2018年安徽省中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）﹣8的绝对值是（　　）

A．﹣8 B．8 C．±8 D．﹣

2．（4分）2017年我省粮食总产量为695.2亿斤．其中695.2亿用科学记数法表示为（　　）

A．6.952×106 B．6.952×108 C．6.952×1010 D．695.2×108

3．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．（a2）3=a5 B．a4•a2=a8 C．a6÷a3=a2 D．（ab）3=a3b3

4．（4分）一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主（正）视图为（　　）

A． B． C． D．

5．（4分）下列分解因式正确的是（　　）

A．﹣x2+4x=﹣x（x+4） B．x2+xy+x=x（x+y）

C．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2 D．x2﹣4x+4=（x+2）（x﹣2）

6．（4分）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（　　）

A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a

C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a

7．（4分）若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1

8．（4分）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：

关于以上数据，说法正确的是（　　）

A．甲、乙的众数相同

B．甲、乙的中位数相同

C．甲的平均数小于乙的平均数

D．甲的方差小于乙的方差

9．（4分）▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）

A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF

10．（4分）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1．正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．（5分）不等式＞1的解集是　 　．

12．（5分）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE=　 　°．

13．（5分）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y=kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是　 　．

14．（5分）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　 　．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）计算：50﹣（﹣2）+×．

16．（8分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：

今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？

大意为：

今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？

请解答上述问题．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．

（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；

（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；

（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　 　个平方单位．

18．（8分）观察以下等式：

第1个等式：++×=1，

第2个等式：++×=1，

第3个等式：++×=1，

第4个等式：++×=1，

第5个等式：++×=1，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　 　；

（2）写出你猜想的第n个等式：　 　（用含n的等式表示），并证明．

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）

20．（10分）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．

（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．

六、解答题（本大题满分12分）

21．（12分）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：

（1）本次比赛参赛选手共有　 　人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为　 　；

（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由；

（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．

七、解答题（本题满分12分）

22．（12分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：

①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；

②花卉的平均每盆利润始终不变．

小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．

（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；

（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？

八、解答题（本题满分14分）

23．（14分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．

（1）求证：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．

2018年安徽省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）﹣8的绝对值是（　　）

A．﹣8 B．8 C．±8 D．﹣

【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．

【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|=8．

故选：B．

【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（4分）2017年我省粮食总产量为695.2亿斤．其中695.2亿用科学记数法表示为（　　）

A．6.952×106 B．6.952×108 C．6.952×1010 D．695.2×108

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：695.2亿=695 2000 0000=6.952×1010，

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（4分）下列运算正确的是（　　）

A．（a2）3=a5 B．a4•a2=a8 C．a6÷a3=a2 D．（ab）3=a3b3

【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．

【解答】解：∵（a2）3=a6，

∴选项A不符合题意；

∵a4•a2=a6，

∴选项B不符合题意；

∵a6÷a3=a3，

∴选项C不符合题意；

∵（ab）3=a3b3，

∴选项D符合题意．

故选：D．

【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

4．（4分）一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主（正）视图为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．

【解答】解：从正面看上边是一个三角形，下边是一个矩形，

故选：A．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

5．（4分）下列分解因式正确的是（　　）

A．﹣x2+4x=﹣x（x+4） B．x2+xy+x=x（x+y）

C．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2 D．x2﹣4x+4=（x+2）（x﹣2）

【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式分别分析得出答案．

【解答】解：A、﹣x2+4x=﹣x（x﹣4），故此选项错误；

B、x2+xy+x=x（x+y+1），故此选项错误；

C、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项正确；

D、x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

6．（4分）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（　　）

A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a

C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a

【分析】根据2016年的有效发明专利数×（1+年平均增长率）2=2018年的有效发明专利数．

【解答】解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=（1+22.1%）2a．

故选：B．

【点评】考查了列代数式，掌握2次增长或下降之类方程的等量关系是解决本题的关键．

7．（4分）若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1

【分析】将原方程变形为一般式，根据根的判别式△=0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：原方程可变形为x2+（a+1）x=0．

∵该方程有两个相等的实数根，

∴△=（a+1）2﹣4×1×0=0，

解得：a=﹣1．

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

8．（4分）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：

关于以上数据，说法正确的是（　　）

A．甲、乙的众数相同

B．甲、乙的中位数相同

C．甲的平均数小于乙的平均数

D．甲的方差小于乙的方差

【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；对于n个数x1，x2，…，xn，则x¯=（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数；s2=[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（xn﹣x¯）2]进行计算即可．

