第3讲　三角函数的图象与性质

最新考纲　1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.

知 识 梳 理

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).

(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期.(　　)

(2)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)

(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)

(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)

(5)y＝sin|x|是偶函数.(　　)

解析　(1)函数y＝sin x的周期是2kπ(k∈Z).

(2)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.

(3)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.

(4)当k>0时，ymax＝k＋1；当k<0时，ymax＝－k＋1.

答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

2.(2015·四川卷)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)

A.y＝sin B.y＝cos

C.y＝sin 2x＋cos 2x D.y＝sin x＋cos x

解析　y＝sin＝cos 2x是最小正周期为π的偶函数；y＝cos＝－sin 2x是最小正周期为π的奇函数；y＝sin 2x＋cos 2x＝sin是最小正周期为π的非奇非偶函数；y＝sin x＋cos x＝sin是最小正周期为2π的非奇非偶函数.

答案　B

3.(2017·郑州模拟)若函数f(x)＝sin (φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝(　　)

A. B. C. D.

解析　由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0，2π]，所以φ＝.

答案　C

4.函数f(x)＝sin在区间上的最小值为(　　)

A.－1 B.－ C. D.0

解析　由已知x∈，得2x－∈，所以sin∈，故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.

答案　B

5.(必修4P47B2改编)函数y＝－tan的单调递减区间为________.

解析　因为y＝tan x的单调递增区间为(k∈Z)，

所以由－＋kπ＜2x－＜＋kπ，

得＋＜x＜＋(k∈Z)，

所以y＝－tan的单调递减区间为(k∈Z).

答案　(k∈Z)

6.(2017·绍兴调研)设函数f(x)＝2sin (ω>0，x∈R)，最小正周期T＝π，则实数ω＝________，函数f(x)的图象的对称中心为________，单调递增区间是________.

解析　由T＝＝π，∴ω＝2，f(x)＝2sin，令2sin＝0，得2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝－，对称中心为(k∈Z)，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴单调递增区间为(k∈Z).

答案　2　 (k∈Z)　 (k∈Z)

考点一　三角函数的定义域及简单的三角不等式

【例1】 (1)函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)

A. B.

C. D.

(2)不等式＋2cos x≥0的解集是________.

(3)函数f(x)＝＋log2(2sin x－1)的定义域是________.

解析　(1)由正切函数的定义域，得2x＋≠kπ＋，

即x≠＋(k∈Z)，故选D.

(2)由＋2cos x≥0，得cos x≥－，

由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，

不等式cos x≥－的解集为，

故原不等式的解集为.

(3)由题意，得

由①得－8≤x≤8，由②得sin x>，由正弦曲线得＋2kπ<x<π＋2kπ(k∈Z).

所以不等式组的解集为∪∪.

答案　(1)D　(2)　(3)∪∪

规律方法　(1)三角函数定义域的求法

①以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域.

②转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域.

(2)简单三角不等式的解法

①利用三角函数线求解.

②利用三角函数的图象求解.

【训练1】 (1)函数y＝tan 2x的定义域是(　　)

A. B.

C. D.

(2)函数y＝的定义域为________.

解析　(1)由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，

∴y＝tan 2x的定义域为.

(2)法一　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示.

在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为

.

法二　利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).

所以定义域为

.

法三　sin x－cos x＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，

解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z).

所以定义域为.

答案　(1)D　(2)

考点二　三角函数的值域

【例2】 (1)函数y＝－2sin x－1，x∈的值域是(　　)

A.[－3，1] B.[－2，1] C.(－3，1] D.(－2，1]

(2)(2016·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝cos 2x＋6cos的最大值为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

(3)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________.

解析　(1)由正弦曲线知y＝sin x在上，－1≤sin x<，所以函数y＝－2sin x－1，x∈的值域是(－2，1].

(2)由f(x)＝cos 2x＋6cos＝1－2sin2x＋6sin x＝－2＋，所以当sin x＝1时函数的最大值为5，故选B.

(3)设t＝sin x－cos x，

则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，

sin xcos x＝，且－≤t≤.

∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1.

当t＝1时，ymax＝1；

当t＝－时，ymin＝－－.

∴函数的值域为.

答案　(1)D　(2)B　(3)

规律方法　求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).

【训练2】 (1)(2017·杭州调研)函数y＝2sin (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)

A.2－ B.0 C.－1 D.－1－

(2)(2017·金华检测)函数y＝－2cos＋1的最大值是________，此时x的取值集合为________.

解析　(1)因为0≤x≤9，所以－≤x－≤，

所以sin∈.

