黄冈市2017年中考数学模拟试题

一．选择题（共6小题，共18分）

1．在﹣4，0，﹣1，3这四个数中，最大的数是（　　）

A．﹣4 B．0 C．﹣1 D．3

2．下列运算正确的是（　　）

A．a2+a3=a5 B．3a2•2a3=6a6 C．（﹣a3）2=a6 D．（a﹣b）2=a2﹣b2

3．下列不等式变形正确的是（　　）

A．由a＞b得ac＞bc B．由a＞b得﹣2a＞﹣2b

C．由a＞b得﹣a＜﹣b D．由a＞b得a﹣2＜b﹣2

4．在2016年体育中考中，某班一学习小组6名学生的体育成绩如下表，则这组学生的体育成绩的众数，中位数，方差依次为（　　）

A．28，28，1 B．28，27.5，1 C．3，2.5，5 D．3，2，5

5．如图，等腰△ABC中，AB=AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16

（第5题图） （第6题图）

6．如图，甲、乙、丙图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（　　）

A．仅有甲和乙相同 B．仅有甲和丙相同 C．仅有乙和丙相同 D．甲、乙、丙都相同

二．填空题（共8小题，共24分）

7．函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．

8．分解因式：x3﹣4x2y+4xy2=　 　．

9．计算：（π﹣2016）0﹣（）2+tan45°=　 　．

10．若不等式组有解，则a的取值范围是　 　．

11．若关于x的函数y=kx2+2x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为　 　．

12．如图，扇形OAB的圆心角为122°，C是上一点，则∠ACB=　 ．

（第12题图） （第13题图） （第14题图）

13．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆周角为60°的扇形ABC．用此剪下的扇形铁皮围成一个没有底面的圆锥，则该底面圆的半径长为　 　．

14．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为　 　．

三．解答题（共10小题，共78分）

15．（本题6分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x=﹣2．

16．（本题6分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．

求证：AE=BF．

17．（本题6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

18．（本题6分）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？

19．（本题8分）某中学积极组织学生开展课外阅读活动，为了解本校学生每周课外阅读的时间量t（单位：小时），采用随机抽样的方法抽取部分学生进行了问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求出x的值，并将不完整的条形统计图补充完整；

（2）若该校共有学生2500人，试估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数；

（3）若本次调查活动中，九年级（1）班的两个学习小组分别有3人和2人每周阅读时间量都在4小时以上，现从这5人中任选2人参加学校组织的知识抢答赛，求选出的2人来自不同小组的概率．

20．（本题7分）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．

（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．

21．（本题7分）如图，已知直线y=ax+b（a≠0）与双曲线（k≠0）交于A、B两点，且点A（2，1），点B的纵坐标为2．

（1）求双曲线的解析式和直线的解析式；

（2）在第三象限内，双曲线上是否存在点C，使△ABC的面积等于3？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．

22．（本题8分）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC=12cm．

（1）当PA=45cm时，求PC的长；

（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，可用科学计算器，参考数据：≈1.414，≈1.732）