【解答】解：A、甲的众数为7，乙的众数为8，故原题说法错误；

B、甲的中位数为7，乙的中位数为4，故原题说法错误；

C、甲的平均数为6，乙的平均数为5，故原题说法错误；

D、甲的方差为4.4，乙的方差为6.4，甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确；

故选：D．

【点评】此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握三种数的概念和方差公式．

9．（4分）▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　）

A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF

【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．

【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，

在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，

要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；

A、若BE=DF，则OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF，故本选项不符合题意；

B、若AE=CF，则无法判断OE=OE，故本选项符合题意；

C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE=OF，故本选项不符合题意；

D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

10．（4分）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1．正方形ABCD的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

【分析】当0≤x≤1时，y=2x，当1＜x≤2时，y=2，当2＜x≤3时，y=﹣2x+6，由此即可判断；

【解答】解：当0≤x≤1时，y=2x，

当1＜x≤2时，y=2，

当2＜x≤3时，y=﹣2x+6，

∴函数图象是A，

故选：A．

【点评】本题考查动点问题函数图象、分段函数等知识，解题的关键是理解题意，学会构建函数关系式解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11．（5分）不等式＞1的解集是　x＞10　．

【分析】根据解一元一次不等式得基本步骤依次计算可得．

【解答】解：去分母，得：x﹣8＞2，

移项，得：x＞2+8，

合并同类项，得：x＞10，

故答案为：x＞10．

【点评】本题考查了解一元一次不等式：有分母先去分母，再去括号，然后进行移项，把含未知数的项移到不等式的左边，再进行合并同类项，最后把未知数的系数化为1可得到不等式的解集．

12．（5分）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE=　60　°．

【分析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．

【解答】解：连接OA，

∵四边形ABOC是菱形，

∴BA=BO，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

∵点D是AB的中点，

∴直线OD是线段AB的垂直平分线，

∴OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB与⊙O相切于点D，

∴OD⊥AB，

∴∠AOD=∠AOB=30°，

同理，∠AOE=30°，

∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，

故答案为：60．

【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键

13．（5分）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A（2，m），AB⊥x轴于点B．平移直线y=kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是　y=x﹣3　．

【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案．

【解答】解：∵正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A（2，m），

∴2m=6，

解得：m=3，

故A（2，3），

则3=2k，

解得：k=，

故正比例函数解析式为：y=x，

∵AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx，使其经过点B，

∴B（2，0），

∴设平移后的解析式为：y=x+b，

则0=3+b，

解得：b=﹣3，

故直线l对应的函数表达式是：y=x﹣3．

故答案为：y=x﹣3．

【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出A，B点坐标是解题关键．

14．（5分）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为　或3　．

【分析】根据勾股定理求出BD，分PD=DA、P′D=P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算．

【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，

∴∠BAD=90°，

∴BD==10，

当PD=DA=8时，BP=BD﹣PD=2，

∵△PBE∽△DBC，

∴=，即=，

解得，PE=，

当P′D=P′A时，点P′为BD的中点，

∴P′E′=CD=3，

故答案为：或3．

【点评】本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）计算：50﹣（﹣2）+×．

【分析】首先计算零次幂和乘法，然后再计算加减即可．

【解答】解：原式=1+2+4=7．

【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

16．（8分）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：

今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？

大意为：

今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？

请解答上述问题．

【分析】设城中有x户人家，根据鹿的总数是100列出方程并解答．

【解答】解：设城中有x户人家，

依题意得：x+=100

解得x=75．

答：城中有75户人家．

【点评】考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，列出方程．

四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．

（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；

（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；

（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是　20　个平方单位．

【分析】（1）以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可画出线段A1B1；

（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，即可画出线段A2B1；

（3）连接AA2，即可得到四边形AA1B1A2为正方形，进而得出其面积．

【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；

（2）如图所示，线段A2B1即为所求；

（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，

∴四边形AA1B1A2的面积是（）2=（）2=20．

故答案为：20．

【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．

18．（8分）观察以下等式：

第1个等式：++×=1，

第2个等式：++×=1，

第3个等式：++×=1，

第4个等式：++×=1，

第5个等式：++×=1，

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　　；

（2）写出你猜想的第n个等式：　　（用含n的等式表示），并证明．

【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分子分别是1和n﹣1

【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5

故应填：

（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1

故应填：

证明：=

∴等式成立

【点评】本题是规律探究题，同时考查分式计算．解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．

五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）

【分析】根据平行线的性质得出∠FED=45°．解等腰直角△DEF，得出DE=DF=1.8米，EF=DE=米．证明∠AEF=90°．解直角△AEF，求出AE=EF•tan∠AFE≈18.036米．再解直角△ABE，即可求出AB=AE•sin∠AEB≈18米．

