第一章 课程知识

1. 高中数学课程的地位和作用：

1 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。

2 高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。

3 高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。

4 高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。

2. 高中数学课程的基本理念：

1 高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。

2 高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、特长提供空间。

3 让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。

4 提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。

5 强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、数学建模。

6 重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。

7 强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的重要作用。

8 全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和过程性评价。

3. 高中数学课程的目标：

1 总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。

2 三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观

3 把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。

4 五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力

4. 高中数学课程的内容结构：

1 必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式）

2 选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）：

1 选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、推理与证明、复数、框图）

2 选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率）

3 选修系列3（6个专题）

4 选修系列4（10个专题）

5. 高中数学课程的主线：

函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。

6. 教学建议：

1 以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划

2 帮助学生打好基础，发展能力：

1 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握

2 重视基本技能的训练

3 与时俱进地审视基础知识与基本能力

3 注重联系，提高对数学整体的认知

4 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力

5 关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成

6 改善教与学的方式，使学生主动地学习

7 恰当运用现代信息技术，提高教学质量

7. 评价建议：

1 重视对学生数学学习过程的评价

2 正确评价学生的数学基础知识和基本能力

3 重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评）

4 实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象）

5 根据学生的不同选择进行评价

第二章 教学知识

8. 教学原则

抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”）

9. 教学过程

备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用）

10. 教学方法

1 讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教学语言）

2 讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。

3 自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学

4 发现法：又称问题教学法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问题解法；完善问题解答，总结思路方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。

11. 概念教学

1 概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。

2 概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）

3 概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如“”）

4 数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）

12. 命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实施之 前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）

13. 推理教学

1 推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的

2 推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）

14. 问题解决教学

1 数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则

2 纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所得到的解）

3 非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解数学模型；检验；交流和评价；推广）

15. 学习方式：自主学习、探究学习、合作学习

第三章 教学技能

16. 教学设计

1 课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。

2 教学设计与教案的关系：

1 内容不同：

教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、如何教。

2 核心目的不同：

教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达到更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好教学内容。

3 范围不同：

从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。

3 数学课堂教学设计的意义：

1 使课堂教学更规范、操作性更强

2 使课堂教学更科学

3 使课堂教学过程更优化

4 数学课堂教学设计的基本要求：

1 充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本

2 适应学生的学习心理和年龄特征

3 重视课程资源的开发和利用

4 注重预设与生成的辩证统一

5 辩证认识和处理教学中的多种关系

6 整体把握教学活动的结构

5 数学教学设计的准备：

1 认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求

2 全面关注学生需求

3 认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图

4 广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计

5 制定学期教学计划、单元教学计划

6 教材分析

1 分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务

2 整体系统的观念用教材

3 理解教材的编排意图

4 突出教材的重点和难点

7 学情分析

1 分析学生原有的认知基础

2 分析学生的个体差异

3 了解学生的生理、心理

4 了解学生对本学科学习方法的掌握情况

5 分析学习知识时可能要遇到的困难

8 制定合理教学目标的要求

1 反映学科特点，体现内容本质

2 要有计划性，可评价性

3 格式要规范，用词要考究

4 要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等

5 注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究）

6 要实在具体，不浮华

9 教学反思

1 教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思

2 教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文

10 教学设计的撰写：

1 教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用）；过程与方法（提高能力）；情感态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法）

2 学情分析

3 教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析

4 教学理念

5 教学策略

6 教学环境

7 教学过程

8 教学反思

17. 教学实施

1 课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬念导入法

2 课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则

3 课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分析综合提问、评价提问

4 学生活动：

1 学生活动体现了学生在学习中的主体地位

2 作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分

3 学生活动的目的是促进学生的理解

4 从总体上说，学生活动必须是思维活动

5 课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和启下法、发散法和拓展法

6 结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外沟通，立疑开拓

18. 教学评价

1 数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、学生行为、教学效果

2 数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能

第四章 常用数学公式

一、 函数、导数

1. 函数的单调性

1 设、且。那么

在上是增函数；

在上是减函数。

2 设函数在某个区间内可导，若0' altImg='ebe42526114bbaf9644b2efceb9fe076.png' w='75' h='26' omath='f'x>0' class='_5'>，则在该区间内为增函数；若x<0' class='_5'>，则在该区间内为减函数

2. 函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）

对于定义域内任意的，都有，则是偶函数；

对于定义域内任意的，都有，则是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称。

3. 函数在点处的导数的几何意义

函数在点处的导数x0' class='_5'>是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是x0x-x0' class='_5'>。

