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    2014年考研数学二真题与解析-

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    . 2014年考研数学二真题与解析
    一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
    1１．当x0时，若ln(12x，(1cosx均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）
    （A）(2, （B）(1,2 （C）(,1 （D）(0,
    1212121【详解】ln(12x~2x，是阶无穷小，(1cosx~1x是阶无穷小，由题意可知2
    1212所以的可能取值范围是(1,2，应该选（B）． 2．下列曲线有渐近线的是
    （A）yxsinx （B）yxsinx（C）yxsin2112 （D）yxsin
    xx【详解】对于yxsin应该选（C）
    1y1，可知lim1且lim(yxlimsin0，所以有斜渐近线yx
    xxxxxx3．设函数f(x具有二阶导数，g(xf(0(1xf(1x，则在[0,1]上（ ）
    （A）当f'(x0时，f(xg(x （B）当f'(x0时，f(xg(x （C）当f(x0时，f(xg(x （D）当f(x0时，f(xg(x 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
    【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．
    显然g(xf(0(1xf(1x就是联接(0,f(0,(1,f(1两点的直线方程．故当f(x0时，曲线是凹的，也就是f(xg(x，应该选（D）
    【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令F(xf(xg(xf(xf(0(1xf(1x，则F(0F(10，且F"(xf"(x，故当f(x0时，曲线是凹的，从而F(xF(0F(10，即F(xf(xg(x0，也就是；.
    . f(xg(x，应该选（D）
    xt27,4．曲线 上对应于t1的点处的曲率半径是（ ）
    2yt4t1（Ａ）1010（Ｂ） (Ｃ）1010 （Ｄ）510 50100【详解】 曲线在点(x,f(x处的曲率公式Ky"(1y'232，曲率半径R1． K22dxdydy2t42dy1t本题中2t,2t4，所以1，23，
    dtdtdx2tt2tdxt对应于t1的点处y'3,y"1，所以K应该选（C）
    5．设函数f(xarctanx，若f(xxf'(，则limx0y"(1y'2311010，曲率半径R11010．
    K2    x    2（ ）
    （Ａ）1 （Ｂ）211 （Ｃ） （Ｄ） 3231133x0时,arctanxxxo(x． ，（2）231xxarctanx1f(xarctanx2，，
    xx(arctanx212【详解】注意（1）f'(x由于f(xxf'(．所以可知f'(limx02x2limx0xarxtanxlimx(arctanx2x0x(x13xo(x313． 3x32u0及6．设u(x,y在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足xy2u2u20，则（ ）．
    2xy

    ；. （A）u(x,y的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
    （C）u(x,y的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