所以y∈[－，2]，

所以ymax＋ymin＝2－.选A.

(2)ymax＝－2×(－1)＋1＝3，

此时， x－＝2kπ＋π，

即x＝4kπ＋(k∈Z).

答案　(1)A　(2)3　

考点三　三角函数的性质(多维探究)

命题角度一　三角函数的奇偶性与周期性

【例3－1】 (1)(2017·宁波调研)函数y＝2cos2－1是(　　)

A.最小正周期为π的奇函数

B.最小正周期为π的偶函数

C.最小正周期为的奇函数

D.最小正周期为的偶函数

(2)(2017·衡水中学金卷)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝(　　)

A.－ B. C.－ D.

解析　(1)y＝2cos2－1

＝cos2＝cos

＝cos＝sin 2x，

则函数为最小正周期为π的奇函数.

(2)f(x)＝sin－cos＝

2sin，由题意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，∴θ＝＋kπ(k∈Z)，∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.故选A.

答案　(1)A　(2)A

规律方法　(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

①f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；

②f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)与y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.

命题角度二　三角函数的单调性

【例3－2】 (1)函数f(x)＝sin的单调递减区间为________.

(2)若f(x)＝2sin ωx＋1(ω>0)在区间上是增函数，则ω的取值范围是________.

解析　(1)由已知可得函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间.

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所求函数的单调递减区间为(k∈Z).

(2)法一　由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，k∈Z，

得f(x)的增区间是(k∈Z).

因为f(x)在上是增函数，

所以⊆.

所以－≥－且≤，所以ω∈.

法二　因为x∈，ω>0.

所以ωx∈，

又f(x)在区间上是增函数，

所以⊆，则又ω>0，得0<ω≤.

法三　因为f(x)在区间上是增函数，故原点到－，的距离不超过，即得T≥，即≥，又ω>0，得0<ω≤.

答案　(1) (k∈Z)　(2)

规律方法　(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.

命题角度三　三角函数的对称轴或对称中心

【例3－3】 (1)(2017·浙江适应性测试)若函数f(x)＝2sin(4x＋φ)(φ<0)的图象关于直线x＝对称，则φ的最大值为(　　)

A.－ B.－ C.－ D.－

(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)

A.11 B.9 C.7 D.5

解析　(1)由题可得，4×＋φ＝＋kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z，∵φ<0，∴φmax＝－.

(2)因为x＝－为f(x)的零点，x＝为f(x)的图象的对称轴，所以－＝＋kT，即＝T＝·，所以ω＝4k＋1(k∈N*)，又因为f(x)在上单调，所以－＝≤＝，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.

答案　(1)B　(2)B

规律方法　(1)对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.

(2)对于可化为f(x)＝Acos(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可.

【训练3】 (1)(2017·昆明二检)函数f(x)＝cos的图象关于(　　)

A.原点对称 B.y轴对称

C.直线x＝对称 D.直线x＝－对称

(2)已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

解析　(1)因为f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x，f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，所以f(x)＝－sin 2x是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称.故选A.

(2)函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，

则(k∈Z)，

解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，

又由4k－－≤0，k∈Z且2k－>0，k∈Z，

得k＝1，所以ω∈.

答案　(1)A　(2)D

[思想方法]

1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式.

2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质.

3.数形结合是本讲的重要数学思想.

[易错防范]

1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.

2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)

A.①②③ B.①③④

C.②④ D.①③

解析　①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期为π；

②由图象知y＝|cos x|的最小正周期为π；

③y＝cos的最小正周期T＝＝π；

④y＝tan的最小正周期T＝，因此选A.

答案　A

2.(2017·温州模拟)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)

A. (k∈Z)

B. (k∈Z)

C. (k∈Z)

D. (k∈Z)

解析　当kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)时，函数y＝tan单调递增，解得－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，故选B.

答案　B

3.(2016·成都诊断)函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为(　　)

A.3，－1 B.3，－2 C.2，－1 D.2，－2

解析　y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x

＝－sin2x－2sin x＋1，

令t＝sin x，则t∈[－1，1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，

所以ymax＝2，ymin＝－2.

答案　D

4.(2016·银川模拟)已知函数f(x)＝sin (x∈R)，下面结论错误的是(　　)

A.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)是偶函数

C.函数f(x)的图象关于直线x＝对称

D.函数f(x)在区间上是增函数

解析　f(x)＝sin＝－cos 2x，故其最小正周期为π，故A正确；易知函数f(x)是偶函数，B正确；由函数f(x)＝－cos 2x的图象可知，函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，C错误；由函数f(x)的图象易知，函数f(x)在上是增函数，D正确.

