论文题目：淋雨量与人在雨中奔跑速度的关系

一.摘要

二.问题的重述

三.问题分析

四.建模假设

五.模型的建立

六.模型的评价

七.参考文献

一.摘要

本模型是研究人的淋雨量与人在雨中奔跑的速度的关系。由于人在雨中行走的过程比较复杂，我们只能将人体简化为一个长方体建立模型，进行讨论。

本题中采用了优化模型，通过将人分为几个平面，分别求得各个平面所接受的淋雨量，然后求其加和的方法求解。在问题一中，因为已经假设降雨淋遍全身，且人以最大的速度跑步。所以根据已知条件，直接列出方程进行求解。

在问题二中，我们利用最优化原理，建立出一个动态规划模型。雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

在问题三中，雨从背面吹来。同理同问题二，因雨速不与淋雨面垂直，同样将雨速分解为分别与头顶、后背垂直的竖直分量。结合题目中的已知条件，列出方程求解。

在问题四中，问题四中，以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，利用MATLAB画出α的曲线图。

在问题五中，只是前面问题的深入，将简单的平面问题升华为空间问题。利用空间直角坐标系和前面问题的思想，便能求解。

关键词：长方体淋雨量最优化原理

二.问题的重述

在人行进在雨中时，淋雨量和人行进速度之间是怎样的关系。为了研究这个问题，假设一人在雨中从一处沿直线跑到另一处，雨速为常数且方向不变，但是雨水的下落方向存在差异，因此就雨水的方向建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化为一个长方体，高=1.5m(颈部以下)，宽=0.5m，厚=0.2m，设跑步距离=1000m,跑步最大速度为=5m/s，雨速=4m/s，降雨量=2cm/h，记跑步速度为,按以下步骤进行讨论：

（1） 不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2） 雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为，如图1。建立总淋雨量与速度v及参数,,,,,，之间的关系，问速度v为多大，总淋雨量最少。计算=0,=300时的总淋雨量。

（3） 雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2。建立总淋雨量与速度及参数,,,,,,之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算＝300时的淋雨量。

（4） 以总淋雨量为纵轴，速度为横轴，对（3）作图（考虑的影响），并解释结果的实际意义。

（5） 若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

三.问题分析

淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

可得：

淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①

时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②

由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v

全部问题最基本的就是这个公式，根据具体情况，求出每个量的值，从而得出最终结果。

四.模型假设

（1）降雨地区的地面是平面且不考虑风的因素。

（2）人是平稳地沿直线向前移动的。

（3）降雨时，雨在空间中是均匀分布的。

（4）为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体。

五.模型的建立

5.1模型一

由已知条件知，不考虑雨的方向且降雨淋遍全身，所以人淋雨的面积为：

S=2ab+2ac+bc

淋雨的时间为：

t=d/

总降雨量为：

V=ω×S×d/

带入数据=1.5m，=0.5m，=0.2m，=1000m，=5m/s，=2cm/h得：

S＝2.2（㎡）

V＝0.0024(m3)=2.4(L)

5.2模型二

若雨从迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ（如图）：

所以人只有头顶和前面淋到了雨即：人的淋雨量可分为：头顶淋雨量和前部淋雨量。

（1） 头顶淋雨量：

由图可知，雨速在垂直方向只有向下的分量，且与v无关。所以：

单位时间单位面积的降雨量为：

淋雨面积为：bc;淋雨时间为：d/v

于是，头顶淋雨量为:

（2） 前部淋雨量：

由图可知，雨速的水平分量为且方向与v相反，故人相对于雨的水平速度为：

所以，单位时间单位面积的降雨量为：

淋雨面积为:ab;淋雨时间为：d/v

于是，前部淋雨量为：

由（1）（2）得：总淋雨量为：

代入数据得：

对v求导得：

所以V（v）是关于v在定义域上的减函数，所以当v取最大值时，V有最小值即：

当v==5m/s时，总淋雨量最少。

（1） 当=0，代入得：

V=0.00115（m3）=1.15（L）

（2） 当θ=30°，代入得：

V＝0.00155(m3)=1.55（L）

5.3模型三

由题意得，雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α（图）：

所以人只有头顶和后面淋到了雨即：人的淋雨量可分为：头顶淋雨量和后部淋雨量。

（1） 经分析得，头顶的淋雨量同问题二一样：

头顶淋雨量为:

（2） 后部淋雨量：

人相对于雨的水平速度为：

所以，单位时间单位面积的降雨量为：

淋雨面积为:ab;淋雨时间为：d/v

于是，前部淋雨量为：

由（1）（2）得：总淋雨量为：

代入数据得：

（1） 当时，对V（v）求导得：

<0

所以，总淋雨量（V）随着速度（v）的增加而减少，

因此，时，总淋雨量最小。

（2）当v>usinα时，对V（v）求导得：

1. 当1.5sinα－0.2cosα<0，即：tanα<2/15时，V`<0。所以，V随着v的增加而减少。

所以，当速度v==5m/s，总淋雨量最小。

2. 当1.5sinα－0.2cosα>0，即：tanα>2/15时,V`>0。所以，V随着v的增加而增加。

所以，当速度（v）取最小，即v=usinα时，总淋雨量最小。

当α＝30°，则tanα>2/15时，v=usinα=4×1/2=2（m/s）

所以淋雨量为：

V=0.0002405（m3）=0.2405(L)

5.4模型四

由（3）作图得：

实际意义为：根据图像可以得到，当人的速度与雨水的水平速度相同时，人的总淋雨量是最小的。

5.5模型五

若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，则模型将会发生改变。我们建立空间坐标系，在三个坐标轴向量上对雨水进行分离，对淋雨的三个表面求解，结合模型三即可得出结果。

我们只举例研究雨从正侧面吹来。设雨线与跑步速度方向夹角为。作图如下：

顶部淋雨量=，雨速水平分量(方向与v相反)

合速度，单位面积时间的淋雨量

迎面淋雨量=，

侧面淋雨量=

所以，总淋雨量

由以上式子可知，当v最大时，Q最小。其他情况与前面处理类似，利用速度分解和合成，可以解决，在本质上并无区别。

六.模型的评价

6.1、模型优点?

总体上讲，本文重点体现了模型的建立,运用了求最优解的思想，并且通过对图形的有效利用，使结果更直观明了。从解题思路和方法上看，相对客观的对人在雨中奔跑的各个情况进行了分析，合理假设了人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关，还与雨线与人跑步方向的夹角，雨速以及人跑步速度等因素有关。

6.2、模型缺点?

本题在模型建立时，忽略了实际生活中降雨的种种不确定性，如降雨密度不均匀、雨滴的体积大小不等、风向不稳定、雨速大小与方向时刻改变、人体与长方体的差距等因素，模型建立的相对有些简单，因此本文仍存在一定的局限性，考虑问题也不太全面，有待改进和提高。

七.参考文献

[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学建模（第四版）,北京，高等教育出版社，2011年1月