【解答】解：由题意，可得∠FED=45°．

在直角△DEF中，∵∠FDE=90°，∠FED=45°，

∴DE=DF=1.8米，EF=DE=米．

∵∠AEB=∠FED=45°，

∴∠AEF=180°﹣∠AEB﹣∠FED=90°．

在直角△AEF中，∵∠AEF=90°，∠AFE=39.3°+45°=84.3°，

∴AE=EF•tan∠AFE≈×10.02=18.036（米）．

在直角△ABE中，∵∠ABE=90°，∠AEB=45°，

∴AB=AE•sin∠AEB≈18.036×≈18（米）．

故旗杆AB的高度约为18米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，平行线的性质，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．

20．（10分）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．

（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．

【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；

（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则EF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．

【解答】解：（1）如图，AE为所作；

（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

∴=，

∴OE⊥BC，

∴EF=3，

∴OF=5﹣3=2，

在Rt△OCF中，CF==，

在Rt△CEF中，CE==．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心．

六、解答题（本大题满分12分）

21．（12分）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：

（1）本次比赛参赛选手共有　50　人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为　30%　；

（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由；

（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．

【分析】（1）用“59.5～69.5”这组的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；再计算出“89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比，然后用1分别减去其它三组的百分比得到“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比；

（2）利用“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为40%可判断他不能获奖；

（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）5÷10%=50，

所以本次比赛参赛选手共有50人，

“89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为×100%=24%，

所以“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为1﹣10%﹣36%﹣24%=30%；

故答案为50，30%；

（2）他不能获奖．

理由如下：

他的成绩位于“69.5～79.5”之间，

而“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为10%+30%=40%，

因为成绩由高到低前60%的参赛选手获奖，他位于后40%，

所以他不能获奖；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，

所以恰好选中1男1女的概率==．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．

七、解答题（本题满分12分）

22．（12分）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：

①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；

②花卉的平均每盆利润始终不变．

小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．

（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；

（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？

【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润=盆数×每盆的利润”可得函数解析式；

（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．

【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，

则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，

所以W1=（50+x）（160﹣2x）=﹣2x2+60x+8000，

W2=19（50﹣x）=﹣19x+950；

（2）根据题意，得：

W=W1+W2

=﹣2x2+60x+8000﹣19x+950

=﹣2x2+41x+8950

=﹣2（x﹣）2+，

∵﹣2＜0，且x为整数，

∴当x=10时，W取得最大值，最大值为9160，

答：当x=10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元．

【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．

八、解答题（本题满分14分）

23．（14分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．

（1）求证：CM=EM；

（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；

（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．

【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明；

（2）利用四边形内角和定理求出∠CME即可解决问题；

（3）首先证明△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，设FM=a，则AE=CM=EM=a，EF=2a，推出=，=，由此即可解决问题；

【解答】（1）证明：如图1中，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=∠DCB=90°，

∵DM=MB，

∴CM=DB，EM=DB，

∴CM=EM．

（2）解：∵∠AED=90°，∠A=50°，

∴∠ADE=40°，∠CDE=140°，

∵CM=DM=ME，

∴∠MCD=∠MDC，∠MDE=∠MED，

∴∠CME=360°﹣2×140°=80°，

∴∠EMF=180°﹣∠CME=100°．

（3）证明：如图2中，设FM=a．

∵△DAE≌△CEM，CM=EM，

∴AE=ED=EM=CM=DM，∠AED=∠CME=90°

∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，

∴∠DEM=60°，∠MEF=30°，

∴AE=CM=EM=a，EF=2a，

∵CN=NM，

∴MN=a，

∴=，=，

∴=，

∴EM∥AN．

（也可以连接AM利用等腰三角形的三线合一的性质证明）

【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．