23．（本题10分）九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．

（1）求出w与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．

24．（本题14分）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；

（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围．

黄冈市2017年中考数学模拟试题

参考答案与试题解析

一．选择题（共6小题）

1．D．2．C．3．C．　4．A．5．A．6．B．

二．填空题（共8小题）

7．x≥2且x≠3．8．x（x﹣2y）2．9．1 10．a＞﹣1．11．0或﹣1． 12．119°．

13．． 14．或．

三．解答题（共10小题）

15．【解答】解：原式=[﹣]•

=•=，

当x=﹣2时，原式===2．

16．【解答】证明：∵正方形ABCD，

∴∠ABC=∠C，AB=BC．

∵AE⊥BF，∴∠AGB=∠BAG+∠ABG=90°，

∵∠ABG+∠CBF=90°，∴∠BAG=∠CBF．

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF．　

17．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，解得m≤4；

（2）根据题意得x1+x2=6，x1x2=2m+1，

而2x1x2+x1+x2≥20，所以2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，

而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．

18．【解答】解：设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为（500﹣x）元，

根据题意得：90%•（1+50%）x+90%•（1+40%）（500﹣x）﹣500=157，

解得：x=300，500﹣x=200．

答：甲服装的成本为300元、乙服装的成本为200元．　

19．【解答】解：（1）∵x%+15%+10%+45%=1，

∴x=30；

∵调查的总人数=90÷45%=200（人），

∴B等级人数=200×30%=60（人）；C等级人数=200×10%=20（人），

如图：

（2）2500×（10%+30%）=1000（人），

所以估计每周课外阅读时间量满足2≤t＜4的人数为1000人；

（3）3人学习组的3个人用甲表示，2人学习组的2个人用乙表示，画树状图为：

，

共有20种等可能的结果数，其中选出的2人来自不同小组占12种，

所以选出的2人来自不同小组的概率==．

20．【解答】（1）证明：连接OB，

∵OB=OA，DE=DB，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，

又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠ABD=90°，

∴OB⊥BD，∴BD是⊙O的切线；

（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，

∵DE=DB，∴EG=BE=5，

∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，

∴∠GDE=∠A，∴△ACE∽△DGE，

∴sin∠EDG=sinA==，即DE=13，

在Rt△ECG中，

∵DG==12，∵CD=15，DE=13，∴CE=2，

∵△ACE∽△DGE，∴=，∴AC=•DG=，

∴⊙O的直径2OA=4AC=．

21．【解答】解：（1）根据题意知，点A（2，1）在双曲线（k≠0）上，

则k=xy=2×1=2，所以双曲线的解析式为y=；

根据题意知，点B在双曲线y=上，且点B的纵坐标是2．故设B（x，2）．则

2=，解得，x=1，故点B的坐标是（1，2）．

∵点A、B都在直线y=ax+b（a≠0）上，

∴，解得，，∴直线的解析式为：y=﹣x+3；

（2）存在，理由如下：

∵A（2，1），B（1，2），

∴AB==，即线段AB的长度是；

如图，过点C作CD∥x轴，交直线AB于点D；过点C作CH⊥AB于点H．

∵AB=，S△ABC=3，

∴AB•CH=3，即×=3，

∴CH=3．

设C（x，），则D（3﹣，）．

∴CD=3﹣﹣x

在Rt△CDH中，∠CDB=45°，CH=3，则CD=6，

3﹣﹣x=6，解得，x1=﹣1，x2=﹣2，

∴点C的坐标是（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1）．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．

22．【解答】解：（1）当PA=45cm时，连结PO．

∵D为AO的中点，PD⊥AO，

∴PO=PA=45cm．

∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，

∴OC=OB+BC=36cm，PC==27cm；

（2）当∠AOC=120°，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．

在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO=AO=12，

∴DE=DO•sin60°=6，EO=DO=6，

∴FC=DE=6，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42．

在Rt△PDF中，∵∠PDF=30°，

∴PF=DF•tan30°=42×=14，

∴PC=PF+FC=14+6=20≈34.68＞27，

∴点P在直线PC上的位置上升了．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．　

23．【解答】解：（1）当1≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），

∵y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），

∴，解得：，

∴售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；

当50≤x≤90时，y=90．

∴售价y与时间x的函数关系式为y=．

由数据可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，

设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m≠0），

∵p=mx+n过点（60，80）、（30，140），

∴，解得：，

∴p=﹣2x+200（0≤x≤90，且x为整数），

当1≤x≤50时，w=（y﹣30）•p=（x+40﹣30）（﹣2x+200）=﹣2x2+180x+2000；

当50≤x≤90时，w=（90﹣30）（﹣2x+200）=﹣120x+12000．

综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=．

（2）当1≤x≤50时，w=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，

∵a=﹣2＜0且1≤x≤50，

∴当x=45时，w取最大值，最大值为6050元．

当50≤x≤90时，w=﹣120x+12000，

∵k=﹣120＜0，w随x增大而减小，

∴当x=50时，w取最大值，最大值为6000元．

∵6050＞6000，

∴当x=45时，w最大，最大值为6050元．

即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元．

（3）当1≤x≤50时，令w=﹣2x2+180x+2000≥5600，即﹣2x2+180x﹣3600≥0，

解得：30≤x≤50，

50﹣30+1=21（天）；

当50≤x≤90时，令w=﹣120x+12000≥5600，即﹣120x+6400≥0，

解得：50≤x≤53，

∵x为整数，

∴50≤x≤53，

53﹣50+1=4（天）．

综上可知：21+4﹣1=24（天），

故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元．

【点评】本题考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次不等式的应用以及利用待定系数法求函数解析式，解题的关键：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；（2）利用二次函数与一次函数的性质解决最值问题；（3）得出关于x的一元一次和一元二次不等式．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据给定数量关系，找出函数关系式是关键．

