2019年杭州市初中毕业升学文化考试

数学

考生须知：

1. 本试卷满分为 120 分，考试时间为 100 分钟。

2. 答题前，在答题纸上写姓名和准考证号，并在纸卷首页指定位置位置写上姓名和座位号

3. 必须在答题纸的对应位置上答题，写在其它地方无效。答题方式详见答题纸上的说明。

4. 考试结束后，试题卷和答题纸一并上交。

5. 如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑。

试题卷

一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的。

1．计算下列各式中，值最小的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

A．

B．

C．

D．

故选A

2．在平面直角坐标系中，点A（，2）与点B（3，）关于轴对称，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

两点关于轴对称，则

故选B

3．如图，P为外一点，分别切于A,B两点．若，则（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】

是的两条切线，由切线长定理可得：

故选B

4．已知九年级某班30位同学种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树．设男生有人，则（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

由题意可得，男生有人，则女生有人，

男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，

∴

故选D

5.点点同学对数据26，36，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）

A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差

【答案】B

【解析】由题意可得，被涂污数字的范围在50到59之间，无论取多少，将五个数据从小到大排列之后，最中间的数字都为46，故计算结果与被涂污数字无关的是中位数。而平均数，方差和标准差的值均会受到被涂污数字大小的影响，故选B。

6.如图，在中，点，分别在和边上，，为边上一点（不与点，重合），连接交于点，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】因为

所以，

所以 ，

所以

A，B，D选项由已知条件无法证明，故选C。

7.在中，若一个内角等于另两个内角的差，则（ ）

A.必有一个内角等于 B.必有一个内角等于

C.必有一个内角等于 D.必有一个内角等于

【答案】D

【解析】设三角形的三个内角分别为，，，由题意可得，则。由三角形的内角和为可得，则，。故选D.

8.已知一次函数和，函数和的图象可能是（ ）

【答案】A

【解析】当时，，，即,所以和图象的交点横坐标为。若，，与的图象都经过第一、二、四象限，其他几项均不符合题意。

故选A.

9.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB=，AD=，，则点A到OC的距离等于（ ）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】过A点做交OB于点M，在直角三角形中，，，在矩形中，，在直角三角形BOC中，，，由题意可知，OM即为点A到OC的距离。

故选D

10.在平面直角坐标系中，已知，设函数的图象与轴有M个交点，函数的图象与轴有N个交点,则（ ）

A.或 B.或

C.或 D.或

【答案】C

【解析】分类讨论，①当且时，函数，函数有两个解，M=2；函数，函数有一个解，N=1；此时

②当且时，函数，函数有两个解，M=2；函数，函数有一个解，N=1；此时

③当且且时，函数，函数有两个解，M=1；函数，函数有两个解，N=1；此时

综上所述，或

故选C

二、填空题：本题有6个小题，每题4分，共24分．

11.因式分解：__________．

【答案】

【解析】平方差公式

12.某计算机程序第一次算得个数据的平均数为，第二次算得另外个数据的平均数为，则这个数据的平均数等于__________．

【答案】

【解析】第一次个数据的和为，第二次个数据的和为，因此个数据的平均数就是．

13.如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度）。已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于__________ ．

【答案】

【解析】圆锥侧面展开为扇形，即求扇形面积。，为扇形弧长即圆锥底面圆的周长，为其母线长即，因此侧面积为．

关于数学卷第13题

正式阅卷前，评卷组在制定评分标准时，发现数学卷第13题存在两个合理答案，即113或112（参考答案为113，若采用现行教材例题中近似数的计算方法，则答案为112）。评卷组研究后认为：113或112均为正确答案，得满分。此外，答案为36π的，减半得分。

接到反映后，为慎重起见，我院聘请相关学科领域专家组成专家组对数学卷第13题评分标准和参考答案进行第三方论证，认为数学卷第13题正确答案为113或112。

杭州市教育考试院

2019年6月22日

14.在直角三角形中，若，则__________．

【答案】，

【解析】有两种情况。①为直角顶点，此时为斜边，即，因此．

②为直角顶点，此时和同为直角边，设，则，，．

15.某函数满足当自变量时，函数值；当自变量时，函数值，写出一个满足条件的函数表达式__________．

【答案】或或等

【解析】若此函数为一次函数，设将，；，代入得

解得．

∴．

16. 将矩形沿，折叠，、两点的对应点落在上的点处，且，，，则=__________．

【答案】

【解析】∵矩形沿，折叠，、两点的对应点落在上的点处

∴，，．

且，，．

又∵．

∴

∴在一条直线上．

∴

∴

又∵

∴

∴

∵，．

∴

设，．

∴

∴

∴

∴

在与中．

，

∴

∴

三、解答题：本大题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分6分）

化简：

圆圆的解答如下：

圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答．

【解析】圆圆的解答不正确，正确的解答如下：

18．（本题满分8分）

称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．

实际称量读数和记录数据统计表

（1）补充完整乙组数据的折线统计图．

（2）①甲、乙两组数据的平均数分别为，写出与之间的等量关系．

②甲、乙两组数据的方差分别为，，比较与的大小，并说明理由．

【解析】

（1）如图所示

（2）①

②，理由如下：

∴

19．（本题满分8分）

在中，,

（1）已知线段的垂直平分线与交于点，连接，求证:．

（2）以点为圆心，线段的长为半径画弧，与边交于点，连接，若，求的度数．

【解析】

（1）证明：∵点在的垂直平分线上，

∴

∴

∴．

（2）根据题意，得

∴

设，

∴，

∴，

在中，，

解得，即．

20．(本题满分10分)

方方驾驶小汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为(单位:小时)，行驶速度为(单位:千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时．

(1)求关于的函数表达式．

(2)方方上午8点驾驶小汽车从地出发，

①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达地，求小汽车行驶速度的范围．

方方能否在当天11点30分前到达地？说明理由．

【解析】

（1）根据题意得，，

∴，

∵，

∴当时，

∴

（2）①根据题意，得

∵

∴

∴

②不能．

理由如下：由（1）知，而11点30分前不满足题意

故方方不能在11点30分前到达地．

21（本题满分10分）

如图，已知正方形的边长为1，正方形的面积为，点在边上，点在的延长线上，设以线段和为邻边的矩形的面积为，且．

（1）求线段的长．

（2）若点为边上的中点，连接，求证：．

【解析】根据题意，得，,

（1）设，则，

∵，

∴，

解得（负根舍去），

即．

（2）∵点为边的中点

∴，

∵,点，，在同一直线上，

∴,

∴．

22．（本题满分12分）

设二次函数（，是实数）．

（1）甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都是正确的．你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．

（2）写出二次函数图象的对称轴，并求出该函数的最小值（用含的代数式表示）．

（3）已知二次函数的图象经过和两点（，是实数）．当时，求证：．

【解析】

（1）乙求得的结果不正确，理由如下：

根据题意，知图象经过点，，所以，

当时，．

所以乙求得的结果不正确．

（2）函数图象对称轴为，

当时，函数有最小值，

．

（3）∵，

∴，

∴

∵，结合函数的图象

∴，

∴

∵，

∴

23．（本题满分12分）

如图，已知锐角三角形内接于⊙，于点，连接.

（1）若，

①求证：．

②当时，求面积的最大值．

（2）点在线段上，，连接，设，（、是正数），若，求证：．

【解析】

（1）①证明：连接、，

，

，

．

②作，垂足为点，

则（当点在同一直线上时取等号）.

由①可知，

，

即面积的最大值为.

（2）设，

∵是锐角三角形，

∴

∴

∵

∴

∵

∴

由此可得：，

∴．