4. 几种常见函数的导数

=0' class='_6'>（C为常数）；=axlna' class='_6'>；

=nxn-1' class='_6'>（）；=ex' class='_6'>；

=cosx' class='_6'>；=-sinx' class='_6'>；

=-arc cosx'=11-x2' class='_6'>；

=-arc cotx'=11+x2' class='_6'>；

=1x' class='_6'>；=1xlna' class='_6'>；

5. 导数的运算法则

=u'±v'' class='_6'>；=u'v+uv'' class='_6'>；=g'uu'' class='_6'>

6. 幂函数（）

7. 求函数的极值的方法:解方程x=0' class='_6'>。当x0=0' class='_6'>时：

1 如果在附近的左侧0' altImg='e6d2d866e2766a7cf749af06c078524b.png' w='83' h='27' omath='f'x0>0' class='_6'>，右侧x0<0' class='_6'>，则是极大值；

2 如果在附近的左侧x0<0' class='_6'>，右侧0' altImg='e6d2d866e2766a7cf749af06c078524b.png' w='83' h='27' omath='f'x0>0' class='_6'>，则是极小值；

8. 凹凸函数：设在开区间上存在二阶导数：

1 若对任意，有，则在上为下凸函数；

2 若对任意，有，则在上为上凸函数；

二、 三角函数、三角变换、解三角形、向量

9. 同角三角函数的基本关系式

10. 正弦、余弦的诱导公式

11. 和角与差角公式

；

；

（辅助角所在象限由点的象限决定,）

12. 二倍角公式

；

；

13. 三角函数的周期

函数，及函数，（为常数，且，）的周期；函数，，（为常数，且，）的周期。

14. 三角函数的图像变换：

1 函数，即横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍，再向左（）或向右（）平移个单位，最后纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍。

2 函数，即向左（）或向右（）平移个单位，再横坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍，再，最后纵坐标伸长（）或缩短（）到原来的倍。

15. 正弦定理

（是外接圆的半径）

16. 余弦定理

;;

17. 三角形面积公式

18. a与b的数量积（或内积）

（是向量a，b的夹角）

19. 向量的坐标运算

1 设，,则；

2 设，,则；

3 设，则。

20. 两向量的夹角公式

设，,且，则。

21. 向量的平行与垂直

；

三、 数列、集合与命题

22. 数列的通项公式与前项的和的关系

（数列的前项的和为）

23. 等差数列的通项公式和前项和公式

；

24. 等比数列的通项公式和前项和公式

；

25. 数列求和常见结论：

（）；

；

；

。

26. 有个元素的集合，含有个子集，个真子集。

27. 原命题：若则；否命题：若则；命题的否定：若则。

28. 全称量词即“所有”，“全部”，可写作“”；存在量词又称特称量词，写作“”。

四、 不等式

29. 均值不等式

设， (当且仅当＝b时取“=”号)

30. 柯西不等式

，其中，当且仅当时不等式取等号。

31. Jensen不等式

32. 三角不等式：

33. 指数不等式：

五、 解析几何与立体几何

34. 直线的五种方程

1 点斜式：（直线过点，且斜率为）

2 斜截式：（b为直线在y轴上的截距）

3 两点式：（直线过点，且，）

4 截距式：（、b分别为直线的横、纵截距，）

5 一般式：（其中A、B不同时为0）

35. 两条直线的平行和垂直

若，

1 ；

2

36. 点到直线（的距离

37. 角平分线所在直线的方程

，其中分别为角的边所在直线的斜率，为原角的大小

38. 圆的三种方程

1 圆的一般方程：

2 圆的标准方程：

3 圆的参数方程：

39. 两个圆的公共弦所在方程

40. 直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种：

相离；相切；相交，弦长=;

其中

41. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆：，离心率，准线，参数方程是，椭圆上的点与两个定点的距离之和等于常数（）。

双曲线：，离心率，准线，渐近线方程是，椭圆上的点与两个定点的距离之差等于常数（）。

抛物线：，焦点，准线，焦半径，过抛物线焦点的弦长，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。

42. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

1 若双曲线方程为。

2 若渐近线方程为双曲线可设为。

3 若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在轴上；，焦点在轴上）

43. 若斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，则弦长公式为

（）

44. 柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=，表面积=，体积=（是柱体的底面积，是柱体的高）；圆锥侧面积=，表面积=，体积=（是锥体的底面积，是锥体的高）；

