全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．

（1）若函数在连续，则

(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．

【答案】A

【详解】由,得.

（2）设函数可导，且则

(A) ． (B) ．

  (C) ． (D) .

【答案】C

【详解】,从而单调递增,.

（3）函数在点处沿着向量的方向导数为

(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．

【答案】D

【详解】方向余弦,偏导数,代入即可.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

(A) ． (B) ． (C) ． (D) ．

【答案】C

【详解】在时,乙比甲多跑m,而最开始的时候甲在乙前方m处.

（5）设为维单位列向量，为阶单位矩阵，则

(A) 不可逆． (B) 不可逆．

(C) 不可逆． (D) 不可逆．

【答案】A

【详解】可设,则的特征值为,从而的特征值为,因此不可逆.

（6）设有矩阵，，

(A)与相似，与相似． (B) 与相似，与不相似．

(C) 与不相似，与相似． (D) 与不相似，与不相似．

【答案】B

【详解】的特征值为,但有三个线性无关的特征向量,而只有两个,所以可对角化, 则不行.

（7）设为随机事件，若，，则的充分必要条件

(A) ． (B) ．

(C) ． (D) ．

【答案】A

【详解】由得,即;

由也可得.

（8）设为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论不正确的是

(A)服从分布 ． (B) 服从分布．

(C) 服从分布． (D) 服从分布．

【答案】B

【详解】;

.

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上．

（9）已知函数 ．

【答案】0

【详解】,没有三次项.

（10）微分方程的通解为 ．

【答案】

【详解】特征方程得,因此.

（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则

．

【答案】

【详解】有题意可得,解得.

（12）幂级数在(-1,1)内的和函数 ．

【答案】

【详解】.

（13），是3维线性无关的列向量，则的秩为 ．

【答案】2

【详解】

（14）设随即变量的分布函数，其中为标准正态分布函数，则 ．

【答案】2

【详解】.

三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上．

（15）（本题满分10分）．

设函数具有2阶连续偏导数，求.

【答案】

（16）（本题满分10分）．

求.

【答案】

（17）（本题满分10分）．

已知函数由方程确定，求的极值.

【答案】①，

方程①两边对求导得：②，

令，得.

当时，当时.

方程②两边再对求导：，

令，，

当，时，当，时.

所以当时函数有极大值，极大值为1，当时函数有极小值，极小值为0.

（18）（本题满分10分）．

设函数在区间上具有2阶导数，且，.证明：

（I）方程在区间内至少存在一个实根;

（II）方程在区间内至少存在两个不同实根.

【答案】

(1)，由极限的局部保号性，，又由零点存在定理知，，使得，.

(2)构造，，，由拉格朗日中值定理知，所以由零点定理知，使得， 所以原方程至少有两个不同实根。

（19）（本题满分10分）．

设薄片型物体是圆锥面被割下的有限部分，其上任意一点处的密度为，记圆锥面与柱面的交线为C；

（I）求C在平面上的投影曲线的方程；

（II）求S的质量M。

【答案】(1)的方程为，投影到平面的方程为：

（20）(本题满分11分)．

设矩阵有3个不同的特征值，

（I）证明：;

（II）若，求方程组的解.

【答案】

又有三个不同的特征值，故为单根，且一定能相似对角化.

（2）由（1），的通解为，

，故有.

（21）（本题满分11分）．

设二次型在正交变换 下的标准形为，求的值及一个正交矩阵。

（21）【答案】二次型的矩阵，

因为二次型在正交变换下的标准形为，故有特征值0，

，故.

由得特征值为

.

解齐次线性方程组，求特征向量.

对，,得；

对，,得；

对，,得；

因为属于不同特征值，已经正交，只需规范化：

令，

所求正交矩阵为,对应标准形为.

（22）（本题满分11分）．

设随机变量与相互独立，且的概率分布为，的概率密度为

（I）求

（II）求的概率密度。

22、【答案】（1），

.

（2）的分布函数为

故的概率密度函数为

.

（23）（本题满分11分）．

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的.设n次测量结果相互独立且均服从正态分布.该工程师记录的是n次测量的绝对误差.利用估计.

（I）求的概率密度；

（II）利用一阶矩求的矩估计量；

（III）求的最大似然估计量.

【答案】的分布函数为，

所以的概率密度均为.

（2），

令，即，得的矩估计量为：

，其中.

（3）记的观测值为，当时，

似然函数为，

，

令

.