24．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（0，3），B（2，3），

∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+3．

令y=0，即﹣x2+x+3=0，解得x=6或x=﹣4，

∵点C位于x轴正半轴上，∴C（6，0）．

（2）当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，如答图1所示：

设OE=x，则EF=x，CE=OC﹣OE=6﹣x．

∵EF∥OA，

∴△CEF∽△COA，

∴=，即=，

解得x=2．

∴OE=2．

（3）存在满足条件的t．理由如下：

如答图2所示，

9、在17世纪，人们发现把两个凸透镜组合起来明显提高了放大能力，这就是早期的显微镜。易证△CEM∽△COA，∴=，即=，得ME=2﹣t．

过点M作MH⊥DN于点H，则DH=ME=2﹣t，MH=DE=2．

答：①我们每个人要做到不乱扔果皮，不随地吐痰，爱护花草树木，搞好环境卫生，保护好身边的环境。②力争做一个环保小卫士，向身边的人宣传和倡议环保。易证△MHN∽△COA，∴=，即=，得NH=1．

答：①我们每个人要做到不乱扔果皮，不随地吐痰，爱护花草树木，搞好环境卫生，保护好身边的环境。②力争做一个环保小卫士，向身边的人宣传和倡议环保。∴DN=DH+HN=3﹣t．

在Rt△MNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=．

当△DMN是等腰三角形时，分三种情况：

21、人们发现银河系以外还有类似银河系一样庞大的恒星集团，如：仙女座星系、猎犬座星系，目前人类已发现了超过100亿个河外星系。①若DN=MN，则3﹣t=，解得t=6﹣2；

答：①利用微生物的作用，我们可以生产酒、醋、酸奶、馒头和面包等食品。②土壤中的微生物可以分解动植物的尸体，使它们变成植物需要的营养素。③在工业生产和医药卫生中也都离不开微生物。②若DM=MN，则DM2=MN2，即22+（2﹣t）2=（）2，

6、二氧化碳气体有什么特点？解得t=2或t=6（不合题意，舍去）；

2、人们通常处理垃圾的方法有填埋或焚烧。③若DM=DN，则DM2=DN2，即22+（2﹣t）2=（3﹣t）2，解得t=1．

一、填空：综上所述，当t=1或2或6﹣2时，△DMN是等腰三角形．

（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3所示：

设EF、DG分别与AC交于点M、N，由（3）可知：ME=2﹣t，DN=3﹣t．

5、铁生锈变成了铁锈，这是一种化学变化。水分和氧气是使铁生锈的原因。设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B（2，3）、C（6，0）代入得：

17、近年来，我国积极推广“无车日”活动，以节约能源和保护环境。科学家也正在研制太阳能汽车和燃料电池汽车，减少对空气的污染。，

解得，

∴y=﹣x+．

设直线BC与EF交于点K，

∵xK=t+2，∴yK=﹣xK+=﹣t+3，

∴FK=yF﹣yK=2﹣（﹣t+3）=t﹣1；

设直线BC与GF交于点J，

∵yJ=2，

∴2=﹣xJ+，得xJ=，

∴FJ=xF﹣xJ=t+2﹣=t﹣．

∴S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣S△FJK

=DE2﹣（ME+DN）•DE﹣FK•FJ

=22﹣[（2﹣t）+（3﹣t）]×2﹣（t﹣1）（t﹣）

=﹣t2+2t﹣．

过点G作GH⊥y轴于点H，交AC于点I，则HI=2，HJ=，

∴t的取值范围是：2＜t＜．

∴S与t的函数关系式为：S=﹣t2+2t﹣（2＜t＜）．

【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，图形面积的计算等知识，考查了运动型问题、存在型问题和分类讨论的数学思想，难度较大．解题关键是理解图形的运动过程．