球的半径是，则其体积，其表面积

六、 空间几何

45. 平面方程：

1 点法式：，是平面的法向量

2 一般式：（不全为0）

3 参数式：已知平面上一点以及平行于平面的两不共线向量和，则有

46. 两平面间的关系:

1 ；（法向量共线但两平面不重合）

2

3 与的夹角（）：

47. 直线方程：

1 一般式（交面式）：

2 参数式：

3 对称式（标准式）：

48. 直线与平面的关系：

1 且；

2

3 与的夹角（）：

49. 曲面方程：

1 单叶双曲面：（）

2 双叶双曲面：（）

3 椭圆抛物面：（），当时，曲面为旋转抛物面

4 双曲抛物面：（）

七、 概率统计

50. 平均数、方差、标准差、期望的计算

平均数：

方差：

标准差：

期望

51. 回归线方程

，其中，

52. 独立性检验：

53. 排列数、组合数

排列数公式：，其中，；

组合数公式：，其中

54. 二项式定理：

1

2 第项：（，）

3 系数和：，

4 当的绝对值与1相比很小且不大时，有，

55. 相对独立事件同时发生的概率

56. 正态分布记为，其中期望，方差，曲线关于直线对称并在时取最大值。

57. 离散型随机变量的期望与方差的性质：

1 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。

2 ；（为常数）

3 ；（为常数）

4 设，则，，

5 若，则，；若服从几何分布，且，则，。

八、 复数

58. 复数的除法运算：

59. 复数的模：

60. 复数之间不能进行大小比较

61. 设一元三次方程（）的三个根分别是，则有：

1 ，，

2 令，其中，

当时，方程有一个实根，一对共轭复根；

当时，方程有三个实根，其中有一个二重根；

当时，方程有三个不等实根。

九、 极限与级数

62. 柯西收敛准则：数列收敛的充分必要条件是：对于任意，存在整数，使 得当时，有。

63. 极限的定义：：对于任意，存在正数，当时，有。

64. 当时，有，，则有，

65. 函数极限的计算：

1 （）其中各函数极限均存在

2 洛必达法则：若函数和满足下列条件：

1 ，其中或；

2 在点的某去心邻域内两者均可导，且x≠0' class='_12'>；

则有xg'x' class='_12'>

66. 拉格朗日中值定理：如果函数满足在闭区间上连续；在开区间内可导；那 么在开区间内至少有一点（）使等式εb-a' class='_12'>成立。

67. 正项级数敛散性判断：

1 比较判别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散

2 比值与根值判别法：

若；

若；

3 与级数比较：设，当时收敛，当时发散。

68. 交错级数的敛散性（莱布尼茨判别法）：设交错级数满足，；，则收敛，且其和，余项。

69. 幂级数收敛半径及收敛域：

设幂级数，则有

1 若，则其收敛半径为；

2 判断在处的敛散性；

3 若该级数在处收敛，则其收敛域为；若该级数在处收敛，则其收敛域为；若该级数在处都收敛，则其收敛域为。

一十、 矩阵、线性空间与线性变换

70. 矩阵的转置：

1 对于阶实矩阵，若满足或（为单位矩阵），则矩阵称为正交矩阵，其中为的转置；

2 若阶方阵满足，则称为对称矩阵；若阶方阵满足，则称为反对称矩阵，反对称矩阵对角线上的元素必为0；

3 转置的运算规律：

71. 齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的秩

72. 特征值和特征向量：

1 给定矩阵，若存在一个非零向量和实数，满足，则称为矩阵的特征值，为矩阵的属于特征值的特征向量。

2 任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和；所有特征值的乘积等于该矩阵的行列式的值。

3 若同阶矩阵和的特征值相同，则有等价于。

73. 非异矩阵：若阶矩阵的行列式不为零，即，则称为非奇异矩阵或满秩矩阵， 否则称为奇异矩阵或降秩矩阵。

74. 相似、合同：

1 相似：非异矩阵，使得，则有相似于。

2 相似的判断：相同的特征值、迹（自左上到右下的主对角线的和）、行列式的值相同

3 合同：非异矩阵，使得，则有与合同。

4 合同的判断：正、负特征值的个数相等

75. 线性空间：

1 柯西布涅科夫斯基不等式：设是欧式空间，、，则，当且仅当、线性相关时，等号才成立

2 本身与都是的子空间，称之为的平凡子空间，而的其他子空间称为非平凡子空间。

3 设与是线性空间的两个子空间，则

76. 施密特正交化法：

对维欧式空间的任一组基，

令，

，

，

，

，

，

即为的一组标准正交基。