一、选择题

1．(2012·高考大纲全国卷)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x＝－4，则该椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1

C.＋＝1 D.＋＝1

解析：选C.由题意知椭圆的焦点在x轴上，

故可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．

由题意知∴

∴b2＝a2－c2＝4，故所求椭圆方程为＋＝1.

2．(2011·高考浙江卷)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则(　　)

A．a2＝ B．a2＝13

C．b2＝ D．b2＝2

解析：选C.由题意知，a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，

∴直线截椭圆的弦长d＝×2＝a，

解得a2＝，b2＝.

3．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是(　　)

A．(0，] B．(0，]

C．[－1,1) D．[，1)

解析：选D.设P(x0，y0)，则|PF|＝a－ex0.又点F在AP的垂直平分线上，∴a－ex0＝－c，因此x0＝.

又－a≤x0<a，∴－a≤<a.

∴－1≤<1.又0<e<1，∴≤e<1.

4．已知椭圆＋＝1的长轴的左、右端点分别为A、B，在椭圆上有一个异于点A、B的动点P，若直线PA的斜率kPA＝，则直线PB的斜率kPB为(　　)

A. B.

C．－ D．－

解析：选D.设点P(x1，y1)(x1≠±2)，

则kPA＝，kPB＝，

∵kPA·kPB＝·＝＝＝－，

∴kPB＝－＝－×2＝－，故应选D.

5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，以其左焦点F1(－c,0)为圆心，以a－c为半径作圆，过上顶点B2(0，b)作圆F1的两条切线，设切点分别为M，N.若过两个切点M，N的直线恰好经过下顶点B1(0，－b)，则椭圆E的离心率为(　　)

A.－1 B.－1

C.－2 D.－3

解析：选B.由题意得，圆F1: (x＋c)2＋y2＝(a－c)2.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则切线B2M：(x1＋c)(x＋c)＋y1y＝(a－c)2，

切线B2N：(x2＋c)(x＋c)＋y2y＝(a－c)2.

又两条切线都过点B2(0，b)，

所以c(x1＋c)＋y1b＝(a－c)2，c(x2＋c)＋y2b＝(a－c)2.

所以直线c(x＋c)＋yb＝(a－c)2就是过点M、N的直线．

又直线MN过点B1(0，－b)，代入化简得c2－b2＝(a－c)2，

所以e＝－1.

二、填空题

6．(2011·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．

解析：设椭圆方程为＋＝1，

由e＝知＝，故＝.

由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，

故a＝4.∴b2＝8.

∴椭圆C的方程为＋＝1.

答案：＋＝1

7．(2011·高考江西卷)若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．

解析：由题意可得切点A(1,0)．

切点B(m，n)满足，解得B.

∴过切点A，B的直线方程为2x＋y－2＝0.

令y＝0得x＝1，即c＝1；令x＝0得y＝2，即b＝2.

∴a2＝b2＋c2＝5，

∴椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1

8．(2012·高考四川卷)椭圆＋＝1(a为定值，且a>)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．

解析：设椭圆的右焦点为F′，如图，

由椭圆定义知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.

又△FAB的周长为

|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，

当且仅当AB过右焦点F′时等号成立．

此时4a＝12，则a＝3.

故椭圆方程为＋＝1，

所以c＝2，所以e＝＝.

答案：

三、解答题

9．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.

(1)求椭圆C的焦距；

(2)如果＝2，求椭圆C的方程．

解：(1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.所以椭圆C的焦距为4.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1<0，y2>0，

直线l的方程为y＝(x－2)．

联立，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.

解得y1＝，y2＝.

因为＝2，所以－y1＝2y2.

即＝2·，得a＝3.

而a2－b2＝4，所以b＝.故椭圆C的方程为＋＝1.

10．(2011·高考辽宁卷)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.

(1)设e＝，求|BC|与|AD|的比值；

(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

解：(1)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：

＋＝1，C2：＋＝1(a>b>0)．

设直线l：x＝t(|t|<a)，分别与C1，C2的方程联立，

求得A，B.

当e＝时，b＝a，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知|BC|∶|AD|＝＝＝.

(2)当t＝0时的l不符合题意，当t≠0时，BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，

即＝，

解得t＝－＝－·a.

因为|t|<a，又0<e<1，所以<1，解得<e<1.

所以当0<e≤时，不存在直线l，使得BO∥AN；

当<e<1时，存在直线l，使得BO∥AN.

11．(探究选做)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2＝4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|＝.

(1)求椭圆C1的方程；

(2)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线7x－7y＋1＝0上，求直线AC的方程．

解：(1)设M(x1，y1)，∵F2(1,0)，|MF2|＝.

由抛物线定义，x1＋1＝，∴x1＝，

∵y＝4x1，∴y1＝.

∴M(，)，

∵M在C1上，∴＋＝1，

又b2＝a2－1，∴9a4－37a2＋4＝0，

∴a2＝4或a2＝<c2舍去．

∴a2＝4，b2＝3.∴椭圆C1的方程为＋＝1.

(2)∵直线BD的方程为7x－7y＋1＝0，四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，设直线AC的方程为

y＝－x＋m⇒7x2－8mx＋4m2－12＝0，

∵A、C在椭圆C1上，∴Δ>0，∴m2<7，

∴－<m<.

设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝.

y1＋y2＝(－x1＋m)＋(－x2＋m)＝－(x1＋x2)＋2m

＝－＋2m＝.

∴AC的中点坐标为(，)，由ABCD为菱形可知，点(，)在直线BD：7x－7y＋1＝0上，

∴7·－7·＋1＝0，m＝－1.

∵m＝－1∈(－，)，

∴直线AC的方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.