数学月刊七月号 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题

（这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分）

一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分

1．数集X = {（2n+1）π，n是整数}与数集Y = {（4k1）π，k是整数}之间的关系是 （ C ）

（A）XY （B）XY （C）X=Y （D）X≠Y

2．如果圆x2+y2+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点，那么（ C ）

（A）F=0，G≠0，E≠0. （B）E=0，F=0，G≠0.

（C）G=0，F=0，E≠0. （D）G=0，E=0，F≠0.

3.如果n是正整数，那么的值 （ B ）

（A）一定是零 （B）一定是偶数

（C）是整数但不一定是偶数 （D）不一定是整数

4.大于的充分条件是 （ A ）

（A） （B）

（C） （D）

5．如果θ是第二象限角，且满足那么 （ B ）

（A）是第一象限角 （B）是第三象限角

（C）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D）是第二象限角

二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）

1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积

答：

2.函数在什么区间上是增函数？

答：x＜-2.

3．求方程的解集

答：

4．求的展开式中的常数项

答：-20

5．求的值

答：0

6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）

答：

三．（本题满分12分）本题只要求画出图形

1．设画出函数y=H(x-1)的图象

2．画出极坐标方程的曲线

解（1） （2）

解：

四．（本题满分12分）

已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行

证：设三个平面为α，β，γ，且

从而c与b或交于一点或互相平行

1．若c与b交于一点，设

，∴所以，b，c交于一点（即P点）

2.若c∥b，则由所以，b，c互相平行

五．（本题满分14分）

设c，d，x为实数，c≠0，x为未知数讨论方程在什么情况下有解有解时求出它的解

解：原方程有解的充要条件是：

由条件（4）知，所以再由c≠0，可得

又由及x＞0，知，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中

再由条件（3）及，知因此，原条件可简化为以下的等价条件组：

由条件（1）（6）知这个不等式仅在以下两种情形下成立：

①c＞0，1-d＞0，即c＞0，d＜1；②c＜0，1-d＜0，即c＜0，d＞1.

再由条件（1）（5）及（6）可知

从而，当c＞0，d＜1且时，或者当c＜0，d＞1且时，原方程有解，它的解是

六．（本题满分16分）

1．设，实系数一元二次方程有两个虚数根z1，z2.再设z1，z2在复平面内的对应点是Z1，Z2求以Z1，Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）

2．求经过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分）

解：1.因为p，q为实数，，z1，z2为虚数，所以

由z1，z2为共轭复数，知Z1，Z2关于x轴对称，

所以椭圆短轴在x轴上又由椭圆经过原点，

可知原点为椭圆短轴的一端点

根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的

短轴长=2b=|z1+z2|=2|p|，

焦距离=2c=|z1-z2|=，

长轴长=2a=

2.因为椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，所以椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴

设椭圆左顶点为A（x，y），因为椭圆的离心率为，

所以左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的，

从而左焦点F的坐标为

设d为点M到y轴的距离，则d=1

根据及两点间距离公式，可得

这就是所求的轨迹方程

七．（本题满分15分）

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为，b，c，且c=10，

，P为△ABC的内切圆上的动点求点P到顶点A，B，C的距离的平方和的最大值与最小值

解：由，运用正弦定理，有

因为A≠B，所以2A=π-2B，即A+B=由此可知△ABC是直角三角形

由c=10，

如图，设△ABC的内切圆圆心为O＇，切点分别为D，E，F，则

AD+DB+EC=但上式中AD+DB=c=10，所以内切圆半径r = EC = 2.

如图建立坐标系，则内切圆方程为：(x-2)2+(y-2)2=4

设圆上动点P的坐标为(x，y)，则

因为P点在内切圆上，所以，

于是S最大值=88-0=88，S最小值=88-16=72

解二：同解一，设内切圆的参数方程为

从而

因为，所以

S最大值=80+8=88，

S最小值=80-8=72

八．（本题满分12分）

设＞2，给定数列{xn}，其中x1=，求证：

1．

2．

3．

1．证：先证明xn＞2(n=1，2，…）用数学归纳法

由条件＞2及x1=知不等式当n=1时成立

假设不等式当n=k(k≥1)时成立

当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知

再由归纳假设知不等式成立，所以不等式也成立

从而不等式xn＞2对于所有的正整数n成立

(归纳法的第二步也可这样证：

所以不等式xn>2(n=1，2，…）成立）

再证明由条件及xn>2(n=1，2，…）知

因此不等式也成立

（也可这样证：对所有正整数n有

还可这样证：对所有正整数n有

所以）

2．证一：用数学归纳法由条件x1=≤3知不等式当n=1时成立

假设不等式当n=k(k≥1)时成立

当n=k+1时，由条件及知

再由及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式也成立，

从而不等式对所有的正整数n成立

证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：

由条件知再由及归纳假设可得

3．证：先证明若这是因为

然后用反证法若当时，有则由第1小题知

因此，由上面证明的结论及x1=可得

即，这与假设矛盾所以本小题的结论成立

（六）DIY手工艺品的“创作交流性”

我们长期呆在校园里，没有工作收入一直都是靠父母生活，在资金方面会表现的比较棘手。不过，对我们的小店来说还好，因为我们不需要太多的投资。

九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）

如图，已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M又知当AP=时，点P的速度为v 求这时点M的速度

解：作CD⊥AM，并设AP = x，AM = y，∠COD=θ 由假设，

（六）DIY手工艺品的“创作交流性”AC的长为，半径OC=1，可知θ

考虑

（三）大学生购买消费DIY手工艺品的特点分析∵△APM∽△DCM，

（3）个性体现而

大学生的消费是多种多样，丰富多彩的。除食品外，很大一部分开支都用于。服饰，娱乐，小饰品等。女生都比较偏爱小饰品之类的消费。女生天性爱美，对小饰品爱不释手，因为饰品所展现的魅力，女人因饰品而妩媚动人，亮丽。据美国商务部调查资料显示女人占据消费市场最大分额，随社会越发展，物质越丰富，女性的时尚美丽消费也越来越激烈。因此也为饰品业创造了无限的商机。 据调查统计，有50% 的同学曾经购买过DIY饰品，有90% 的同学表示若在学校附近开设一家DIY手工艺制品，会去光顾。我们认为：我校区的女生就占了80%。相信开饰品店也是个不错的创业方针。

（有资料表明八四年试题为历年来最难的一次）