2x）8﹣r＝•28r（•﹣）r•x8r（•﹣﹣）r＝（﹣1）r28•﹣4r•x8﹣．
    ∴当8﹣4r＝0，即r＝2时，Tr+1为常数项． 此时T2+1＝（﹣1）228•﹣4×2＝28．
    故答案为：28．
    11．（5分）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为
    ．
    第9页（共17页）



    【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分， 由勾股定理得：正四棱锥的高为2，
    由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，
    有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于； 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1， 则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1＝故答案为：
    ；
    12．（5分）设a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆为
    ．
    （θ为参数）相切，则a的值【解答】解：∵a∈R，直线ax﹣y+2＝0和圆∴圆心（2，1）到直线ax﹣y+2＝0的距离： d＝＝2＝r，
    （θ为参数）相切，
    解得a＝． 故答案为：．
    13．（5分）设x＞0，y＞0，x+2y＝5，则【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝5，
    则    ＝    ＝＝2    +； 的最小值为
    4 ．
    由基本不等式有：
    2    +≥2＝时，
    ＝4；
    当且仅当2即：xy＝3，x+2y＝5时，即：或时；等号成立，
    故的最小值为4；
    第10页（共17页）



    故答案为：4
    ，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段14．（5分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2CB的延长线上，且AE＝BE，则•＝ ﹣1 ．
    【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°， ∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°， 又AB＝2∴∵又∴＝＝＝﹣12+×5×2＝﹣1
    故答案为：﹣1．
    三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3csinB＝4asinC．
    （Ⅰ）求cosB的值； （Ⅱ）求sin（2B+）的值．
    ＝，得bsinC＝csinB，又由×﹣
    •    ＝

    ，∴AE＝2， ，
    ，∴，


    【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理3csinB＝4asinC，
    得3bsinC＝4asinC，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得cosB＝＝＝﹣．
    第11页（共17页）



    （Ⅱ）由（Ⅰ）得sinB＝cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣， 故sin（2B+）＝sin2Bcos＝，从而sin2B＝2sinBcosB＝﹣，
    +cos2Bsin＝﹣×﹣×＝﹣．
    16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
    （Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
    （Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
    【解答】解：（I）甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为， 故X～B（3，）， 从而P（X＝k）＝所以，随机变量X的分布列为：
    X P
    0

    1

    2

    3

    ，k＝0，1，2，3．
    随机变量X的期望E（X）＝3×＝2．
    （II）设乙同学上学期间的三天中7：30到校的天数为Y，则Y～B（3，），
    且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}，由题意知{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且{X＝3}与{Y＝1}，{X＝2}与{Y＝0}相互独立，
    由（I）知，P（M）＝P（{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}＝P（{X＝3，Y＝1}+P{X＝2，Y＝0}
    ＝P（X＝3）P（Y＝1）+P（X＝2）P（Y＝0）＝＝
    17．（13分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2．
    （Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
    第12页（共17页）



    （Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
    （Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．

    【解答】（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，分别以空间直角坐标系，
    可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2）． 设CF＝h（h＞0），则F（1，2，h）． 则是平面ADE的法向量，又，可得．
    ，    ，所在直线为x，y，z轴建立又∵直线BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE； （Ⅱ）解：依题意，设，，．
    为平面BDE的法向量，
    则，令z＝1，得．
    ∴cos＜＞＝．
    ∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为； （Ⅲ）解：设为平面BDF的法向量，
    则，取y＝1，可得，
    由题意，|cos＜＞|＝，解得h＝．
    第13页（共17页）



    经检验，符合题意． ∴线段CF的长为．

    18．（13分）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|（O为原点），且OP⊥MN，求直线PB的斜率． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2b＝4，即b＝2，e＝＝解得a＝，c＝1，
    +＝1；
    ，a2﹣b2＝c2，
    可得椭圆方程为（Ⅱ）B（0，2），设PB的方程为y＝kx+2， 代入椭圆方程4x2+5y2＝20， 可得（4+5k2）x2+20kx＝0， 解得x＝﹣或x＝0，
    即有P（﹣，），
    y＝kx+2，令y＝0，可得M（﹣，0）， 又N（0，﹣1），OP⊥MN，
    第14页（共17页）



    可得•＝﹣1，解得k＝±，
    可得PB的斜率为±．
    19．（14分）设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2﹣2，b3＝2a3+4．
    （Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设数列{cn}满足c1＝1，cn＝（i）求数列{a（ii）求（c﹣1）}的通项公式；
    其中k∈N*．
    aici（n∈N*）．
    【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 依题意有：
    ，解得，
    ∴an＝4+（n﹣1）×3＝3n+1， bn＝6×2n1＝3×2n．
    ﹣（Ⅱ）（i）∵数列{cn}满足c1＝1，cn＝∴a（c﹣1）＝（c其中k∈N*．
    （bn﹣1）＝（3×2n+1）（3×2n﹣1）＝9×4n﹣1，
    ∴数列{aa（c﹣1）}的通项公式为：
    ﹣1）＝9×4n﹣1． aici＝[ai+ai（ci﹣1）]＝+
    （ii）＝（×3）+
    ＝（3×22n1+5×2n1）+9×﹣﹣﹣﹣n
    ＝27×22n+1+5×2n1﹣n﹣12．（n∈N*）．
    20．（14分）设函数f（x）＝excosx，g（x）为f（x）的导函数．
    第15页（共17页）



    （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0； ，2nπ+）内的零点，其中n∈N，（Ⅲ）设xn为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ+证明2nπ+﹣xn＜．
    【解答】（Ⅰ）解：由已知，f′（x）＝ex（cosx﹣sinx），因此， 当x∈（调递减； 当x∈（调递增．
    ∴f（x）的单调增区间为[（k∈Z）；
    （Ⅱ）证明：记h（x）＝f（x）+g（x）（），依题意及（Ⅰ），
    ）+g（x）（•﹣1），]（k∈Z），单调减区间为[，]，）（k∈Z）时，有sinx＜cosx，得f′（x）＞0，f（x）单，）（k∈Z）时，有sinx＞cosx，得f′（x）＜0，f（x）单有g（x）＝ex（cosx﹣sinx），从而h′（x）＝f′（x）+g′（x）（•＝g′（x）（）＜0．
    ，]上单调递减，有h（x）≥h（﹣x）≥0；
    ． ）＝f（因此，h（x）在区间[∴当x∈[，）＝0．
    ]时，f（x）+g（x）（（Ⅲ）证明：依题意，u（xn）＝f（xn）﹣1＝0，即记yn＝xn﹣2nπ，则yn∈（＝e﹣2nπ），且f（yn）＝（x∈N）．
    ﹣2nπ由f（yn）＝e≤1＝f（y0）及（Ⅰ），得yn≥y0，
    ，）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[）＝0，
    ，
    ，]上为减函数，
    由（Ⅱ）知，当x∈（因此，g（yn）≤g（y0）＜g（又由（Ⅱ）知，第16页（共17页）



    故＝＜．
    ∴2nπ+
    ﹣xn＜．
    第17页（共17页）


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