答案　C

5.(2017·安徽江南十校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，且∀x∈R，有f(x)≤f成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)

A. B.

C. D.

解析　由f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤f恒成立，所以f(x)max＝f，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.

令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝0时，f(x)图象的对称中心为，故选A.

答案　A

二、填空题

6.(2017·台州调研)若函数f(x)＝cos (0<φ<π)是奇函数，则φ＝________；f(x)取最大值时，x的取值集合为________.

解析　因为f(x)为奇函数，所以φ－＝＋kπ，φ＝＋kπ，k∈Z.又因为0<φ<π，故φ＝.由f(x)＝cos＝cos＝－sin 2x(x∈R)，∴当2x＝2kπ－，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)得最大值1.

答案　　

7.(2016·哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y＝sin x＋cos x的单调递增区间是________.

解析　∵y＝sin x＋cos x＝sin，

由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z).

∴函数的单调递增区间为(k∈Z)，

又x∈，∴单调递增区间为.

答案　

8.(2016·承德模拟)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.

解析　法一　由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.

法二　由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.

由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝，解得ω＝.

答案　

三、解答题

9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.

解　(1)因为f(x)＝sin2 x＋cos2 x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，

所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.

(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.

当x∈时，2x＋∈，

由正弦函数y＝sin x在上的图象知，

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.

综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.

10.(2017·昆明调研)设函数f(x)＝sin－2cos2＋1.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值.

解　(1)f(x)＝sin cos－cos sin－cos

＝sin－cos＝sin，

故f(x)的最小正周期为T＝＝8.

(2)法一　在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，

它关于x＝1的对称点(2－x，g(x)).

由题设条件，知点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，

从而g(x)＝f(2－x)＝sin

＝sin＝cos.

当0≤x≤时，≤＋≤，

因此y＝g(x)在区间上的最大值为

g(x)max＝cos＝.

法二　区间关于x＝1的对称区间为，

且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，

故y＝g(x)在上的最大值为

y＝f(x)在上的最大值.

由(1)知f(x)＝sin，

当≤x≤2时，－≤－≤.

因此y＝g(x)在上的最大值为

g(x)max＝sin＝.

能力提升题组

(建议用时：25分钟)

11.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)

A. B. C.2 D.3

解析　∵ω>0，－≤x≤，

∴－≤ωx≤.

由已知条件知－≤－，∴ω≥.

答案　B

12.(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)

A.f(2)<f(－2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(－2)

C.f(－2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(－2)

解析　由于f(x)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝Asin(2x＋φ)，又当x＝时，2x＋φ＝＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ>0，∴φmin＝，

故f(x)＝Asin(2x＋).于是f(0)＝Asin，

f(2)＝Asin＝Asin＝Asin，

f(－2)＝Asin＝Asin

＝Asin＝Asin.

又∵－＜－4＜4－＜＜.

又f(x)在上单调递增，

∴f(2)<f(－2)<f(0)，故选A.

答案　A

13.(2017·湖州调研)若x＝是函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的一条对称轴，则函数f(x)的最小正周期是________；函数f(x)的最大值是________.

解析　∵f(x)＝sin 2x＋acos 2x＝sin(2x＋θ)(tan θ＝a)，

又x＝是函数的一条对称轴，

∴2×＋θ＝＋kπ，即θ＝＋kπ，k∈Z.

则f(x)＝sin.

T＝＝π；

由a＝tan θ＝tan＝tan＝，

得＝＝.

∴函数f(x)的最大值是.

答案　π　

14.(2017·武汉调研)已知函数f(x)＝a＋b.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；

(2)若x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值.

解　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.

(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，

由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的单调增区间为(k∈Z).

(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，

∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.

(ⅰ)当a>0时，∴a＝3－3，b＝5.

(ⅱ)当a<0时，∴a＝3－3，b＝8.

综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.

15.设函数f(x)＝sin－2cos2.

(1)求y＝f(x)的最小正周期及单调递增区间；

(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g(x)的最大值.

解　(1)由题意知f(x)＝sin－cos－1＝·sin－1，所以y＝f(x)的最小正周期T＝＝6.

由2kπ－≤x－≤2kπ＋，k∈Z，得6k－≤x≤6k＋，k∈Z，

所以y＝f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)因为函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，

所以当x∈[0，1]时，y＝g(x)的最大值即为x∈[3，4]时，y＝f(x)的最大值，

当x∈[3，4]时， x－∈，sin∈，f(x)∈，

即此时y＝g(x)的最大值为.