    .
    （D）u(x,y的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．
    【详解】u(x,y 在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y在D内必然有最大值和最小值．并且如果在2u2u2u2uuu0，在这个点处A2,C2,B内部存在驻点(x0,y0，也就是，由xyyxxyxy条件，显然ACB0，显然u(x,y不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x,y的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上．
    所以应该选（A）．
    20a7．行列式b0b等于
    0a000cdc00d2222222222（A）(adbc （B）(adbc （C）adbc （D）adbc
    【详解】
    0aba000b0cd0c00d应该选（B）．
    a0a0dcba0babab0b0c0adbc(adbc2
    cdcd0dc0d8．设1,2,3 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关是向量1,2,3线性无关的
    （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量1,2,3线性无关，则
    10（1k3，2l3）(1,2,301(1,2,3K，对任意的常数k,l，矩阵K的秩都等kl于2，所以向量1k3，2l3一定线性无关．
    100而当10,21,30时，对任意的常数k,l，向量1k3，2l3线性无关，但0001,2,3线性相关；故选择（A）．
    ；.
    . 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
    1dx ． 2x2x59．1【详解】111dx1x1113dxarctan|(． 2222428x2x5(x14210．设f(x为周期为4的可导奇函数，且f'(x2(x1,x0,2，则f(7 ． 【详解】当x0,2时，f(x2(x1dxx22xC，由f(00可知C0，即f(xx22x；f(x为周期为4奇函数，故f(7f(1f(11．
    11．设zz(x,y是由方程e2yzxy2z7确定的函数，则dz|11 ．
    ,422【详解】设F(x,y,ze2yz71xy2z，Fx1,Fy2ze2yz2y,Fz2ye2yz1，当xy42时，z0，FyFz1z111x，，所以dz|11dxdy．
    ,xFz2y22Fz222,处的切线方程为 ． 2212．曲线L的极坐标方程为r，则L在点(r,【详解】先把曲线方程化为参数方程xr(coscos，于是在处，x0,y，22yr(sinsin2dysincos2||，则L在点(r,,处的切线方程为y(x0，即2dx2cossin222y2x2.
    213．一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上，若其线密度(xx2x1，则该细棒的质心坐标x ．
    11(x2xxdx1100【详解】质心坐标x1． 112250(xdx0(x2x1dx3201x(xdx1322214．设二次型f(x1,x2,x3x1x22ax1x34x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围；.
    . 是 ． 【详解】由配方法可知
    2f(x1,x2,x3x12x22ax1x34x2x3(x1ax3(x22x3(4ax由于负惯性指数为1，故必须要求4a0，所以a的取值范围是2,2．
    22222    3
    三、解答题
    15．（本题满分10分）
    求极限limxx1(t(e1tdt1x2ln(1x．
    21t【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】
    x1xln(1x1111limx2(o(x22xx2xx2x2limx1(t(e1tdt21tlimx1(t(e1tdtx21tlim(x2(e1xx1x
    16．（本题满分10分）
    已知函数yy(x满足微分方程xyy'1y'，且y(20，求y(x的极大值和极小值． 【详解】
    解：把方程化为标准形式得到(1y222dy1x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分dx可得方程通解为：1312yyxx3C，由y(20得C，
    333即1312yyxx3． 333dy1x2d2y2x(1y222y(1x220，得x1，且可知2 令； dx1y2dx(1y23当x1时，可解得y1，y"10，函数取得极大值y1； 当x1时，可解得y0，y"20，函数取得极小值y0． 17．（本题满分10分）
    ；.
    设平面区域D(x,y|1x2y24,x0.y0．计算xsin(x2y2xydxdy
    D【详解】由对称性可得
    xsin(x2y222Dxydxdysin(x2y2dxd1Dxy2(xysin(xydxdyDxy22
    12sin(xydxd12230dD121rsinrdr418．（本题满分10分）
    设函数f(u具有二阶连续导数，zf(excosy满足2zx22zy2(4zexcosye2x．f(00,f'(00，求f(u的表达式．
    【详解】
    设uexcosy，则zf(uf(excosy，
    zf'(uexcosy2zx,x2f"(ue2xcos2yf'(uexcosy; zx2z2x2yf'(uesiny,y2f"(uesinyf'(uexcosy； 2z2xzy2f"(ue2xf"(excosye2x2 由条件2z2zx2y2(4zexcosye2x， 可知
    f"(u4f(uu
    这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
    对应齐次方程的通解为：
    f(uC2u1e2uC2e其中C1,C2为任意常数．
    对应非齐次方程特解可求得为y*14u． 故非齐次方程通解为f(uCu1e2C2u12e4u．
    ；.     . 若
    . 将初始条件f(00,f'(00代入，可得C111,C2． 1616所以f(u的表达式为f(u19．（本题满分10分）
    12u12u1eeu． 16164设函数f(x,g(x在区间a.b上连续，且f(x单调增加，0g(x1，证明： （1） 0（2）
    b    x    ag(tdtxa,xa,b；
    aag(tdtaf(xdxf(xg(xdx．
    a    b【详解】
    （1）证明：因为0g(x1，所以即0xa0dxg(tdt1dtxa,b．
    a    axx    x    ag(tdtxa,xa,b．
    （2）令F(xxaf(ug(uduaag(tdtxaf(udu，
    x则可知F(a0，且F'(xf(xg(xg(xfag(tdt，
    a因为0x    ag(tdtxa,且f(x单调增加，
    所以faxag(tdtf(axaf(x．从而
    xF'(xf(xg(xg(xfag(tdtf(xg(xg(xf(x0， xa,b
    a也是F(x在a,b单调增加，则F(bF(a0，即得到
    20．（本题满分11分） 设函数f(xaag(tdtbaf(xdxf(xg(xdx．
    a    b    x,x0,1，定义函数列 1xf1(xf(x，f2(xf(f1(x，,fn(xf(fn1(x,
    设Sn是曲线yfn(x，直线x1,y0所围图形的面积．求极限limnSn．
    n【详解】
    xf1(xxxx,， ，f3(xf1(x,f2(x1xx13x1x1f1(x12x11x；.
    . 利用数学归纳法可得fn(xx.
    1nxSn10x1111ln(1nfn(xdxdx(1dx(1，
    01nxn01nxnn1ln(1nlimnSnlim11． nnn21．（本题满分11分） 已知函数f(x,y满足f2(y1，且f(y,y(y12(2ylny，求曲线f(x,y0所成的y图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积． 【详解】
    由于函数f(x,y满足f2(y1，所以f(x,yy22yC(x，其中C(x为待定的连续函数． y2又因为f(y,y(y1(2ylny，从而可知C(y1(2ylny， 得到f(x,yy2yC(xy2y1(2xlnx．
    令f(x,y0，可得(y1(2xlnx．且当y1时，x11,x22． 曲线f(x,y0所成的图形绕直线y1旋转所成的旋转体的体积为
    225V(y12dx(2xlnxdx(2ln2
    1142    2    222．（本题满分11分）
    123411，E为三阶单位矩阵． 设A011203（1） 求方程组AX0的一个基础解系； （2） 求满足ABE的所有矩阵．
    【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：
    1234123412341001A0111011101110102，
    1203130431000013得到方程组AX0同解方程组
    ；.
    . x1x4x22x4 x3x4312得到AX0的一个基础解系1．
    31x1x2（2）显然B矩阵是一个43矩阵，设Bx3x4对矩阵(AE进行进行初等行变换如下：
    y1y2y3y4z1z2 z3z4123410012(AE011101001120300104001001234101110100100013141001由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
    313411000101011126121313141
    x121y161z111x212y232z212ccc，，x113y423z133， 3331y01z01x0444即满足ABE的所有矩阵为
    2c112c1B13c1c1其中c1,c2,c3为任意常数． 23．（本题满分11分）
    6c232c243c2c21c312c3
    13c3c311证明n阶矩阵11100111002与相似．
    1100n；.
    . 11【详解】证明：设A
    11100111002，． B1100n分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
    1EA11111111(nn1，
    所以A的n个特征值为1n,23n0；
    而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且A~0；
    0EB000120n(nn1
    所以B的n个特征值也为1n,23n0；



    ；.
    . 对于n1重特征值0，由于矩阵(0EBB的秩显然为1，所以矩阵B对应n1重特征值0的特征向量应该有n1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且B~0 0110011100211从而可知n阶矩阵1；. 与10相似． 0n1

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